Invarianty tenzorů - Invariants of tensors

V matematice , v oborech multilineární algebry a teorie reprezentace , jsou hlavní invarianty tenzoru druhé řady koeficienty charakteristického polynomu${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ p (\ lambda) = \ det (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I})}$ ,

kde je operátor identity a představují vlastní čísla polynomu . ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ v \ mathbb {C}}$

Obecněji řečeno, jakákoli funkce se skalárními hodnotami je invariantem právě tehdy, když pro všechny ortogonální . To znamená, že vzorec vyjadřující invariant z hlediska komponent, poskytne stejný výsledek pro všechny karteziánské báze. Například, i když se jednotlivé diagonální komponenty změní se změnou základny, součet diagonálních komponent se nezmění. ${\ displaystyle f (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle f (\ mathbf {Q} \ mathbf {A} \ mathbf {Q} ^ {T}) = f (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Vlastnosti

Hlavní invarianty se nemění s rotací souřadnicového systému (jsou objektivní, nebo v modernější terminologii splňují princip materiální rámcové indiference ) a jakákoli funkce hlavních invariantů je také objektivní.

Výpočet invarianty tenzorů druhé řady

Ve většině inženýrských aplikací se hledají hlavní invarianty tenzorů (pořadí dva) dimenze tři, jako jsou ty pro pravý Cauchy-Greenův deformační tenzor .

Hlavní invarianty

U těchto tenzorů jsou hlavní invarianty dány vztahem:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {1} & = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A}) = A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} \\ I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left ((\ mathrm {tr} \ left (\ mathbf {A} \ right) )) ^ {2} - \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} ^ {2}) \ right) = A_ {11} A_ {22} + A_ {22} A_ {33} + A_ {11} A_ {33} -A_ {12} A_ {21} -A_ {23} A_ {32} -A_ {13} A_ {31} = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} + \ lambda _ {1} \ lambda _ {3} + \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} \\ I_ {3} & = \ det (\ mathbf {A}) = - A_ {13} A_ {22} A_ {31} + A_ {12} A_ {23} A_ {31} + A_ {13} A_ {21} A_ {32} -A_ {11} A_ {23} A_ {32} -A_ {12} A_ {21} A_ { 33} + A_ {11} A_ {22} A_ {33} = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} \ end {zarovnáno}}}$

U symetrických tenzorů jsou tyto definice redukovány.

Korespondence mezi hlavními invarianty a charakteristickým polynomem tenzoru ve tandemu s Cayley-Hamiltonovou větou ukazuje, že

${\ displaystyle \ \ mathbf {A} ^ {3} -I_ {1} \ mathbf {A} ^ {2} + I_ {2} \ mathbf {A} -I_ {3} \ mathbf {I} = 0}$

kde je tenzor identity druhého řádu. ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

Hlavní invarianty

Kromě výše uvedených hlavních invariantů je také možné zavést pojem hlavních invariantů

${\ displaystyle {\ begin {aligned} J_ {1} & = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = I_ {1} \\ J_ {2} & = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = I_ {1} ^ {2} -2I_ {2} \\ J_ {3} & = \ lambda _ {1} ^ {3} + \ lambda _ {2} ^ {3} + \ lambda _ {3} ^ {3} = I_ {1} ^ {3} -3I_ {1} I_ { 2} + 3I_ {3} \ end {zarovnáno}}}$

což jsou výše uvedené funkce hlavních invariantů.

Smíšené invarianty

Dále mohou být definovány také smíšené invarianty mezi dvojicemi tenzorů druhé řady.

Výpočet invariantů řádu dvou tenzorů vyšší dimenze

Ty lze extrahovat přímým vyhodnocením charakteristického polynomu , například pomocí algoritmu Faddeev-LeVerrier .

Výpočet invariantů tenzorů vyššího řádu

Mohou být také určeny invarianty tří, čtyř a vyšších tenzorů řádu.

Inženýrské aplikace

Skalární funkce, která zcela závisí na hlavních invariantech tenzoru, je objektivní, tj. Nezávislá na rotacích souřadnicového systému. Tato vlastnost se běžně používá při formulaci uzavřených výrazů pro hustotu deformační energie nebo Helmholtzovu volnou energii nelineárního materiálu s izotropní symetrií. ${\ displaystyle f}$

Tato technika byla poprvé zavedena do izotropní turbulence od Howarda P. Robertson v roce 1940, kde byl schopen odvodit Kármán-Howarth rovnice ze zásady neměnné. George Batchelor a Subrahmanyan Chandrasekhar tuto techniku ​​využili a vyvinuli rozšířenou léčbu osově symetrické turbulence.

Invarianty nesymetrických tenzorů

Skutečný tenzor ve 3D (tj. Jeden s maticí komponent 3x3) má až šest nezávislých invariantů, z nichž tři jsou invarianty jeho symetrické části a tři charakterizující orientaci axiálního vektoru zešikmené symetrické části vzhledem k hlavní směry symetrické části. Například, jestliže kartézské složky ze jsou ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle [A] = {\ begin {bmatrix} 931 & 5480 & -717 \\ - 5120 & 1650 & 1090 \\ 1533 & -610 & 1169 \ end {bmatrix}},}$

prvním krokem by bylo vyhodnocení axiálního vektoru spojeného se šikmo symetrickou částí. Axiální vektor má konkrétně komponenty ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} w_ {1} & = {\ frac {A_ {32} -A_ {23}} {2}} = - 850 \\ w_ {2} & = {\ frac {A_ { 13} -A_ {31}} {2}} = - 1125 \\ w_ {3} & = {\ frac {A_ {21} -A_ {12}} {2}} = - 5300 \ end {zarovnáno}} }$

V dalším kroku najde hlavní hodnoty symetrické části . I když vlastní čísla skutečného nesymetrického tenzoru mohou být složitá, vlastní čísla jeho symetrické části budou vždy reálná, a proto je možné je uspořádat od největšího po nejmenší. Odpovídající ortonormální hlavní základní směry lze přiřadit smyslům, aby bylo zajištěno, že axiální vektorové body budou v rámci prvního oktantu. S ohledem na tuto zvláštní základě složky jsou ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle [A '] = {\ začátek {bmatrix} 1875 & -2500 & 3125 \\ 2500 & 1250 & -3750 \\ - 3125 & 3750 & 625 \ end {bmatrix}},}$

První tři invarianty jsou diagonální komponenty této matice: (rovnající se uspořádaným hlavním hodnotám symetrické části tenzoru). Zbývající tři invarianty jsou axiálním vektoru komponenty v tomto základě: . Poznámka: velikost axiálního vektoru, je jediným invariantem šikmé části , zatímco tyto odlišné tři invarianty charakterizují (v jistém smyslu) „zarovnání“ mezi symetrickou a šikmou částí . Mimochodem, je to mýtus, že tenzor je pozitivní určitý, pokud jsou jeho vlastní hodnoty pozitivní. Místo toho je pozitivní definitivní právě tehdy, když jsou vlastní čísla jeho symetrické části pozitivní. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle a_ {1} = A '_ {11} = 1875, a_ {2} = A' _ {22} = 1250, a_ {3} = A '_ {33} = 625}$${\ displaystyle w '_ {1} = A' _ {32} = 3750, w '_ {2} = A' _ {13} = 3125, w '_ {3} = A' _ {21} = 2500 }$${\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Viz také

• Symetrický polynom
• Elementární symetrický polynom
• Newtonovy identity
• Invariantní teorie

Reference