Funkce zachování limitu (teorie objednávek) - Limit-preserving function (order theory)

V matematické oblasti teorie řádu se často hovoří o funkcích, které zachovávají určité limity, tj. Určité suprema nebo infima . Zhruba řečeno, tyto funkce mapují supremum / infimum sady na supremum / infimum obrazu sady. V závislosti na typu množin, pro které funkce splňuje tuto vlastnost, může zachovat konečné, směrované, neprázdné nebo jen libovolné suprema nebo infima. Každý z těchto požadavků se přirozeně a často objevuje v mnoha oblastech teorie řádu a mezi těmito pojmy a jinými pojmy, jako je monotónnost, existují různé důležité vztahy . Pokud je implikace zachování limitu obrácená, takže existence limitů v rozsahu funkce implikuje existenci limitů v doméně, získá se funkce odrážející limity .

Účelem tohoto článku je objasnit definici těchto základních pojmů, která je nezbytná, protože literatura není v tomto okamžiku vždy konzistentní, a poskytnout obecné výsledky a vysvětlení k těmto otázkám.

Pozadí a motivace

V mnoha specializovaných oblastech teorie řádu se člověk omezuje na třídy částečně uspořádaných množin, které jsou úplné s ohledem na určité mezní konstrukce. Například v teorii mřížky se člověk zajímá o řády, kde všechny konečné neprázdné množiny mají jak nejnižší, tak největší dolní mez. Na druhé straně v teorii domén se člověk zaměřuje na částečně uspořádané množiny, ve kterých má každá směrovaná podmnožina převahu. Další příklady poskytují kompletní mřížky a objednávky s nejmenším prvkem („prázdné supremum“).

Ve všech těchto případech hrají limity ústřední roli pro teorie podporované jejich interpretacemi v praktických aplikacích každé disciplíny. Jedním z nich je také zájem o určení vhodných mapování mezi těmito objednávkami. Z algebraického hlediska to znamená, že člověk chce najít odpovídající pojmy homomorfismů pro uvažované struktury. Toho je dosaženo zvážením těch funkcí, které jsou kompatibilní s konstrukcemi, které jsou charakteristické pro příslušné objednávky. Například mřížkové homomorfismy jsou ty funkce, které zachovávají neprázdné konečné suprema a infima, tj. Obraz supremum / infimum dvou prvků je pouze supremum / infimum jejich obrazů. V teorii domény se často jedná o takzvané Scottovy spojité funkce, které zachovávají všechny směrované suprema.

Pozadí definic a terminologie uvedených níže lze nalézt v teorii kategorií , kde jsou uvažovány limity (a společné limity ) v obecnějším smyslu. Kategorický koncept funktorů zachování a odrážení limitu je v naprostém souladu s teorií řádu, protože řády lze považovat za malé kategorie definované jako posetové kategorie s definovanou doplňkovou strukturou.

Formální definice

Uvažujme dva částečně uspořádané množiny P a Q , a funkce f od P do Q . Dále nechť S je podmnožinou P, která má nejméně horní mez s . Pak f zachovává supremum S, pokud množina f ( S ) = { f ( x ) | x v S } má nejmenší horní mez v Q, která se rovná f ( s ), tj

f (sup S ) = sup f ( S )

Všimněte si, že tato definice se skládá ze dvou požadavků: supremum množiny f ( S ) existuje a rovná se f ( s ). To odpovídá výše uvedené paralele s teorií kategorií, ale není to v literatuře vždy vyžadováno. Ve skutečnosti v některých případech jeden oslabí definici tak, aby vyžadovala, aby se pouze existující suprema rovnala f ( s ). Wikipedia však pracuje se společným pojmem uvedeným výše a v případě potřeby výslovně uvádí další podmínku.

Ze základní definice uvedené výše lze odvodit širokou škálu užitečných vlastností. Funkce f mezi posety P a Q se říká, že zachovává konečné, neprázdné, směrované nebo libovolné suprema, pokud zachovává suprema všech konečných, neprázdných, řízených nebo libovolných množin. Zachování neprázdného konečného suprema může být také definováno identitou f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), podržením pro všechny prvky x a y , kde předpokládáme, že v je totální funkce na obě objednávky.

Ve dvojím způsobem, jeden definuje vlastnosti pro zachování Infima.

„Opačná“ podmínka k zachování limitů se nazývá reflexe. Uvažujme funkce f , jak je uvedeno a podskupinu S na P tak, že sup f ( S existuje) v Q a je rovno f ( s ) pro nějaký prvek je z P . Pak f odráží supremum S, pokud sup S existuje a rovná se s . Jak již bylo prokázáno pro zachování, získá se mnoho dalších vlastností zvážením určitých tříd množin S a dualizací definice na infima.

Speciální případy

Některé speciální případy nebo vlastnosti odvozené z výše uvedeného schématu jsou známy pod jinými jmény nebo mají zvláštní význam pro některé oblasti teorie řádu. Například funkce, které zachovávají prázdné supremum, jsou ty, které zachovávají nejmenší prvek. Kromě toho se díky motivaci vysvětlené dříve mnoho funkcí zachovávajících limity jeví jako speciální homomorfismy pro určité struktury řádu. Některé další významné případy jsou uvedeny níže.

Zachování všech limitů

Zajímavá situace nastane, pokud funkce zachová všechny suprema (nebo infima). Přesněji je to vyjádřeno tím, že funkce zachovává všechny existující suprema (nebo infima), a může se stát, že uvažované posety nejsou úplnými mřížemi. Tuto vlastnost má například (monotónní) připojení Galois . Naopak, podle teoretické věty Adjoint Functor Theorem , lze zaručit, že mapování, které zachovává všechny suprema / infima, bude součástí jedinečného připojení Galois, pokud budou splněny některé další požadavky.

Distribuce

Mříž L je distributivní , pokud pro všechna x , y a z, v L , najdeme

${\ Displaystyle x \ wedge \ left (y \ vee z \ right) = \ left (x \ wedge y \ right) \ vee \ left (x \ wedge z \ right)}$

Ale to jen říká, že funkce meet ^: L -> L zachovává binární suprema . V teorii mřížky je známo, že tato podmínka je ekvivalentní její duální, tj. Funkci v: L -> L zachovávající binární infimu. Podobným způsobem lze vidět, že zákon o nekonečné distribuci

${\ displaystyle x \ wedge \ bigvee S = \ bigvee \ left \ {x \ wedge s \ mid s \ in S \ right \}}$

z kompletních Heyting algebry (viz také nesmyslnou topologie ) je ekvivalentní funkci meet ^ konzervačního libovolný suprema. Tato podmínka však neznamená jeho dvojí.

Scottova kontinuita

Funkce, které zachovávají směrované suprema, se nazývají Scottově spojité nebo někdy jen spojité , pokud to nezpůsobuje záměny s odpovídajícím konceptem analýzy a topologie . Podobné použití termínu kontinuální pro zachování limitů lze nalézt také v teorii kategorií.

Důležité vlastnosti a výsledky

Výše uvedená definice zachování limitu je poměrně silná. Každá funkce, která zachovává alespoň suprema nebo infima dvouprvkových řetězců, tj. Sad dvou srovnatelných prvků, je nutně monotónní. Všechny výše uvedené speciální konzervační vlastnosti tedy vyvolávají monotónnost.

Na základě skutečnosti, že některá omezení lze vyjádřit jinými, lze odvodit souvislosti mezi vlastnostmi zachování. Například funkce f zachovává směrované suprema právě tehdy, pokud zachovává suprema všech ideálů. Kromě toho mapování f z posety, ve kterém existuje každé neprázdné konečné supremum (tzv. Sup-semilattice), zachovává libovolné suprema právě tehdy, pokud zachovává jak řízené, tak konečné (možná prázdné) suprema.

Není však pravda, že by funkce, která zachová všechna suprema, zachovala také všechny infima nebo naopak.