Čtyři akcelerace - Four-acceleration

V teorie relativity , čtyři zrychlení je čtyři-vektor (vektor čtyřrozměrného časoprostoru ), který je analogický s klasickým zrychlení (trojrozměrný vektor, tři-zrychlení ve speciální relativitě ). Čtyřrychlost má uplatnění v oblastech, jako je zničení antiprotonů , rezonance podivných částic a záření zrychleného náboje.

Čtyři zrychlení v setrvačných souřadnicích

V inerciálních souřadnic v speciální relativity , čtyři zrychlení je definována jako rychlost změny čtyř rychlosti s ohledem na částečky včas podél jeho Worldline . Můžeme říci: ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {A} = {\ frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} & = \ left (\ gamma _ {u} {\ dot {\ gamma} } _ {u} c, \, \ gamma _ {u} ^ {2} \ mathbf {a} + \ gamma _ {u} {\ dot {\ gamma}} _ {u} \ mathbf {u} \ vpravo ) \\ & = \ left (\ gamma _ {u} ^ {4} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}, \, \ gamma _ {u} ^ { 2} \ mathbf {a} + \ gamma _ {u} ^ {4} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ mathbf {u} \ vpravo ) \\ & = \ left (\ gamma _ {u} ^ {4} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}, \, \ gamma _ {u} ^ { 4} \ left (\ mathbf {a} + {\ frac {\ mathbf {u} \ times \ left (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {a} \ right)} {c ^ {2}}} \ vpravo) \ vpravo), \ end {zarovnáno}}}$

kde

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {d \ mathbf {u} \ nad dt}}$ , se třemi zrychleními a třemi rychlostmi, a ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {u} = {\ frac {\ mathbf {a \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ gamma _ {u} ^ {3} = {\ frac {\ mathbf {a \ cdot u}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ vlevo (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ vpravo) ^ {\ frac {3} {2}}}},}$ a

${\ displaystyle \ gamma _ {u}}$ je Lorentzův faktor pro rychlost (s ). Tečka nad proměnnou označuje derivaci s ohledem na čas souřadnic v daném referenčním rámci, nikoli na správný čas (jinými slovy ). ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle | \ mathbf {u} | = u}$${\ displaystyle \ tau}$${\ textstyle {\ dot {\ gamma}} _ {u} = {d \ gamma _ {u} \ over dt}}$

V okamžitě společně se pohybující inertial vztažné soustavě , a , tedy v takovém referenčním rámu ${\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {u} = 1}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {u} = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (0, \ mathbf {a} \ right).}$

Geometricky je čtyři zrychlení vektorem zakřivení světové linie.

Proto se velikost čtyřrychlení (což je invariantní skalární) rovná správnému zrychlení, které pohybující se částice „cítí“ pohybující se po světové linii. Světová linie mající konstantní čtyřrychlost je Minkowského kruh, tj. Hyperbola (viz hyperbolický pohyb )

Skalární součin částice je čtyři-rychlost a jeho čtyři-zrychlení je vždy 0.

Dokonce i při relativistických rychlostech je čtyři zrychlení spojeno se čtyřmi silami :

${\ displaystyle F ^ {\ mu} = mA ^ {\ mu},}$

kde m je neměnná hmotnost částice.

Když je čtyři-síla je nula, pouze gravitace ovlivňuje trajektorii částice, a čtyři-vektor ekvivalent druhého Newtonova zákona výše redukuje na geodetické rovnice . Čtyři zrychlení částice provádějící geodetický pohyb je nulové. To odpovídá gravitaci, která není silou. Čtyři zrychlení se liší od toho, co chápeme podle zrychlení, jak je definováno v newtonovské fyzice, kde je gravitace považována za sílu.

Čtyři zrychlení v neinerciálních souřadnicích

V neinerciálních souřadnicích, které zahrnují zrychlené souřadnice ve speciální relativitě a všechny souřadnice v obecné relativitě , je zrychlení čtyř vektorů vztaženo k rychlosti čtyř přes absolutní derivaci s ohledem na správný čas.

${\ displaystyle A ^ {\ lambda}: = {\ frac {DU ^ {\ lambda}} {d \ tau}} = {\ frac {dU ^ {\ lambda}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} U ^ {\ nu}}$

V setrvačných souřadnicích jsou symboly Christoffel všechny nulové, takže tento vzorec je kompatibilní s výše uvedeným vzorcem. ${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu}}$

Ve speciální relativitě se jedná o souřadnice přímočarého inerciálního rámce, takže pojem Christoffelových symbolů zmizí, ale někdy, když autoři používají zakřivené souřadnice k popisu zrychleného rámce, referenční rámec není inerciální, budou stále popisovat fyziku jako speciální relativistické, protože metrika je jen rámcová transformace metriky Minkowského prostoru . V takovém případě je to výraz, který je třeba použít, protože symboly Christoffel již nejsou nulové.

Viz také

• Čtyři-vektor
• Čtyři rychlosti
• Čtyři momenty
• Čtyři síly
• Čtyři přechody
• Správné zrychlení

Reference

• Papapetrou A. (1974). Přednášky o obecné relativitě . D. Reidel Publishing Company. ISBN   90-277-0514-3 .
• Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2.) . Oxford: Oxford University Press. ISBN   0-19-853952-5 .

externí odkazy

• Vektor zakřivení na Britannica