Seznam Fourierových transformací - List of Fourier-related transforms

Toto je seznam lineárních transformací z funkcí souvisejících s Fourierova analýza . Takové transformace Pro funkci pro soubor koeficientů z bázových funkcí , kdy bázové funkce jsou sinusový a jsou tedy silně lokalizované ve frekvenčním spektru . (Tyto transformace jsou obecně navrženy tak, aby byly invertovatelné.) V případě Fourierovy transformace odpovídá každá základní funkce jedné frekvenční složce.

Kontinuální transformace

Aplikované na funkce spojitých argumentů zahrnují Fourierovy transformace:

• Oboustranná Laplaceova transformace
• Mellinova transformace , další úzce související integrální transformace
• Laplaceova transformace
• Fourierova transformace se zvláštními případy :
  • Fourierova řada
    • Když je vstupní funkce / tvar vlny periodický, je výstupem Fourierovy transformace Diracova hřebenová funkce, modulovaná diskrétní sekvencí konečných hodnotových koeficientů, které jsou obecně hodnoceny komplexně. Říká se jim koeficienty Fourierovy řady . Termín Fourierova řada ve skutečnosti odkazuje na inverzní Fourierovu transformaci, která je součtem sinusoidů na diskrétních frekvencích vážených koeficienty Fourierovy řady.
    • Když má nenulová část vstupní funkce konečnou dobu trvání, je Fourierova transformace spojitá a má konečnou hodnotu. Ale diskrétní podmnožina jeho hodnot je dostatečná k rekonstrukci / reprezentaci části, která byla analyzována. Stejná diskrétní množina se získá zpracováním doby trvání segmentu jako jedné periody periodické funkce a výpočtem koeficientů Fourierovy řady.
  • Sinusová a kosinová transformace : Když má vstupní funkce lichou nebo sudou symetrii kolem počátku, Fourierova transformace se redukuje na sínusovou nebo kosinovou transformaci.
• Hartleyova transformace
• Krátkodobá Fourierova transformace (nebo krátkodobá Fourierova transformace) (STFT)
  • Obdélníková maska ​​krátkodobá Fourierova transformace
• Chirpletova transformace
• Frakční Fourierova transformace (FRFT)
• Hankelova transformace : souvisí s Fourierovou transformací radiálních funkcí.
• Fourier – Bros – Iagolnitzerova transformace
• Lineární kanonická transformace

Diskrétní transformace

Pro použití na počítačích , teorii čísel a algebře jsou diskrétní argumenty (např. Funkce řady diskrétních vzorků) často vhodnější a jsou zpracovávány transformacemi (analogicky s výše uvedenými spojitými případy):

• Diskrétní Fourierova transformace (DTFT) : Ekvivalentní Fourierově transformaci „spojité“ funkce, která je vytvořena z funkce diskrétního vstupu pomocí vzorových hodnot k modulaci hřebenu Dirac . Když jsou hodnoty vzorku odvozeny vzorkováním funkce na reálné linii, ( x ), je DTFT ekvivalentní periodickému součtu Fourierovy transformace ƒ . Výstup DTFT je vždy periodický (cyklický). Alternativním hlediskem je, že DTFT je transformace do frekvenční domény, která je ohraničená (nebo konečná ), což je délka jednoho cyklu.
  • diskrétní Fourierova transformace (DFT) :
    • Když je vstupní sekvence periodická, je výstupem DTFT také Diracova hřebenová funkce, modulovaná koeficienty Fourierovy řady, kterou lze vypočítat jako DFT jednoho cyklu vstupní sekvence. Počet diskrétních hodnot v jednom cyklu DFT je stejný jako v jednom cyklu vstupní sekvence.
    • Když má nenulová část vstupní sekvence konečnou dobu trvání, je DTFT spojitý a má konečnou hodnotu. Ale diskrétní podmnožina jeho hodnot je dostatečná k rekonstrukci / reprezentaci části, která byla analyzována. Stejná diskrétní množina se získá zpracováním doby trvání segmentu jako jednoho cyklu periodické funkce a výpočtem DFT .
  • Diskrétní sinusové a kosinové transformace : Když má vstupní sekvence lichou nebo sudou symetrii kolem počátku, DTFT se redukuje na diskrétní sinusovou transformaci (DST) nebo diskrétní kosinovou transformaci (DCT).
    • Regresní diskrétní Fourierova řada , ve které je období určováno daty, nikoli předem stanoveno.
  • Diskrétní Čebyševovy transformace (na mřížce „kořenů“ a mřížce „extrémů“ Čebyševových polynomů prvního druhu). Tato transformace má velký význam v oblasti spektrálních metod pro řešení diferenciálních rovnic, protože ji lze použít k rychlému a efektivnímu přechodu od hodnot mřížkových bodů k koeficientům Čebyševovy řady.
• Zobecněný DFT (GDFT), zobecnění transformací DFT a konstantního modulu, kde fázové funkce mohou být lineární s celočíselnými a reálnými sklony, nebo dokonce nelineární fáze přinášející flexibilitu pro optimální návrhy různých metrik, např. Auto- a cross- korelace.
• Diskrétní prostorová Fourierova transformace (DSFT) je zobecnění DTFT z 1D signálů na 2D signály. Nazývá se spíše „diskrétní prostor“ než „diskrétní čas“, protože nejběžnější aplikací je zobrazování a zpracování obrazu, kde argumenty vstupní funkce jsou stejně rozmístěné vzorky prostorových souřadnic . Výstup DSFT je periodický v obou proměnných.${\ displaystyle (x, y)}$
• Z-transformace , zobecnění DTFT na celou komplexní rovinu
• Modifikovaná diskrétní kosinová transformace (MDCT)
• Diskrétní Hartleyova transformace (DHT)
• Také diskretizovaný STFT (viz výše).
• Hadamardova transformace ( Walshova funkce ).
• Fourierova transformace na konečných grupách .
• Diskrétní Fourierova transformace (obecně) .

Použití všech těchto transformací je značně usnadněno existencí efektivních algoritmů založených na rychlé Fourierově transformaci (FFT). Nyquist-Shannon vzorkovací teorém je rozhodující pro pochopení výstup těchto diskrétních transformací.

Poznámky

Viz také

• Integrální transformace
• Vlnková transformace
• Fourierova transformace spektroskopie
• Harmonická analýza
• Seznam transformací
• Seznam operátorů
• Bispectrum

Reference

• AD Polyanin a AV Manzhirov, Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• Tabulky integrálních transformací na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• AN Akansu a H. Agirman-Tosun, „ Zobecněná diskrétní Fourierova transformace s nelineární fází “ , IEEE Transaction on Signal Processing , sv. 58, č. 9, s. 4547-4556, září 2010.