Derivát kovariantního měřidla - Gauge covariant derivative

Měřidlo kovariantní derivace je variace kovariantní derivátu použitého v obecné teorie relativity . Pokud má teorie transformace měřidla , znamená to, že některé fyzikální vlastnosti určitých rovnic jsou pod těmito transformacemi zachovány. Podobně je kovarianční derivace měřidla běžná derivace upravená tak, aby se chovala jako skutečný vektorový operátor, takže rovnice psané pomocí kovariantní derivace zachovávají své fyzikální vlastnosti při transformacích měřidla.

Přehled

Existuje mnoho způsobů, jak porozumět kovarianční derivaci měřidla. Přístup přijatý v tomto článku je založen na historicky tradiční notaci používané v mnoha učebnicích fyziky. Dalším přístupem je pochopit kovarianční derivaci měřidla jako druh spojení , konkrétněji afinního spojení . Afinní spojení je zajímavé, protože nevyžaduje definování jakéhokoli konceptu metrického tenzoru ; zakřivení afinního připojení lze chápat jako síly pole měřícího potenciálu. Když je k dispozici metrika, lze se vydat jiným směrem a definovat připojení na svazku rámců . Tato cesta vede přímo k obecné relativitě; vyžaduje však metriku, kterou teorie měřidel fyziky částic nemají.

Spíše než zevšeobecňování toho druhého se afinní a metrická geometrie odehrávají různými směry: měřicí skupina ( pseudo- ) Riemannovy geometrie musí být obecně neurčitá ortogonální skupina O (s, r) nebo Lorentzova skupina O ( 3,1) pro časoprostor . Je to proto, že vlákna svazku rámců musí nutně podle definice spojovat tangens a kotangens prostoročasu. Naproti tomu skupiny měřidel používané ve fyzice částic by v zásadě mohly být jakoukoli Lieovou skupinou , ačkoli v praxi standardní model používá pouze U (1) , SU (2) a SU (3) . Všimněte si, že Lieovy skupiny nejsou vybaveny metrikou.

Ještě složitější ještě přesnější a geometricky osvícení, přístup je chápat, že měřidlo kovariantní derivace je (přesně) totéž jako vnější kovariantní derivace na úseku o s přidruženým svazku pro hlavní svazku vláken teorie měřidla; a, pro případ spinors, související svazek by rotace svazek z konstrukce odstřeďování . Ačkoli je koncepčně stejný, používá tento přístup velmi odlišnou sadu notace a vyžaduje mnohem pokročilejší pozadí ve více oblastech diferenciální geometrie .

Posledním krokem v geometrizaci invariance měřidel je uznání, že v kvantové teorii stačí porovnat sousední vlákna hlavního svazku vláken a že vlákna sama o sobě poskytují nadbytečný další popis. To vede k myšlence modifikace skupiny měřidel za účelem získání měřidla grupoidu jako nejbližšího popisu spojení měřidel v teorii kvantového pole.

U obyčejných Lieových algeber nelze kovarianční derivaci měřidla na prostorových symetriích (pseudo-Riemannovy varieté a obecnou relativitu) prolínat s vnitřními symetriemi měřidel; to znamená, že metrická geometrie a afinní geometrie jsou nutně odlišné matematické předměty: toto je obsah věty Coleman – Mandula . Předpoklad této věty však porušují Lieovy superalgebry (které nejsou Lieovými algebrami!), Což nabízí naději, že jediná jednotná symetrie může popsat jak prostorovou, tak vnitřní symetrii: to je základ supersymetrie .

Matematičtější přístup využívá bezindexovou notaci, zdůrazňující geometrickou a algebraickou strukturu teorie měřidla a její vztah k Lieovým algebrám a Riemannovým varietám ; například zacházet s kovariancí měřidla jako s ekvivariancí na vláknech svazku vláken. Indexová notace používaná ve fyzice je mnohem praktičtější pro praktické výpočty, ačkoli činí celkovou geometrickou strukturu teorie neprůhlednější. Fyzikální přístup má také pedagogickou výhodu: obecná struktura teorie měřidla může být vystavena po minimálním pozadí ve vícerozměrném počtu , zatímco geometrický přístup vyžaduje velkou investici času do obecné teorie diferenciální geometrie , Riemannian manifolds , Lie algebras , reprezentace Lieových algeber a principiálních svazků, než bude možné dosáhnout obecného porozumění. V pokročilejších diskusích jsou obě notace běžně smíchány.

Tento článek se pokouší co nejvíce přiblížit notaci a jazyku běžně používaným v učebních osnovách fyziky a dotýká se pouze krátce abstraktnějších souvislostí.

Dynamika tekutin

V dynamice tekutin může být kovarianční derivace měřidla kapaliny definována jako

{\ displaystyle \ nabla _ {t} \ mathbf {v}: = \ částečné _ {t} \ mathbf {v} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v}}

kde je rychlostní vektorové pole kapaliny. ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Teorie měřidla

V teorii měřidel , která studuje konkrétní třídu polí, která jsou důležitá v kvantové teorii pole , je minimálně vázaná kovarianční derivace měřidla definována jako

{\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ částečný _ {\ mu} -iqA _ {\ mu}}

kde jsou elektromagnetické čtyři potenciály . ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$

(To platí pro Minkowského metrický podpis (-, +, +, +) , který je běžný v obecné relativitě a používá se níže. Pro konvenci fyziky částic (+, -, -, -) to je . Elektron ' s náboj je definován záporný jako , zatímco pole Dirac je definováno pro pozitivní transformaci jako ) ${\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ částečný _ {\ mu} + iqA _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q_ {e} = - | e |}$ ${\ displaystyle \ psi (x) \ pravá šipka e ^ {iq \ alpha (x)} \ psi (x).}$

Konstrukce kovariantní derivace prostřednictvím požadavku na kovarianci měřidla

Zvažte obecnou (pravděpodobně neabelskou) transformaci měřidla definovanou operátorem symetrie působícím na pole tak , že ${\ displaystyle U (x) = e ^ {i \ alfa (x)}}$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$

{\ Displaystyle \ phi (x) \ rightarrow \ phi '(x) = U (x) \ phi (x) \ equiv e ^ {i \ alpha (x)} \ phi (x),}

{\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} (x) \ rightarrow \ phi {'} ^ {\ dagger} = \ phi ^ {\ dagger} (x) U ^ {\ dagger} (x) \ equiv \ phi ^ {\ dagger} (x) e ^ {- i \ alpha (x)}, \ qquad U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1}.}

kde je prvek Lieovy algebry sdružený s Lieovou skupinou transformací symetrie a lze jej vyjádřit pomocí generátorů skupiny , jako . ${\ displaystyle \ alpha (x)}$ ${\ displaystyle \ {t ^ {a} \} _ {a}}$ ${\ displaystyle \ alpha (x) = \ alpha ^ {a} (x) t ^ {a}}$

Dílčí derivace se tedy transformuje jako ${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} \ phi (x) \ rightarrow \ částečné _ {\ mu} \ phi '(x) = U (x) \ částečné _ {\ mu} \ phi (x) + (\ parciální _ {\ mu} U) \ phi (x) \ ekviv e ^ {i \ alpha (x)} \ parciální _ {\ mu} \ phi (x) + i (\ parciální _ {\ mu} \ alfa) e ^ {i \ alpha (x)} \ phi (x)}

a kinetický člen formy tedy není při této transformaci neměnný. ${\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} \ částečný _ {\ mu} \ phi}$

Můžeme v této souvislosti představit kovariantní derivaci jako zobecnění parciální derivace, která se transformuje kovariantně pod transformací Gauge, tj. Objekt splňující ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu}}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ phi (x) \ rightarrow D '_ {\ mu} \ phi' (x) = U (x) D _ {\ mu} \ phi (x),}

který v operativní formě má podobu

{\ displaystyle D '_ {\ mu} = U (x) D _ {\ mu} U ^ {\ dagger} (x).}

Proto počítáme (vynecháme explicitní závislosti pro stručnost) ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ phi \ rightarrow D '_ {\ mu} U \ phi = UD _ {\ mu} \ phi + (\ delta D _ {\ mu} U + [D _ {\ mu}, U]) \ phi}

,

kde

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ pravá šipka D '_ {\ mu} \ ekviv D _ {\ mu} + \ delta D _ {\ mu}}

.

Podmínka transformace kovariantně je nyní přeložena do podmínky ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$

{\ displaystyle (\ delta D _ {\ mu} U + [D _ {\ mu}, U]) \ phi = 0.}

Abychom získali explicitní výraz, následujeme QED a vytvoříme Ansatz

{\ displaystyle D _ {\ mu} = \ částečné _ {\ mu} -igA _ {\ mu},}

kde vektorové pole vyhovuje, ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$

{\ displaystyle A _ {\ mu} \ rightarrow A '_ {\ mu} = A _ {\ mu} + \ delta A _ {\ mu},}

ze kterého to vyplývá

{\ displaystyle \ delta D _ {\ mu} \ equiv -ig \ delta A _ {\ mu}}

a

{\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} = [U, A _ {\ mu}] U ^ {\ dagger} - {\ frac {i} {g}} [\ částečný _ {\ mu}, U] U ^ {\ dagger}}

který má formu ${\ displaystyle U (x) = 1 + i \ alfa (x) + {\ mathcal {O}} (\ alpha ^ {2})}$

{\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} = {\ frac {1} {g}} ([\ částečný _ {\ mu}, \ alpha] -ig [A _ {\ mu}, \ alfa]) + {\ mathcal {O}} (\ alpha ^ {2}) = {\ frac {1} {g}} [D _ {\ mu}, \ alpha] + {\ mathcal {O}} (\ alpha ^ {2}) }

Takto jsme našli objekt tak, že ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} (x) D _ {\ mu} \ phi (x) \ rightarrow \ phi '^ {\ dagger} (x) D' _ {\ mu} \ phi '(x) = \ phi ^ {\ dagger} (x) D _ {\ mu} \ phi (x).}

Kvantová elektrodynamika

Pokud je transformace měřidla dána

{\ displaystyle \ psi \ mapsto e ^ {i \ Lambda} \ psi}

a pro měřicí potenciál

{\ displaystyle A _ {\ mu} \ mapsto A _ {\ mu} + {1 \ over e} (\ částečný _ {\ mu} \ Lambda)}

pak se transformuje jako ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ mapsto \ částečné _ {\ mu} -ieA _ {\ mu} -i (\ částečné _ {\ mu} \ Lambda)}

,

a transformuje se jako ${\ displaystyle D _ {\ mu} \ psi}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ psi \ mapsto e ^ {i \ Lambda} D _ {\ mu} \ psi}

a transformuje se jako ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}}: = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ mapsto {\ bar {\ psi}} e ^ {- i \ Lambda}}

aby

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} D _ {\ mu} \ psi \ mapsto {\ bar {\ psi}} D _ {\ mu} \ psi}

a v QED Lagrangian je tedy měřidlo invariantní, a kovarianční derivát měřidla je tedy pojmenován výstižně. ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} D _ {\ mu} \ psi}$

Na druhou stranu by nekovariantní derivát nezachoval Lagrangeovu měřicí symetrii, protože ${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ částečný _ {\ mu} \ psi \ mapsto {\ bar {\ psi}} \ částečný _ {\ mu} \ psi + i {\ bar {\ psi}} ( \ částečný _ {\ mu} \ Lambda) \ psi}

.

Kvantová chromodynamika

V kvantové chromodynamice je kovarianční derivace měřidla

{\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ částečný _ {\ mu} -ig_ {s} \, G _ {\ mu} ^ {\ alpha} \, \ lambda _ {\ alpha} / 2}

kde je vazebná konstanta silné interakce, je gluonová měřidlo pole , pro osm různých gluonů , a tam, kde je jeden z osmi Gell-Mann matic . Tyto Gell-Mann matrice získá zastoupení v tomto barvu symetrie skupiny SU (3) . U kvarků je reprezentace základní reprezentací , u gluonů je reprezentací adjunktní reprezentace . ${\ displaystyle g_ {s}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1 \ tečky 8}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha}}$

Standardní model

Kovarianční derivace ve standardním modelu kombinuje elektromagnetické, slabé a silné interakce. Lze jej vyjádřit v následující podobě:

{\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ částečný _ {\ mu} -i {\ frac {g '} {2}} Y \, B _ {\ mu} -i {\ frac {g} {2}} \ sigma _ {j} \, W _ {\ mu} ^ {j} -i {\ frac {g_ {s}} {2}} \ lambda _ {\ alpha} \, G _ {\ mu} ^ {\ alfa }}

Měřidlo pole sem patřit k základním zastoupení jednotlivých elektroslabých Lie skupiny krát barevný symetrie Lie skupinu SU (3) . Vazebná konstanta zajišťuje spojení hypervýboje s bosonem a vazby prostřednictvím tří vektorových bosonů se slabým isospinem, jehož složky jsou zde zapsány jako Pauliho matice . Prostřednictvím Higgsova mechanismu se tato bosonová pole kombinují do nehmotného elektromagnetického pole a polí pro tři masivní vektorové bosony a . ${\ displaystyle U (1) \ krát SU (2)}$ ${\ displaystyle g '}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle W ^ {j}}$ ${\ displaystyle (j = 1,2,3)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {j}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle W ^ {\ pm}}$ ${\ displaystyle Z}$

Obecná relativita

V obecné relativitě , tlakoměr kovariantní derivace je definována jako

{\ displaystyle \ nabla _ {j} v ^ {i}: = \ částečné _ {j} v ^ {i} + \ součet _ {k} \ gama ^ {i} {} _ {jk} v ^ {k }}

kde je symbol Christoffel . Více formálně lze tuto derivaci chápat jako Riemannovo spojení na svazku rámců . „Svoboda měřidla“ je zde libovolná volba souřadnicového rámce v každém bodě časoprostoru . ${\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {jk}}$

Viz také

Reference

^ LD Faddeev, AA Slavnov, Gauge Fields: Introduction to Gauge Theory , (1980) Benjamin Cummings, ISBN 0-8053-9016-2
^ Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, teorie kvantového pole (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3
^ Warren Siegel, Fields (1999) ArXiv
^ Richard S.Palais, Geometrization of Physics (1981) Lecture Notes, Institute of Mathematics, National Tsing Hua University
^ ME Mayer, „ Recenze: David D. Bleecker, teorie měřidel a variační principy “, Bull. Amer. Matematika. Soc. (NS) 9 (1983), č. 1. 1, 83--92
^ ^a ^b Alexandre Guay, Geometrické aspekty symetrie místního rozchodu (2004)
^ ^a ^b Charles W. Misner, Kip S. Thorne a John Archibald Wheeler, Gravitace , (1973) WH Freeman and Company
^ David Bleecker, „ Teorie měřidla a variační principy “ (1982) D. Reidel Publishing (viz kapitola 3 )
^ David Bleecker, op. cit. ( Viz kapitola 6. )
^ Meinhard E. Mayer, „Principal Bundles versus Lie Groupoids in Gauge Theory“, (1990), Diferenciální geometrické metody v teoretické fyzice , svazek 245, str. 793-802
^ http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
^ Viz např. Ekv. 3,116 v C. Tully, Elementární částicová fyzika v kostce , 2011, Princeton University Press.

Tsutomu Kambe, princip měřidla pro ideální tekutiny a variační princip . (Soubor PDF.)

[1] LD Faddeev, AA Slavnov, Gauge Fields: Introduction to Gauge Theory , (1980) Benjamin Cummings, ISBN 0-8053-9016-2

[2] Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, teorie kvantového pole (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3

[3] Warren Siegel, Fields (1999) ArXiv

[4] Richard S.Palais, Geometrization of Physics (1981) Lecture Notes, Institute of Mathematics, National Tsing Hua University

[5] ME Mayer, „ Recenze: David D. Bleecker, teorie měřidel a variační principy “, Bull. Amer. Matematika. Soc. (NS) 9 (1983), č. 1. 1, 83--92

[guay-6] Alexandre Guay, Geometrické aspekty symetrie místního rozchodu (2004)

[MTW-7] Charles W. Misner, Kip S. Thorne a John Archibald Wheeler, Gravitace , (1973) WH Freeman and Company

[8] David Bleecker, „ Teorie měřidla a variační principy “ (1982) D. Reidel Publishing (viz kapitola 3 )

[9] David Bleecker, op. cit. ( Viz kapitola 6. )

[10] Meinhard E. Mayer, „Principal Bundles versus Lie Groupoids in Gauge Theory“, (1990), Diferenciální geometrické metody v teoretické fyzice , svazek 245, str. 793-802

[11] ttp://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html

[12] Viz např. Ekv. 3,116 v C. Tully, Elementární částicová fyzika v kostce , 2011, Princeton University Press.

Languages

In other projects