Zobecněná distribuce chí -kvadrát - Generalized chi-squared distribution

Zobecněná distribuce chí-kvadrát

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Kumulativní distribuční funkce
Zápis	${\ displaystyle {\ tilde {\ chi}}^{2} ({\ boldsymbol {w}}, {\ boldsymbol {k}}, {\ boldsymbol {\ lambda}}, m, s)}$
Parametry	${\ displaystyle {\ boldsymbol {w}}}$, vektor vah necentrálních chi-kvadrátových komponent , vektor stupňů volnosti necentrálních chi-square komponent , vektor necentrálních parametrů chi-square komponent , průměr normálního členu , sd normálního členu ${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle s}$
Podpěra, podpora	${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$
Znamenat	${\ Displaystyle \ sum _ {j} w_ {j} (k_ {j}+\ lambda _ {j})+m}$
Variance	${\ Displaystyle 2 \ sum _ {j} w_ {j}^{2} (k_ {j} +2 \ lambda _ {j})+s^{2}}$
CF	${\ Displaystyle {\ frac {\ exp \ left (it \ sum _ {j} {\ frac {w_ {j} \ lambda _ {j}} {1-2iw_ {j} t}}-{\ frac {s ^{2} t^{2}} {2}} \ right)} {\ prod _ {j} \ left (1-2iw_ {j} t \ right)^{k_ {j}/2}}}}}$

V teorii pravděpodobnosti a statistiky je zobecněný Chi-kvadrát rozdělení (nebo generalizované chí-kvadrát rozdělení ) je distribuce a kvadratické formy jednoho multinormal proměnné (normální vektoru) , nebo lineární kombinace různých normálních proměnných a náměstích normálních proměnných. Ekvivalentně je to také lineární součet nezávislých necentrálních proměnných chí-kvadrát a normální proměnná . Existuje několik dalších takových generalizací, pro které se někdy používá stejný termín; některé z nich jsou speciálními případy rodiny, o nichž se zde diskutuje, například distribuce gama .

Definice

Zobecněnou proměnnou chí-kvadrát lze popsat několika způsoby. Jedním z nich je napsat to jako lineární součet nezávislých necentrálních proměnných chi-square a normální proměnné:

${\ Displaystyle \ xi = \ sum _ {i} w_ {i} y_ {i}+x, \ quad y_ {i} \ sim \ chi '^{2} (k_ {i}, \ lambda _ {i} ), \ quad x \ sim N (m, s^{2}).}$

Zde jsou parametry hmotnosti , stupně volnosti a necentrálnosti jednotlivých chi-čtverců a normální parametry a . Některé důležité zvláštní případy mají všechny váhy stejného znaménka, nebo mají centrální chí-kvadrátové komponenty, nebo vynechávají normální výraz. ${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle w_ {i}}$

Protože necentrální proměnná chí-kvadrát je součtem druhých mocnin normálních proměnných s různými prostředky, je zobecněná proměnná chi-square také definována jako součet čtverců nezávislých normálních proměnných plus nezávislá normální proměnná: tj. kvadratický v normálních proměnných.

Dalším ekvivalentním způsobem je formulovat to jako kvadratickou formu normálního vektoru : ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$

${\ Displaystyle \ xi = q ({\ boldsymbol {x}}) = {\ boldsymbol {x}} '\ mathbf {Q_ {2}} {\ boldsymbol {x}}+{\ boldsymbol {q_ {1}} } '{\ boldsymbol {x}}+q_ {0}}$.

Zde je matice, je vektor a je skalární. Ty spolu se střední a kovarianční maticí normálního vektoru parametrizují rozdělení. Parametry dřívějšího výrazu (pokud jde o necentrální chi-čtverce, normální a konstantu) lze vypočítat pomocí parametrů posledního výrazu (kvadratická forma normálního vektoru). Je-li (a pouze pokud) v této formulaci pozitivní-definitivní , pak všechny v první formulaci budou mít stejné znaménko. ${\ displaystyle \ mathbf {Q_ {2}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q_ {1}}}}$${\ displaystyle q_ {0}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Q_ {2}}}$${\ displaystyle w_ {i}}$

V nejobecnějším případě lze redukci na běžný standardní formulář provést pomocí znázornění následujícího formuláře:

${\ Displaystyle X = (z+a)^{\ mathrm {T}} A (z+a)+c^{\ mathrm {T}} z = (x+b)^{\ mathrm {T}} D (x+b)+d^{\ mathrm {T}} x+e,}$

kde D je diagonální matice a kde x představuje vektor nekorelovaných standardních normálních náhodných proměnných.

Výpočet pdf/cdf/inverzních cdf/náhodných čísel

Hustota pravděpodobnosti, kumulativní distribuce a inverzní kumulativní distribuční funkce zobecněné proměnné chí-kvadrát nemají jednoduché výrazy v uzavřené formě. Byly však publikovány numerické algoritmy a počítačový kód ( Fortran a C , Matlab , R ) za účelem vyhodnocení některých z nich a generování náhodných vzorků.

Aplikace

Zobecněná chí-kvadrát je distribuce statistických odhadů v případech, kdy obvyklá statistická teorie neplatí, jako v příkladech níže.

Při montáži a výběru modelu

Pokud je prediktivní model vybaven nejmenšími čtverci , ale zbytky mají buď autokorelaci, nebo heteroscedasticitu , pak lze alternativní modely porovnat (při výběru modelu ) vztahem změn v součtu čtverců k asymptoticky platné generalizované distribuci chí-kvadrát.

Klasifikace normálních vektorů pomocí Gaussovy diskriminační analýzy

Pokud je normálový vektor, jeho log pravděpodobnosti je kvadratická forma z , a je tudíž distribuovány jako generalizované chi-kvadrát. Poměr pravděpodobnosti logů, který vyplývá z jedné normální distribuce oproti druhé, je také kvadratickou formou , takže je distribuován jako generalizovaný chí-kvadrát. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$

V Gaussově diskriminační analýze jsou vzorky z multinormálních distribucí optimálně odděleny pomocí kvadratického klasifikátoru , hranice, která je kvadratickou funkcí (např. Křivka definovaná nastavením poměru pravděpodobnosti mezi dvěma Gaussy na 1). Chyby klasifikace různých typů (falešně pozitivní a falešně negativní) jsou integrály normálních distribucí v kvadratických oblastech definovaných tímto klasifikátorem. Protože toto je matematicky ekvivalentní integraci kvadratické formy normálního vektoru, výsledkem je integrál proměnné generalizované chí-kvadrát.

Při zpracování signálu

Následující aplikace vzniká v souvislosti s Fourierovy analýzy na zpracování signálu , teorie obnovy v teorii pravděpodobnosti , a více anténních systémů v bezdrátové komunikaci . Společným faktorem těchto oblastí je, že součet exponenciálně rozložených proměnných je důležitý (nebo shodně součet čtvercových velikostí kruhově symetrických centrovaných komplexních gaussovských proměnných).

Pokud jsou k nezávislé , kruhově symetricky centrované komplexní gaussovské náhodné proměnné se střední hodnotou 0 a rozptylem , pak náhodná proměnná ${\ displaystyle Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i}^{2}}$

${\ displaystyle {\ tilde {Q}} = \ sum _ {i = 1}^{k} | Z_ {i} |^{2}}$

má generalizovanou chi-kvadrátovou distribuci určité formy. Rozdíl oproti standardní distribuci chí-kvadrát je ten, že jsou složité a mohou mít různé odchylky, a rozdíl od obecnější generalizované distribuce chí-kvadrát je v tom, že relevantní škálovací matice A je diagonální. Pokud je pro všechny I , pak , zmenšen o (tj vynásobí ), má distribuci chi-kvadrát , , také známý jako distribuce Erlang . Pokud mají odlišné hodnoty pro všechna i , pak má pdf ${\ displaystyle Z_ {i}}$${\ Displaystyle \ mu = \ sigma _ {i}^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {Q}}}$${\ Displaystyle \ mu /2}$${\ Displaystyle 2/\ mu}$${\ Displaystyle \ chi ^{2} (2k)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {i}^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {Q}}}$

${\ Displaystyle f (x; k, \ sigma _ {1}^{2}, \ ldots, \ sigma _ {k}^{2}) = \ sum _ {i = 1}^{k} {\ frac {e^{-{\ frac {x} {\ sigma _ {i}^{2}}}}} {\ sigma _ {i}^{2} \ prod _ {j = 1, j \ neq i} ^{k} \ left (1-{\ frac {\ sigma _ {j}^{2}} {\ sigma _ {i}^{2}}} \ right)}} \ quad {\ text {for} } x \ geq 0.}$

Pokud mezi nimi existují sady opakovaných odchylek , předpokládejme, že jsou rozděleny do M sad, z nichž každá představuje určitou hodnotu rozptylu. Označte jako počet opakování v každé skupině. To znamená, že m th sada obsahuje proměnné, které mají rozptyl. Představuje libovolnou lineární kombinaci nezávislých distribuovaných náhodných proměnných s různými stupni volnosti: ${\ Displaystyle \ sigma _ {i}^{2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {M})}$${\ displaystyle r_ {m}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {m}^{2}.}$${\ displaystyle \ chi ^{2}}$

${\ Displaystyle {\ tilde {Q}} = \ sum _ {m = 1}^{M} \ sigma _ {m}^{2}/2*Q_ {m}, \ quad Q_ {m} \ sim \ chi ^{2} (2r_ {m}) \ ,.}$

Soubor pdf je ${\ displaystyle {\ tilde {Q}}}$

${\ Displaystyle f (x; \ mathbf {r}, \ sigma _ {1}^{2}, \ dots \ sigma _ {M}^{2}) = \ prod _ {m = 1}^{M} {\ frac {1} {\ sigma _ {m}^{2r_ {m}}}} \ sum _ {k = 1}^{M} \ sum _ {l = 1}^{r_ {k}} { \ frac {\ Psi _ {k, l, \ mathbf {r}}} {(r_ {k} -l)!}} (-x)^{r_ {k} -l} e^{-{\ frac {x} {\ sigma _ {k}^{2}}}}, \ quad {\ text {for}} x \ geq 0,}$

kde

${\ Displaystyle \ Psi _ {k, l, \ mathbf {r}} = (-1)^{r_ {k} -1} \ sum _ {\ mathbf {i} \ in \ Omega _ {k, l} } \ prod _ {j \ neq k} {\ binom {i_ {j}+r_ {j} -1} {i_ {j}}} \ left ({\ frac {1} {\ sigma _ {j}^ {2}}} \!-\! {\ Frac {1} {\ sigma _ {k}^{2}}} \ right)^{-(r_ {j}+i_ {j})},}$

se ze sady všech oddílů (s ) definovaných jako ${\ Displaystyle \ mathbf {i} = [i_ {1}, \ ldots, i_ {M}]^{T}}$${\ displaystyle \ Omega _ {k, l}}$${\ Displaystyle l-1}$${\ displaystyle i_ {k} = 0}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {k, l} = \ left \ {[i_ {1}, \ ldots, i_ {m}] \ in \ mathbb {Z} ^{m}; \ sum _ {j = 1} ^{M} i_ {j} \! = L-1, i_ {k} = 0, i_ {j} \ geq 0 {\ text {pro všechny}} j \ vpravo \}.}$

Viz také

• Stupně volnosti (statistika)#Alternativní
• Noncentrální distribuce chí-kvadrát
• Distribuce Chi-kvadrát

Reference

externí odkazy

• Davies, RB: Fortran a C zdrojový kód pro „Lineární kombinaci chi-kvadrátových náhodných proměnných“
• Das, A: MATLAB kód pro výpočet statistik, pdf, cdf, inverzní cdf a náhodná čísla generalizované chi-square distribuce.