Folium of Descartes - Folium of Descartes

V geometrii je foliům Descartes je algebraická křivka definována rovnicí

${\ Displaystyle x^{3}+y^{3} -3axy = 0 \,}$.

Název pochází z latinského slova folium, které znamená „ list “.

Dějiny

Křivku poprvé navrhl a studoval René Descartes v roce 1638. Její nárok na slávu spočívá v incidentu ve vývoji počtu . Descartes vyzval Pierra de Fermata, aby našel tečnou přímku ke křivce v libovolném bodě, protože Fermat nedávno objevil způsob hledání tečných čar. Fermat problém vyřešil snadno, něco, co Descartes nebyl schopen udělat. Od vynálezu počtu lze sklon tečné přímky snadno zjistit pomocí implicitní diferenciace .

Vytvoření křivky

Folium Descartes lze vyjádřit v polárních souřadnicích jako

${\ Displaystyle r = {\ frac {3a \ sin \ theta \ cos \ theta} {\ sin ^{3} \ theta +\ cos ^{3} \ theta}},}$

který je vynesen vlevo. To je ekvivalentní

${\ Displaystyle r = {\ frac {3a \ sec \ theta \ tan \ theta} {1+ \ tan ^{3} \ theta}}.}$

Další technikou je psát a řešit pro a ve smyslu . Z toho plynou racionální parametrické rovnice : ${\ displaystyle y = px}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle x = {{3ap} \ přes {1+p^{3}}}, \, y = {{3ap^{2}} \ přes {1+p^{3}}}}$.

Vidíme, že parametr souvisí s polohou na křivce následovně:

• ${\ Displaystyle p <-1}$odpovídá , týkající se práva, snížení, „křídlo“.${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle y <0}$
• ${\ Displaystyle -1 <p <0}$odpovídá , : Vlevo nahoře „křídlo“.${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle y> 0}$
• ${\ displaystyle p> 0}$Odpovídá , : smyčka křivky.${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle y> 0}$

Další způsob vykreslení funkce lze odvodit ze symetrie nad . Symetrii lze vidět přímo z její rovnice (x a y lze zaměňovat). Například použitím otočení o 45 ° CW lze vykreslit funkci symetricky nad otočenou osu x. ${\ displaystyle y = x}$

Tato operace je ekvivalentní substituci:

${\ Displaystyle x = {{u+v} \ over {\ sqrt {2}}}, \, y = {{uv} \ over {\ sqrt {2}}}}$

a výnosy

${\ Displaystyle v = \ pm u {\ sqrt {\ frac {3a {\ sqrt {2}}-2u} {6u+3a {\ sqrt {2}}}}}}}$

Vynesení v karteziánském systému dává folium otočené o 45 ° a tedy symetrické o -osy. ${\ displaystyle (u, v)}$${\ displaystyle u}$

Vlastnosti

V prvním kvadrantu tvoří smyčku s dvojitým bodem na počátku a asymptotou

${\ Displaystyle x+y+a = 0 \,}$.

Je symetrický vzhledem k přímce . Jako takové se tyto dva protínají na počátku a v bodě . ${\ displaystyle y = x}$${\ Displaystyle (3a/2,3a/2)}$

Implicitní diferenciace dává vzorec pro sklon tečné přímky k této křivce

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {ay-x^{2}} {y^{2} -ax}}}$

Pomocí jedné z výše uvedených polárních reprezentací se zjistí, že plocha vnitřku smyčky je . Kromě toho je také oblast mezi „křídly“ křivky a její šikmou asymptotou . ${\ Displaystyle 3a^{2}/2}$${\ Displaystyle 3a^{2}/2}$

Vztah k trojúhelníku Maclaurina

Folium Descartes souvisí s trisectrix o Maclaurin od afinní transformace . Chcete -li to vidět, začněte rovnicí

${\ Displaystyle x^{3}+y^{3} = 3axy \,}$,

a změňte proměnné, abyste našli rovnici v souřadnicovém systému otočeném o 45 stupňů. To se rovná nastavení

${\ displaystyle x = {{X+Y} \ over {\ sqrt {2}}}, y = {{XY} \ over {\ sqrt {2}}}.}$

V rovině je rovnice ${\ displaystyle X, Y}$

${\ Displaystyle 2X (X^{2}+3Y^{2}) = 3 {\ sqrt {2}} a (X^{2} -Y^{2})}$.

Roztáhneme -li křivku ve směru o tento faktor, stane se to ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$

${\ Displaystyle 2X (X^{2}+Y^{2}) = a {\ sqrt {2}} (3X^{2} -Y^{2}),}$

což je rovnice trojúhelníku Maclaurina.

Poznámky

Reference

• J. Dennis Lawrence: Katalog speciálních rovinných křivek , 1972, Dover Publications. ISBN  0-486-60288-5 , s. 106–108
• George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , New York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN  0-07-057566-5 ; nové vydání 2007, The Mathematical Association of America ( MAA )

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Folium of Descartes“ . MathWorld .
• „Folium of Descartes“ v MacTutorově indexu slavných křivek
• „Cartesian Folium“ na MathCurve