Hypocykloid - Hypocycloid

Červená dráha je hypocykloid sledovaný, jak se menší černý kruh valí kolem uvnitř většího černého kruhu (parametry jsou R = 4,0, r = 1,0, a tak k = 4, což dává astroid ).

V geometrii je hypocykloid speciální křivka roviny generovaná stopou pevného bodu na malém kruhu, který se valí ve větším kruhu. Jak se zvětšuje poloměr většího kruhu, hypocykloid se více podobá cykloidu vytvořenému válcováním kruhu po přímce.

Vlastnosti

Pokud má menší kruh poloměr r a větší kruh má poloměr R = kr , pak parametrické rovnice pro křivku mohou být dány buď:

${\ displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ vlevo ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ vpravo)}$

${\ displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right),}$

nebo:

${\ Displaystyle x (\ theta) = r (k-1) \ cos \ theta + r \ cos \ doleva ((k-1) \ theta \ doprava) \,}$

${\ Displaystyle y (\ theta) = r (k-1) \ sin \ theta -r \ sin \ left ((k-1) \ theta \ right). \,}$

Pokud k je celé číslo, pak křivka je uzavřená a má k vrcholy (tj ostrých hran, kde křivka není diferencovatelná ). Speciálně pro k = 2 je křivka přímka a kruhy se nazývají kruhy Cardano. Girolamo Cardano jako první popsal tyto hypocykloidy a jejich aplikace pro vysokorychlostní tisk .

Pokud k je racionální číslo , řekněme k = p / q vyjádřené v nejjednodušších termínech, pak má křivka p vrcholy.

Pokud k je iracionální číslo , pak se křivka nikdy neuzavře a vyplní prostor mezi větším kruhem a kruhem o poloměru R - 2 r .

Každá hypocykloidy (pro každou hodnotu r ) je brachistochrone pro gravitační potenciál uvnitř homogenní koule o poloměru R .

Plocha uzavřená hypocykloidem je dána vztahem:

${\ displaystyle A = {\ frac {(k-1) (k-2)} {k ^ {2}}} \ pi R ^ {2} = (k-1) (k-2) \ pi r ^ {2}}$

Délka oblouku hypocykloidu je dána vztahem:

${\ displaystyle s = {\ frac {8 (k-1)} {k}} R = 8 (k-1) r}$

Příklady

• Hypocykloidní příklady
• 

  k = 3 - deltový sval

• 

  k = 4 - astroid

• 

  k = 5

• 

  k = 6

• 

  k = 2,1 = 21/10

• 

  k = 3,8 = 19/5

• 

  k = 5,5 = 11/2

• 

  k = 7,2 = 36/5

Hypocykloid je speciální druh hypotrochoidu , což je zvláštní druh rulety .

Hypocykloid se třemi hrbolky je známý jako deltoid .

Hypocykloidová křivka se čtyřmi vrcholy je známá jako astroid .

Hypocykloid se dvěma hrbolky je zvrhlý, ale stále velmi zajímavý případ, známý jako manžel Tusi .

Vztah k teorii skupin

Hypocykloidy „válí“ jeden v druhém. Vrcholy každé z menších křivek udržují nepřetržitý kontakt s dalším větším hypocykloidem.

Jakýkoli hypocykloid s integrální hodnotou k , a tedy k vrcholy, se může pohodlně pohybovat uvnitř jiného hypocykloidu s vrcholy k +1, takže body menšího hypocykloidu budou vždy v kontaktu s větším. Tento pohyb vypadá jako „válcování“, ačkoli není technicky válcování ve smyslu klasické mechaniky, protože zahrnuje uklouznutí.

Hypocykloidní tvary mohou souviset se speciálními jednotnými skupinami označenými SU ( k ), které se skládají z k × k jednotkových matic s determinantem 1. Povolené hodnoty součtu diagonálních záznamů pro matici v SU (3) jsou například přesně body v komplexní rovině ležící uvnitř hypocykloidu tří hrbolů (deltoid). Podobně součet diagonálních vstupů matic SU (4) dává body uvnitř astroidu atd.

Díky tomuto výsledku lze použít skutečnost, že SU ( k ) zapadá do SU ( k + 1 ) jako podskupina, aby dokázal, že epicykloid s k hrbolky se pohodlně pohybuje uvnitř jednoho s k +1 hrbolky.

Odvozené křivky

Evolutní z hypocykloidy je zvětšená verze samotného hypocykloidy, přičemž evolventní z hypocykloidy je zmenšená kopie sebe.

Pedál z hypocykloidy s pólem na středu hypocykloidy je růže křivky .

Isoptic z hypocykloidy je hypocykloidy.

Hypocykloidy v populární kultuře

Křivky podobné hypocykloidům lze kreslit pomocí hračky Spirograph . Konkrétně se jedná o Spirograph může čerpat hypotrochoida a epitrochoida .

Logo Pittsburgh Steelers , které je založeno na Steelmarku , obsahuje tři astroidy (hypocykloidy se čtyřmi vrcholy ). Ve svém týdenním sloupku NFL.com „Úterní ranní rozehrávač“ Gregg Easterbrook často označuje Steelers jako hypocykloidy. Chilský fotbalový tým CD Huachipato založil svůj hřeben na logu Steelers a jako takový obsahuje hypocykloidy.

První Drew Carey sezóna The Price is Right ' set s vybaven astroids na třech hlavních dveří, obří cenovka, a točny oblasti. Astroids na dveřích a gramofonu byly odstraněny, když přehlídka přešla na vysílání ve vysokém rozlišení počínaje rokem 2008, a dnes je obsahuje pouze obrovská cenovka.

Viz také

• Ruleta (křivka)
• Zvláštní případy: pár Tusi , Astroid , Deltoid
• Seznam periodických funkcí
• Cyklogon
• Epicykloid
• Hypotrochoid
• Epitrochoid
• Spirograf
• Vlajka Portlandu v Oregonu s hypocykloidem
• Murray's Hypocycloidal Engine , využívající pár tusi jako náhradu za kliku

Reference

• J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek . Dover Publications. str.  168, 171 až 173 . ISBN   0-486-60288-5 .

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Hypocykloid“ . MathWorld .
• „Hypocycloid“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Hypocykloid" , archiv historie matematiky MacTutor , University of St Andrews .
• Bezplatný nástroj Javascript pro generování hypocykloidních křivek
• Animace epicykloidů, pericykloidů a hypocykloidů
• Plot Hypcycloid - GeoFun
• Snyder, Johne. "Koule s tunelem Brachistochrone" . Demonstrační projekt Wolfram . Iterativní ukázka ukazující brachistochronovou vlastnost hypocykloidu