Helmholtzova věta (klasická mechanika) - Helmholtz theorem (classical mechanics)

Helmholtz věta klasické mechaniky zní takto:

Nechat

${\ displaystyle H (x, p; V) = K (p) + \ varphi (x; V)}$

být Hamiltoniánem jednorozměrného systému, kde

${\ displaystyle K = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

je kinetická energie a

${\ displaystyle \ varphi (x; V)}$

je profil potenciální energie ve tvaru písmene U, který závisí na parametru . Dovolit značí časový průměr. Nechat ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ left \ langle \ cdot \ right \ rangle _ {t}}$

${\ displaystyle E = K + \ varphi,}$

${\ displaystyle T = 2 \ left \ langle K \ right \ rangle _ {t},}$

${\ displaystyle P = \ left \ langle - {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné V}} \ pravé \ rangle _ {t},}$

${\ displaystyle S (E, V) = \ log \ masti {\ sqrt {2m \ left (E- \ varphi \ left (x, V \ right) \ right)}} \, dx.}$

Pak

${\ displaystyle dS = {\ frac {dE + PdV} {T}}.}$

Poznámky

Teze o této věty z klasické mechaniky zní přesně jako tepelný teorém z termodynamiky . Tato skutečnost ukazuje, že mezi určitými mechanickými veličinami existují termodynamické vztahy. To zase umožňuje definovat "termodynamický stav" jednorozměrného mechanického systému. Zejména teplota je dána časová střední kinetické energie, a entropie podle logaritmu účinku (tj ). Důležitost této věty uznal Ludwig Boltzmann, který viděl, jak ji aplikovat na makroskopické systémy (tj. Vícerozměrné systémy), aby poskytly mechanický základ rovnovážné termodynamiky . Tato výzkumná činnost úzce souvisela s jeho formulací ergodické hypotézy . Multidimenzionální verze Helmholtz věty, založené na ergodické věty o George David Birkhoff je známý jako generalizované Helmholtzova věta . ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mast dx {\ sqrt {2m \ levý (E- \ varphi \ levý (x, V \ pravý) \ pravý)}}}$

Reference

• Helmholtz, H., von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111–140 (také ve Wiedemann G. (vyd.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Sv. 3 (str. 142–162, 179–202). Lipsko: Johann Ambrosious Barth).
• Helmholtz, H., von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159–177 (také ve Wiedemann G. (vyd.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Sv. 3 (str. 163–178). Lipsko: Johann Ambrosious Barth).
• Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (také v Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (sv. 3, s. 122–152), F. Hasenöhrl (vyd.). Lipsko. Znovu vydaný New York: Chelsea, 1969. ).
• Gallavotti, G. (1999). Statistická mechanika: Krátké pojednání . Berlín: Springer.
• Campisi, M. (2005) O mechanických základech termodynamiky: Zobecněná Helmholtzova věta Studie v dějinách a filozofii moderní fyziky 36: 275–290