Foucaultovo kyvadlo - Foucault pendulum

Foucaultovo kyvadlo v Panthéonu v Paříži

Foucault kyvadlo nebo Foucaultovo kyvadlo je jednoduchý přístroj pojmenoval francouzský fyzik Léon Foucault a koncipována jako pokus k prokázání rotaci Země . Kyvadlo byl představen v roce 1851 a byl první pokus dát jednoduchý a přímý důkaz otáčení Země. Foucaultská kyvadla jsou dnes oblíbenými ukázkami ve vědeckých muzeích a na univerzitách.

Originální Foucaultovo kyvadlo

Tisk Foucaultova kyvadla, 1895

Přehrávejte média

Foucaultovo kyvadlo v COSI Columbus převrhlo míč

Přehrávejte média

Foucaultovo kyvadlo v Panthéonu v Paříži

První veřejná výstava Foucaultova kyvadla se konala v únoru 1851 v poledníku pařížské hvězdárny . O několik týdnů později vyrobil Foucault své nejslavnější kyvadlo, když z kopule pařížského Panthéonu zavěsil olověný bob o hmotnosti 28 kilogramů (62 liber) s mosazným olověným drátem o délce 67 metrů . Správná doba kyvadla byla přibližně sekundy. Protože zeměpisná šířka jeho polohy byla = 48 ° 52 'severní šířky, rovina kyvného kyvu udělala celý kruh přibližně za ≈ 31,8 hodin (31 hodin 50 minut), přičemž se otáčel ve směru hodinových ručiček přibližně 11,3 ° za hodinu. ${\ Displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} \ cca 16,5}$${\ displaystyle \ phi \,}$${\ displaystyle {\ frac {23h56 '} {\ sin \ phi}}}$

Původní bob použitý v roce 1851 v Panthéonu byl přesunut v roce 1855 na Conservatoire des Arts et Métiers v Paříži. Druhá dočasná instalace byla provedena k 50. výročí v roce 1902.

Během rekonstrukce muzea v devadesátých letech bylo původní kyvadlo dočasně vystaveno na Panthéonu (1995), ale později bylo vráceno do Musée des Arts et Métiers, než bylo znovu otevřeno v roce 2000. 6. dubna 2010 lanko zavěšující bob v Musée des Arts et Métiers prasklo a způsobilo nenapravitelné poškození kyvadla a mramorové podlahy muzea. Původní, nyní poškozený kyvadlový bob je zobrazen v samostatném pouzdře sousedícím s aktuálním zobrazením kyvadla.

Přesná kopie původního kyvadla funguje od roku 1995 pod kupolí pařížského Panthéonu.

Vysvětlení mechaniky

Animace Foucaultova kyvadla na severní polokouli, přičemž rychlost a amplituda rotace Země jsou značně přehnané. Zelená stopa ukazuje dráhu kyvadla po zemi (rotující referenční rámec) v libovolné svislé rovině. Zdá se, že skutečná rovina švihu se otáčí vzhledem k Zemi: sedící obkročmo na bobu jako houpačka, Coriolisova fiktivní síla mizí: pozorovatel je v referenci „volného otáčení“, kde podle obecné relativity musí být neeuklidovské zakřivené časoprostorové metriky použitý. Drát by měl být co nejdelší - běžné jsou délky 12–30 m (40–100 stop).

Na geografickém severním pólu nebo na geografickém jižním pólu zůstává rovina oscilace kyvadla fixní vzhledem ke vzdáleným hmotám vesmíru, zatímco Země se pod ním otáčí, přičemž rotaci trvá jeden hvězdný den . Ve srovnání se Zemí tedy rovina oscilace kyvadla na severním pólu - při pohledu shora - během jednoho dne projde úplnou rotací ve směru hodinových ručiček; kyvadlo na jižním pólu se otáčí proti směru hodinových ručiček.

Když je na rovníku zavěšeno Foucaultovo kyvadlo , zůstává oscilační rovina vzhledem k Zemi pevná. V jiných zeměpisných šířkách se rovina kmitů precesuje vzhledem k Zemi, ale pomaleji než na pólu; úhlová rychlost, ω (měřeno ve směru hodinových ručiček stupních za sidericky den), je úměrný sinu části šířky , cp :

${\ Displaystyle \ omega = 360^{\ circ} \ sin \ varphi \ /\ mathrm {day}}$,

kde zeměpisné šířky na sever a na jih od rovníku jsou definovány jako kladné a záporné. „Kyvadlový den“ je čas potřebný k tomu, aby rovina volně zavěšeného Foucaultova kyvadla dokončila zjevnou rotaci kolem místní vertikály. Toto je jeden hvězdný den dělený sinusem zeměpisné šířky. Například Foucaultovo kyvadlo na 30 ° jižní šířky, při pohledu shora pozorovatelem pozemského, se za dva dny otočí proti směru hodinových ručiček o 360 °.

Při použití dostatečné délky drátu může být popsaný kruh dostatečně široký, aby bylo tangenciální posunutí podél měřicího kruhu mezi dvěma oscilacemi viditelné okem, což z Foucaultova kyvadla činí velkolepý experiment: například původní Foucaultovo kyvadlo v Panthéonu se pohybuje kruhově, s 6metrovou amplitudou kyvadla, přibližně o 5 mm v každé periodě.

Foucaultovo kyvadlo na severním pólu: Kyvadlo se houpe ve stejné rovině, jako se pod ním otáčí Země.

Výňatek z ilustrované přílohy časopisu Le Petit Parisien ze dne 2. listopadu 1902 k 50. výročí experimentu Léona Foucaulta, který demonstruje rotaci Země.

Foucaultovo kyvadlo vyžaduje opatrné nastavení, protože nepřesná konstrukce může způsobit další otáčení, které maskuje pozemský efekt. Jak poznamenal pozdější laureát Nobelovy ceny Heike Kamerlingh Onnes , který pro svou disertační práci (1879) vyvinul úplnější teorii Foucaultova kyvadla, může geometrická nedokonalost systému nebo pružnost nosného drátu způsobit interferenci mezi dvěma horizontálními režimy oscilace, které způsobil, že Onnesovo kyvadlo přešlo za hodinu z lineárního na eliptické oscilace. Počáteční spuštění kyvadla je také kritické; tradičním způsobem, jak toho dosáhnout, je použít plamen k propálení nitě, která dočasně drží bob ve své výchozí poloze, čímž se zabrání nežádoucímu pohybu do strany (viz detail startu při 50. výročí v roce 1902 ).

Je pozoruhodné, že otáčení kyvadla bylo pozorováno již v roce 1661 Vincenzem Viviani , žákem Galilea , ale neexistuje žádný důkaz, že by spojil účinek s rotací Země; spíše to považoval za nepříjemnost ve své studii, které by mělo být překonáno zavěšením bobu na dvě lana místo na jedno.

Odpor vzduchu tlumí oscilaci, takže některá Foucaultova kyvadla v muzeích obsahují elektromagnetický nebo jiný pohon, aby se bob houpal; ostatní se pravidelně restartují, někdy s obřadem spuštění jako přidanou atrakcí. Kromě odporu vzduchu (použití těžkého symetrického bobu má snížit třecí síly, hlavně odpor vzduchu symetrickým a aerodynamickým bobem) je v současné době dalším hlavním technickým problémem při vytváření 1metrového Foucaultova kyvadla zajištění toho, že neexistuje žádný upřednostňovaný směr švihu.

Animace popisuje pohyb Foucaultova kyvadla na 30 ° severní šířky. Rovina oscilace se během jednoho dne otáčí o úhel −180 °, takže po dvou dnech se letadlo vrátí do původní orientace.

Foucaultův gyroskop

Pro demonstraci rotace spíše než nepřímo pomocí kyvného kyvadla použil Foucault v experimentu z roku 1852 gyroskop (slovo, které vytvořil Foucault v roce 1852). Vnitřní závěs gyroskopu Foucault byl vyvážen na ložiskách na hranách nožů na vnějším závěsu a vnější závěs byl zavěšen jemným závitem bez kroucení takovým způsobem, že spodní bod otáčení neměl téměř žádnou váhu. Gyroskop byl před umístěním do polohy roztočen na 9 000–12 000 otáček za minutu s uspořádáním ozubených kol, což byl dostatečný čas na vyvážení gyroskopu a provedení 10 minut experimentování. Přístroj bylo možné pozorovat buď mikroskopem sledujícím měřítko desetiny stupně, nebo dlouhým ukazatelem. Nejméně tři další kopie gyroskopu Foucault byly vyrobeny v pohodlném cestování a předváděcích boxech a kopie přežily ve Velké Británii, Francii a USA. Gyroskop Foucault se stal výzvou a zdrojem inspirace pro kvalifikované vědecké fandy, jako je DB Adamson .

Precese jako forma paralelního transportu

Paralelní transport vektoru kolem uzavřené smyčky na kouli: Úhel, o který se zkroutí, α , je úměrný ploše uvnitř smyčky.

V téměř inerciální soustavě pohybující se v tandemu se Zemí, ale nesdílející rotaci Země kolem své vlastní osy, bod zavěšení kyvadla vystopuje kruhovou dráhu během jednoho hvězdného dne.

Na pařížské šířce, 48 stupňů 51 minut severně, trvá plný precesní cyklus necelých 32 hodin, takže po jednom hvězdném dni, kdy je Země zpět ve stejné orientaci jako jeden hvězdný den předtím, se oscilační rovina otočila o pouhých přes 270 stupňů. Pokud byla rovina švihu na počátku sever -jih, je o hvězdný den později východ -západ.

To také znamená, že došlo k výměně hybnosti ; Země a kyvadlo bob si vyměnily hybnost. Země je tak hmotnější než kyvadlo, že změna hybnosti Země je nepostřehnutelná. Nicméně, protože rovina kyvadla bobu kyvadla se posunula, zákony zachování naznačují, že došlo k výměně.

Spíše než sledovat změnu hybnosti lze precesi oscilační roviny efektivně popsat jako případ paralelního transportu . Pro to, že je možno prokázat tím, že skládání nekonečně malá rotace, že rychlost precese je úměrná projekci na úhlové rychlosti Země na normálním směrem k Zemi, což znamená, že stopa roviny kmitání projde paralelní transport . Po 24 hodinách je rozdíl mezi počáteční a konečnou orientací stopy v zemském rámci α = −2π sin φ , což odpovídá hodnotě dané Gaussovou – Bonnetovou větou . α se také nazývá holonomie nebo geometrická fáze kyvadla. Při analýze pozemských pohybů není pozemský rámec setrvačný , ale otáčí se kolem lokální vertikály efektivní rychlostí 2π sin φ radiánů za den. K popisu úhlu natočení roviny kyvadla Foucaultova kyvadla lze použít jednoduchou metodu využívající paralelní transport v kuželech tečných k zemskému povrchu.

Z pohledu souřadnicového systému vázaného na Zemi (měřicí kruh a divák jsou ohraničeny Zemí, také pokud divák při pohybu nevnímá terénní reakci na Coriolisovu sílu) pomocí pravoúhlého souřadného systému, jehož osa x směřuje na východ a jeho osy y směřující na sever, je precese kyvadla způsobena Coriolisovou silou (jiné fiktivní síly jako gravitace a odstředivá síla nemají přímou precesní složku, Eulerova síla je nízká, protože rychlost rotace Země je téměř konstantní). Uvažujme rovinné kyvadlo s konstantní vlastní frekvencí ω v aproximaci malého úhlu . Na kyvadlový bob působí dvě síly: obnovovací síla poskytovaná gravitací a drátem a Coriolisova síla (odstředivou sílu, na rozdíl od gravitační obnovující síly, lze zanedbávat). Coriolisova síla na zeměpisné šířce φ je v aproximaci malého úhlu horizontální a je dána vztahem

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} F_ {c, x} & = 2m \ Omega {\ dfrac {dy} {dt}} \ sin \ varphi \\ F_ {c, y} & =-2m \ Omega {\ dfrac {dx} {dt}} \ sin \ varphi \ end {zarovnáno}}}$

kde Ω je rotační frekvence Země, F _{c , x} je složkou Coriolisovy síly ve směru x a F _{c , y} je složkou Coriolisovy síly ve směru y .

Obnovovací síla v aproximaci s malým úhlem a při zanedbání odstředivé síly je dána vztahem

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} F_ {g, x} & =-m \ omega ^{2} x \\ F_ {g, y} & =-m \ omega ^{2} y. \ end {zarovnaný }}}$

Grafy období precese a precese za hvězdný den vs. zeměpisná šířka. Znamení se mění, jak se Foucaultovo kyvadlo otáčí proti směru hodinových ručiček na jižní polokouli a ve směru hodinových ručiček na severní polokouli. Příklad ukazuje, že jeden v Paříži precese 271 ° každý hvězdný den, což trvá 31,8 hodiny na rotaci.

Pomocí Newtonových pohybových zákonů to vede k soustavě rovnic

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ dfrac {d^{2} x} {dt^{2}}} & =-\ omega^{2} x+2 \ Omega {\ dfrac {dy} {dt }} \ sin \ varphi \\ {\ dfrac {d^{2} y} {dt^{2}}} & =-\ omega^{2} y-2 \ Omega {\ dfrac {dx} {dt} } \ sin \ varphi. \ end {aligned}}}$

Přepnutím na komplexní souřadnice z = x + iy , načtené rovnice

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2} z} {dt^{2}}} +2i \ Omega {\ frac {dz} {dt}} \ sin \ varphi +\ omega^{2} z = 0 \ ,.}$

K první objednávce v Ω/ω tato rovnice má řešení

${\ Displaystyle z = e^{-i \ Omega \ sin \ varphi t} \ left (c_ {1} e^{i \ omega t}+c_ {2} e^{-i \ omega t} \ right) \ ,.}$

Pokud je čas měřen ve dnech, pak Ω = 2π a kyvadlo se během jednoho dne otáčí o úhel −2π sin φ .

Související fyzikální systémy

Zařízení popsané společností Wheatstone.

Mnoho fyzikálních systémů se zpracovává podobným způsobem jako Foucaultovo kyvadlo. Již v roce 1836, skotský matematik Edward Sang vymyšlen a vysvětlil precesi spřádacího vrcholu . V roce 1851 Charles Wheatstone popsal zařízení, které se skládá z vibrační pružiny, která je namontována na disk tak, aby svíral pevný úhel φ s diskem. Pružina je udeřena tak, že kmitá v rovině. Když se disk otočí, rovina oscilace se změní stejně jako rovina Foucaultova kyvadla na zeměpisné šířce φ .

Podobně zvažte neotáčející se, dokonale vyvážené kolo jízdního kola upevněné na disku tak, aby jeho osa otáčení svírala s diskem úhel φ . Když disk projde plnou otáčkou po směru hodinových ručiček, kolo kola se nevrátí do své původní polohy, ale projde čistou rotací 2π sin φ .

Foucaultova precese je pozorována ve virtuálním systému, kde je bezhmotná částice nucena zůstat v rotující rovině, která je nakloněna vzhledem k ose otáčení.

Otáčení relativistické částice pohybující se po kruhové dráze se precesuje podobně jako v kyvné rovině Foucaultova kyvadla. Relativistický prostor rychlosti v Minkowského časoprostoru lze považovat za sféru S ³ ve 4-dimenzionálním euklidovském prostoru s imaginárním poloměrem a imaginární časově podobnou souřadnicí. Paralelní transport polarizačních vektorů podél takové koule vede k Thomasově precesi , která je analogická rotaci kyvné roviny Foucaultova kyvadla v důsledku paralelního transportu po kouli S ² v 3-dimenzionálním euklidovském prostoru.

Ve fyzice je vývoj takových systémů určen geometrickými fázemi . Matematicky jsou chápány prostřednictvím paralelního transportu.

Foucaultská kyvadla po celém světě

Po celém světě existuje mnoho Foucaultových kyvadel na univerzitách, vědeckých muzeích a podobně. Sídlo OSN v New Yorku má jedno. Oregon Convention Center kyvadlo je prohlašoval, že je největší, jeho délka je cca 27 m (89 ft), nicméně, tam jsou větší z nich jsou uvedeny v tomto článku, jako je ten v Gamow věž na University of Colorado (39,3 m) . V katedrále svatého Izáka , Petrohrad , Rusko bývaly mnohem delší kyvadla, například kyvadlo 98 m (322 stop) .

• 

  Foucaultovo kyvadlo v Musée des Arts et Métiers

• 

  Foucaultovo kyvadlo ve vědeckém centru Ranchi

• 

  Foucaultovo kyvadlo na Kalifornské akademii věd

• 

  Foucaultovo kyvadlo v Devonshire Dome , University of Derby

Jižní pól

Experiment byl také proveden na jižním pólu , kde se předpokládalo, že rotace Země bude mít maximální účinek na stanici Amundsen – Scott South Pole , v šestipodlažním schodišti nové rozestavěné stanice. Kyvadlo mělo délku 33 m (108 ft) a bob vážil 25 kg (55 lb). Umístění bylo ideální: žádný pohybující se vzduch nemohl narušit kyvadlo a nízká viskozita studeného vzduchu snížila odpor vzduchu. Vědci potvrdili dobu rotace roviny oscilace asi 24 hodin.

Viz také

Reference

Další čtení

• Arnold, VI (1989). Matematické metody klasické mechaniky . Springer. p. 123 . ISBN 978-0-387-96890-2.
• Marion, Jerry B .; Thornton, Stephen T. (1995). Klasická dynamika částic a systémů (4. vyd.). Brooks Cole. s.  398–401 . ISBN 978-0-03-097302-4.
• Persson, Anders O. (2005). „Coriolisův efekt: Čtyři století konfliktu mezi zdravým rozumem a matematikou, část I: Historie do roku 1885“ (PDF) . Dějiny meteorologie . 2 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2014-04-11 . Citováno 2006-04-27 .

externí odkazy

• Wolfe, Joe, „ Odvození precese Foucaultova kyvadla “.
• „ Foucaultovo kyvadlo “, odvození precese v polárních souřadnicích.
• „ The Foucault Pendulum “ od Joe Wolfe, s filmovým klipem a animacemi.
• „ Foucaultovo kyvadlo “ od Jens-Peera Kusky s Jeffem Bryantem, Wolfram Demonstrations Project : počítačový model kyvadla umožňující manipulaci s frekvencí kyvadla, frekvencí rotace Země, zeměpisnou šířkou a časem.
• „ Webová kamera Kirchhoff-Institut für Physik, Universität Heidelberg “.
• Kalifornská akademie věd, CA Foucaultovo vysvětlení kyvadla, v přátelském formátu
• Foucaultův model kyvadla Expozice včetně stolního zařízení, které ukazuje Foucaultův efekt během několika sekund.
• Foucault, ML, Fyzická ukázka rotace Země pomocí kyvadla , Franklin Institute, 2000, vyvoláno 2007-10-31. Překlad jeho papíru o Foucaultově kyvadle.
• Tobin, William. „Život a věda Léona Foucaulta“ .
• Bowley, Roger (2010). „Foucaultovo kyvadlo“ . Šedesát symbolů . Brady Haran pro University of Nottingham .
• Foucault-inga Párizsban Foucaultovo kyvadlo v Paříži -video z operujícího Foucaultova kyvadla v Panthéonu (v maďarštině) .
• Pendolo nel Salone Foucaultovo kyvadlo uvnitř Palazzo della Ragione v Padově, Itálie
• Chessin, AS (1895). „Na Foucaultově kyvadle“. Dopoledne. J. Math . 17 (1): 81–88. doi : 10,2307/2369710 . JSTOR  2369710 .
• MacMillan, William Duncan (1915). „Na Foucaultově kyvadle“. Dopoledne. J. Math . 37 (1): 95–106. doi : 10,2307/2370259 . JSTOR  2370259 . S2CID  123717776 .
• Somerville, WB (1972). „Popis Foucaultova kyvadla“. QJR Astron. Soc . 13 : 40–62. Bibcode : 1972QJRAS..13 ... 40S .
• Braginskij, Vladimír B .; Polnarev, Aleksander G .; Thorne, Kip S. (1984). „Foucaultovo kyvadlo na jižním pólu: Návrh experimentu na detekci obecného relativistického gravitagnetického pole Země“ (PDF) . Fyz. Rev.Lett . 53 (9): 863. Bibcode : 1984PhRvL..53..863B . doi : 10,1103/PhysRevLett.53.863 .
• Crane, H. Richard (1995). „Foucaultovo kyvadlo“ nástěnné hodiny „ “. Dopoledne. J. Phys . 63 (1): 33–39. Bibcode : 1995AmJPh..63 ... 33C . doi : 10,1119/1,17765 .
• Hard, John B .; Miller, Raymond E. (1987). „Jednoduchý geometrický model pro vizualizaci pohybu Foucaultova kyvadla“. Dopoledne. J. Phys . 55 (1): 67. Bibcode : 1987AmJPh..55 ... 67H . doi : 10,1119/1,14972 .
• Das, U .; Talukdar, B .; Shamanna, J. (2002). „Nepřímá analytická reprezentace Foucaultova kyvadla“. Čechoslov. J. Phys . 52 (12): 1321–1327. Bibcode : 2002CzJPh..52.1321D . doi : 10,1023/A: 1021819627736 .
• Salva, Horacio R .; Benavides, Rubén E .; Perez, Julio C .; Cuscueta, Diego J. (2010). „Foucaultův návrh kyvadla“. Rev. Sci. Instrum . 81 (11): 115102–115102–4. Bibcode : 2010RScI ... 81k5102S . doi : 10,1063/1,3494611 . PMID  21133496 .
• Daliga, K .; Przyborski, M .; Szulwic, J. (2015). „Foucaultovo kyvadlo. Nekomplikovaný nástroj při studiu geodézie a kartografie“ . EDULEARN15 Proceedings - 7. mezinárodní konference o vzdělávání a nových technologiích učení, Barcelona, ​​Španělsko . ISBN 978-84-606-8243-1.