Imaginární číslo - Imaginary number

Imaginární číslo je komplexní číslo , které může být psáno jako reálné číslo vynásobí imaginární jednotky i , která je definována jeho majetku i ² = -1 . Square imaginární číslo bi je - b ² . Například 5 i je imaginární číslo a jeho čtverec je −25 . Podle definice je nula považována za skutečnou i imaginární.

Tento koncept původně vytvořil v 17. století René Descartes jako hanlivý termín a je považován za fiktivní nebo zbytečný. Tento koncept získal široké uznání po práci Leonharda Eulera (v 18. století) a Augustina-Louise Cauchyho a Carla Friedricha Gausse (na počátku 19. století).

K reálnému číslu a lze přidat imaginární číslo bi a vytvořit komplexní číslo ve tvaru a + bi , kde se skutečná čísla a a b nazývají skutečná část a imaginární část komplexního čísla.

Dějiny

Ilustrace složitého letadla. Imaginární čísla jsou na svislé souřadnicové ose.

Ačkoli řecký matematik a inženýr Hrdina Alexandrie je znám jako první, kdo vymyslel imaginární čísla, byl to Rafael Bombelli, kdo jako první stanovil pravidla pro násobení komplexních čísel v roce 1572. Tento koncept se objevil v tisku dříve, například v práci od Gerolamo Cardano . V té době byla imaginární čísla a záporná čísla špatně pochopena a některými byla považována za fiktivní nebo zbytečná stejně jako kdysi nula. Mnoho dalších matematiků pomalu přijímalo používání imaginárních čísel, včetně Reného Descarta , který o nich psal ve své La Géométrie, ve které byl termín imaginární používán a měl být hanlivý. Použití imaginárních čísel nebylo široce přijímáno až do díla Leonharda Eulera (1707–1783) a Carla Friedricha Gausse (1777–1855). Geometrický význam komplexních čísel jako bodů v rovině poprvé popsal Caspar Wessel (1745–1818).

V roce 1843 William Rowan Hamilton rozšířil myšlenku osy imaginárních čísel v rovině na čtyřrozměrný prostor kvartérních imaginár, ve kterém jsou tři dimenze analogické s imaginárními čísly v komplexním poli.

Geometrická interpretace

Rotace o 90 stupňů v komplexní rovině

Geometricky se imaginární čísla nacházejí na svislé ose roviny komplexních čísel , což umožňuje jejich zobrazení kolmo na skutečnou osu. Jedním ze způsobů, jak se dívat na imaginární čísla, je uvažovat o standardní číselné ose, která se pozitivně zvyšuje o velikost doprava a negativně se zvyšuje o velikost vlevo. V 0 na ose x lze osu y nakreslit „kladným“ směrem nahoru; „kladná“ imaginární čísla pak vzrůstají o velikost směrem nahoru a „záporná“ imaginární čísla o velikost směrem dolů. Tato svislá osa se často nazývá „imaginární osa“ a je označována nebo ℑ . ${\ displaystyle i \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {I},}$

V této reprezentaci násobení  –1 odpovídá otočení o 180 stupňů kolem počátku. Násobení i odpovídá 90stupňové rotaci v „kladném“ směru proti směru hodinových ručiček a rovnice i ² = −1 je interpretována tak, že pokud použijeme dvě 90stupňové rotace o původu, čistý výsledek je jediný Otočení o 180 stupňů. Všimněte si, že 90stupňová rotace ve směru „negativního“ (ve směru hodinových ručiček) také vyhovuje této interpretaci, což odráží skutečnost, že - i také řeší rovnici x ² = −1 . Násobení komplexním číslem je obecně stejné jako otáčení kolem počátku argumentem komplexního čísla , po kterém následuje škálování podle jeho velikosti.

Odmocniny záporných čísel

Péče musí být použit při práci s imaginárními čísly, které jsou vyjádřeny jako hlavní hodnoty jednotlivých odmocniny ze záporných čísel :

${\ Displaystyle 6 = {\ sqrt {36}} = {\ sqrt {(-4) (-9)}} \ neq {\ sqrt {-4}} {\ sqrt {-9}} = (2i) ( 3i) = 6i^{2} =-6.}$

Někdy se to píše takto:

${\ Displaystyle -1 = i^{2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} {\ stackrel {\ text {(klam)}} {=}} {\ sqrt {(- 1) (-1)}} = {\ sqrt {1}} = 1.}$

K omylu dochází, protože rovnost selže, když proměnné nejsou vhodně omezeny. V takovém případě rovnost přestane platit, protože čísla jsou obě záporná, což lze prokázat: ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {-x}} {\ sqrt {-y}} = i {\ sqrt {x}} \ i {\ sqrt {y}} = i^{2} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} =-{\ sqrt {xy}} \ neq {\ sqrt {xy}},}$

kde x a y jsou nezáporná reálná čísla.

Viz také

• de Moivreův vzorec
• Octonion
• -1

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Nahin, Paul (1998). Imaginary Tale: The Story of the Square Root of -1 . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., vysvětluje mnoho aplikací imaginárních výrazů.

externí odkazy

• Jak je možné ukázat, že imaginární čísla skutečně existují? - článek, který pojednává o existenci imaginárních čísel.
• Program 5Numbers 4 Program BBC Radio 4
• Proč používat imaginární čísla? Základní vysvětlení a použití imaginárních čísel