Seznam konečných jednoduchých skupin - List of finite simple groups

V matematiky se klasifikace konečných jednoduchých skupin uvádí, že každý konečný jednoduché skupinu je cyklický , nebo střídavý , nebo do jedné ze 16 čeledí skupin typu Lie , nebo jedné z 26 sporadických skupin .

Níže uvedený seznam poskytuje všem konečným jednoduchým skupinám spolu s jejich řádem velikost Schurova multiplikátoru , velikost vnější skupiny automorfismu , obvykle několik malých reprezentací , a seznamy všech duplikátů.

souhrn

Následující tabulka obsahuje kompletní seznam 18 rodin konečných jednoduchých skupin a 26 sporadických jednoduchých skupin spolu s jejich objednávkami. Jsou uvedeni všichni nejjednodušší členové každé rodiny, stejně jako všichni členové duplikovaní v rámci rodiny nebo mezi rodinami. (Při odstranění duplikátů je vhodné poznamenat, že žádné dva konečné jednoduché skupiny mají stejné pořadí, kromě toho, že skupina A ₈  =  ₃ (2), a ₂ (4), obě mají objednávky 20160, a že skupina B _n ( q ) má stejné pořadí jako C _n ( q ) pro q liché, n  > 2. Nejmenší z posledních párů skupin jsou B ₃ (3) a C ₃ (3), které oba mají pořadí 4585351680.)

Existuje nešťastný konflikt mezi notacemi pro střídavé skupiny A _n a skupiny Lieova typu A _n ( q ). Někteří autoři používají pro odlišení různá různá písma pro A _n . Zejména v tomto článku rozlišujeme nastavením střídavých skupin A _n římským písmem a skupin Lie typu A _n ( q ) kurzívou.

V následujícím textu je n kladné celé číslo a q je kladná síla prvočísla p , s uvedenými omezeními. Zápis ( a , b ) představuje největší společný dělitel celých čísel a a b .

Třída	Rodina	Objednat	Vyloučení	Duplikáty
Cyklické skupiny	Z str	p	Žádný	Žádný
Střídavé skupiny	N n  > 4	${\ displaystyle {\ frac {n!} {2}}}$	Žádný
Klasické skupiny Chevalley	A n ( q )	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ left (q ^ {i + 1} -1 \ right)}$	A 1 (2), A 1 (3)
	B n ( q ) n  > 1	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ vlevo (q ^ {2i} -1 \ že jo)}$	B 2 (2)
	C n ( q ) n  > 2	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ vlevo (q ^ {2i} -1 \ že jo)}$	Žádný	C n (2 m ) ≃ B n (2 m )
	D n ( q ) n  > 3	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} -1)} {(4, q ^ {n} -1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$	Žádný	Žádný
Výjimečné skupiny Chevalley	E 6 ( q )	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {36}} {(3, q-1)}} \ prod _ {i \ v \ {2,5,6,8,9,12 \}} \ vlevo (q ^ {i} -1 \ vpravo)}$	Žádný	Žádný
	E 7 ( q )	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {63}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i \ v \ {2,6,8,10,12,14,18 \}} \ vlevo (q ^ {i} -1 \ vpravo)}$	Žádný	Žádný
	E 8 ( q )	${\ displaystyle q ^ {120} \ prod _ {i \ in \ {2,8,12,14,18,20,24,30 \}} \ vlevo (q ^ {i} -1 \ vpravo)}$	Žádný	Žádný
	F 4 ( q )	${\ displaystyle q ^ {24} \ prod _ {i \ in \ {2,6,8,12 \}} \ doleva (q ^ {i} -1 \ doprava)}$	Žádný	Žádný
	G 2 ( q )	${\ displaystyle q ^ {6} \ prod _ {i \ in \ {2,6 \}} \ vlevo (q ^ {i} -1 \ vpravo)}$	G 2 (2)	Žádný
Klasické Steinbergovy skupiny	2 A n ( q 2 ) n  > 1	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q + 1)}} \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ left (q ^ {i + 1} - (- 1) ^ {i + 1} \ right)}$	2 A 2 (2 2 )	2 A 3 (2 2 ) ≃ B 2 (3)
	2 D n ( q 2 ) n  > 3	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n (n-1)}} {(4, q ^ {n} +1)}} \ doleva (q ^ {n} +1 \ doprava) \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$	Žádný	Žádný
Výjimečné Steinbergovy skupiny	2 E 6 ( q 2 )	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {36}} {(3, q + 1)}} \ prod _ {i \ v \ {2,5,6,8,9,12 \}} \ vlevo (q ^ {i} - (- 1) ^ {i} \ vpravo)}$	Žádný	Žádný
	3 D 4 ( q 3 )	${\ displaystyle q ^ {12} \ left (q ^ {8} + q ^ {4} +1 \ right) \ left (q ^ {6} -1 \ right) \ left (q ^ {2} -1 \že jo)}$	Žádný	Žádný
Suzuki skupiny	2 B 2 ( q ) q  = 2 2 n +1 n  ≥ 1	${\ displaystyle q ^ {2} \ left (q ^ {2} +1 \ right) \ left (q-1 \ right)}$	Žádný	Žádný
Ree groups + Tits group	2 F 4 ( q ) q  = 2 2 n +1 n  ≥ 1	${\ displaystyle q ^ {12} \ left (q ^ {6} +1 \ right) \ left (q ^ {4} -1 \ right) \ left (q ^ {3} +1 \ right) \ left (q q-1 \ vpravo)}$	Žádný	Žádný
	2 F 4 (2) ′	2 12 (2 6 + 1) (2 4 - 1) (2 3 + 1) (2 - 1) / 2 =17 971 200
	2 G 2 ( q ) q = 3 2 n +1 n  ≥ 1	${\ displaystyle q ^ {3} \ left (q ^ {3} +1 \ right) \ left (q-1 \ right)}$	Žádný	Žádný
Mathieu skupiny	M 11	7920
	M 12	95 040
	M 22	443 520
	M 23	10 200 960
	M 24	244 823 040
Janko skupiny	J 1	175 560
	J 2	604 800
	J 3	50 232 960
	J 4	86 775 571 046 077 562 880
Skupiny Conway	Co 3	495 766 656 000
	Co 2	42 305 421 312 000
	Co 1	4 157 776 806 543 360 000
Fischerovy skupiny	Fi 22	64 561 751 654 400
	Fi 23	4 089 470 473 293 004 800
	Fi 24 '	1 255 205 709 190 66 1721 292 800
Skupina Higman – Sims	HS	44 352 000
McLaughlinova skupina	McL	898 128 000
Držená skupina	On	4 030 387 200
Skupina Rudvalis	Ru	145 926 144 000
Sporadická skupina Suzuki	Suz	448 345 497 600
O'Nan skupina	NA	460 815 505 920
Skupina Harada – Norton	HN	273 030 912 000 000
Lyonsova skupina	Ly	51 765 179 004 000 000
Skupina Thompson	Čt	90 745 943 887 872 000
Skupina Baby Monster	B	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Skupina příšer	M	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Cyklické skupiny , Z _str

Jednoduchost: Jednoduché pro p prvočíslo.

Objednávka: str

Multiplikátor Schur: triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: cyklická řádu p  - 1.

Jiná jména: Z / p Z, C _str

Poznámky: Toto jsou jediné jednoduché skupiny, které nejsou dokonalé .

Střídavé skupiny , A _n , n > 4

Jednoduchost: Řešení pro n <5, jinak jednoduché.

Pořadí: n ! / 2, když n  > 1.

Multiplikátor Schur: 2 pro n  = 5 nebo n  > 7, 6 pro n  = 6 nebo 7; viz Krycí skupiny střídavých a symetrických skupin

Skupina vnějšího automorfismu: Obecně 2. Výjimky: pro n  = 1, n  = 2 je to triviální a pro n  = 6 má řád 4 (základní abelian).

Jiná jména: Alt _n .

Isomorphisms: ₁ a A ₂ jsou triviální. ₃ je cyklický provoz 3. ₄ je izomorfní A ₁ (3) (řešitelné). A ₅ je izomorfní k A ₁ (4) a k A ₁ (5). ₆ je izomorfní A ₁ (9), a na odvozené skupiny B ₂ (2) ". ₈ je izomorfní A ₃ (2).

Poznámky: index 2 podskupina symetrické skupiny permutací n bodů, když n  > 1.

Skupiny typu Lie

Notace: n je kladné celé číslo, q > 1 je síla prvočísla p a je řádem nějakého základního konečného pole . Pořadí vnější skupiny automorfismu je psáno jako d ⋅ f ⋅ g , kde d je pořadí skupiny „diagonálních automorfismů“, f je pořadí (cyklické) skupiny „polních automatorfismů“ (generovaných Frobeniem automorphism ), a g je pořadí skupiny „grafových automorfismů“ (vycházející z automorfismů Dynkinova diagramu ). Vnější automorphism skupina je isomorphic k semidirect výrobku , kde všechny tyto skupiny jsou cyklické příslušných příkazů d, f, g , s výjimkou typu , lichý, kde skupina řádu je , a (pouze v případě ) , symetrické skupiny na třech elementy. Zápis ( a , b ) představuje největší společný dělitel celých čísel a a b . ${\ displaystyle D \ rtimes (F \ krát G)}$${\ displaystyle D, F, G}$${\ displaystyle D_ {n} (q)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle d = 4}$${\ displaystyle C_ {2} \ krát C_ {2}}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle G = S_ {3}}$

Skupiny Chevalley , A _n ( q ), B _n ( q ) n > 1, C _n ( q ) n > 2, D _n ( q ) n > 3

	Chevalleyovy skupiny , A n ( q ) lineární skupiny	Chevalleyovy skupiny , B n ( q ) n  > 1 ortogonálních skupin	Skupiny Chevalley , C n ( q ) n  > 2 symplektické skupiny	Chevalleyovy skupiny , D n ( q ) n  > 3 ortogonální skupiny
Jednoduchost	A 1 (2) a A 1 (3) jsou řešitelné, ostatní jsou jednoduché.	B 2 (2) není jednoduchý, ale jeho odvozená skupina B 2 (2) ′ je jednoduchá podskupina indexu 2; ostatní jsou jednoduché.	Vše jednoduché	Vše jednoduché
Objednat	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ left (q ^ {i + 1} -1 \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ vlevo (q ^ {2i} -1 \ že jo)}$	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ vlevo (q ^ {2i} -1 \ že jo)}$	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} -1)} {(4, q ^ {n} -1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$
Multiplikátor Schur	Pro jednoduché skupiny je to cyklický řád ( n +1, q −1) s výjimkou A 1 (4) (řád 2), A 1 (9) (řád 6), A 2 (2) (řád 2), A 2 (4) (řád 48, součin cyklických skupin řádů 3, 4, 4), A 3 (2) (řád 2).	(2, q −1) s výjimkou B 2 (2) = S 6 (řád 2 pro B 2 (2), řád 6 pro B 2 (2) ′) a B 3 (2) (řád 2) a B 3 (3) (objednávka 6).	(2, q -1) kromě C 3 (2) (řád 2).	Pořadí je (4, q n −1) (cyklické pro n liché, elementární abelian pro n sudé) kromě D 4 (2) (řád 4, elementární abelian).
Skupina vnějšího automorfismu	(2, q -1) ⋅ f ⋅1 pro n  = 1; ( n +1, q −1) ⋅ f ⋅2 pro n  > 1, kde q  =  p f	(2, q −1) ⋅ f ⋅1 pro q liché nebo n  > 2; (2, q −1) ⋅ f ⋅2 pro q sudé a n  = 2, kde q  =  p f	(2, q −1) ⋅ f ⋅1, kde q  =  p f	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 pro n  = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 pro n  > 4 sudé, (4, q n −1) ⋅ f ⋅2 pro n liché, kde q  =  p f a S 3 je symetrická skupina řádu 3! na 3 body.
Ostatní jména	Projektivní speciální lineární skupiny , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL ( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (pro q liché).	Projektivní symplektická skupina, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (nedoporučuje se), S 2 n ( q ), Abelianova skupina (archaická).	O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). „ Hypoabelian group “ je archaický název pro tuto skupinu v charakteristice 2.
Izomorfismy	A 1 (2) je izomorfní se symetrickou skupinou na 3 bodech řádu 6. A 1 (3) je izomorfní se střídavou skupinou A 4 (řešitelná). A 1 (4) a A 1 (5) jsou oba izomorfní se střídavou skupinou A 5 . 1 (7) a 2 (2) jsou izomorfní. 1 (8) je izomorfní odvozené skupiny 2 G 2 (3) ". A 1 (9) je izomorfní k A 6 a k odvozené skupině B 2 (2) '. 3 (2) je izomorfní s 8 .	B n (2 m ) je izomorfní C n (2 m ). B 2 (2) je izomorfní k symetrické skupině v 6 bodech a odvozená skupina B 2 (2) ′ je izomorfní k A 1 (9) a k A 6 . B 2 (3) je izomorfní s 2 A 3 (2 2 ).	C n (2 m ) je izomorfní s B n (2 m )
Poznámky	Tyto skupiny se získají z obecných lineárních skupin GL n + 1 ( q ) tak, že se vezmou prvky determinantu 1 (udají se speciální lineární skupiny SL n + 1 ( q )) a poté se vytvoří střed kvocientu .	Jedná se o skupinu získanou z ortogonální skupiny v dimenzi 2 n + 1 pořízením jádra determinantních a spinorových normových map. B 1 ( q ) také existuje, ale je stejný jako A 1 ( q ). B 2 ( q ) má netriviální grafový automorfismus, když q je síla 2.	Tato skupina je získána ze skupiny symplektiků ve 2n dimenzích kvocientem ze středu. C 1 ( q ), také existuje, ale je stejný jako A 1 ( q ). C 2 ( q ) také existuje, ale je stejná jako B 2 ( q ).	Jedná se o skupinu získanou z rozdělené ortogonální skupiny v dimenzi 2 n odebráním jádra determinantu (nebo Dicksonova invariantu v charakteristice 2) a spinorových normových map a následným zabitím středu. Skupiny typu D 4 mají neobvykle velkou skupinu automatorfismu diagramu řádu 6, která obsahuje testorfní automatorfismus. D 2 ( q ), také existuje, ale je stejný jako A 1 ( q ) x 1 ( q ). D 3 ( q ), také existuje, ale je stejný jako A 3 ( q ).

Skupiny Chevalley , E ₆ ( q ), E ₇ ( q ), E ₈ ( q ), F ₄ ( q ), G ₂ ( q )

	Skupiny Chevalley , E 6 ( q )	Skupiny Chevalley , E 7 ( q )	Skupiny Chevalley , E 8 ( q )	Skupiny Chevalley , F 4 ( q )	Skupiny Chevalley , G 2 ( q )
Jednoduchost	Vše jednoduché	Vše jednoduché	Vše jednoduché	Vše jednoduché	G 2 (2) není jednoduchý, ale jeho odvozená skupina G 2 (2) ′ je jednoduchá podskupina indexu 2; ostatní jsou jednoduché.
Objednat	q 36 ( q 12 −1) ( q 9 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 5 −1) ( q 2 −1) / (3, q −1)	q 63 ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 10 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1) / (2, q - 1)	q 120 ( q 30 1) ( q 24 -1), ( q 20 1) ( q 18 -1), ( q 14 -1), ( q 12 -1), ( q 8 -1) ( q 2 -1)	q 24 ( q 12 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)	q 6 ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Multiplikátor Schur	(3, q -1)	(2, q -1)	Triviální	Triviální kromě F 4 (2) (objednávka 2)	Triviální pro jednoduché skupiny kromě G 2 (3) (řád 3) a G 2 (4) (řád 2)
Skupina vnějšího automorfismu	(3, q −1) ⋅ f ⋅2, kde q  =  p f	(2, q −1) ⋅ f ⋅1, kde q  =  p f	1⋅ f ⋅1, kde q  =  p f	1⋅ f ⋅1 pro q liché, 1⋅ f ⋅2 pro q sudé, kde q  =  p f	1⋅ f ⋅1 pro q ne mocninu 3, 1⋅ f ⋅2 pro q a mocninu 3, kde q  =  p f
Ostatní jména	Výjimečná skupina Chevalley	Výjimečná skupina Chevalley	Výjimečná skupina Chevalley	Výjimečná skupina Chevalley	Výjimečná skupina Chevalley
Izomorfismy					Odvozená skupina G 2 (2) ′ je izomorfní s 2 A 2 (3 2 ).
Poznámky	Má dvě reprezentace dimenze 27 a působí na Lieovu algebru dimenze 78.	Má reprezentace dimenze 56 a působí na odpovídající Lieovu algebru dimenze 133.	Působí na odpovídající Lieovu algebru dimenze 248. E 8 (3) obsahuje Thompsonovu jednoduchou skupinu.	Tyto skupiny působí na 27-dimenzionální výjimečné algebry Jordan , což jim dává 26-dimenzionální reprezentace. Působí také na odpovídající Lieovy algebry dimenze 52. F 4 ( q ) má netriviální grafový automorfismus, když q je síla 2.	Tyto skupiny jsou automorfické skupiny 8-dimenzionálních Cayleyových algeber přes konečná pole, což jim dává 7-dimenzionální reprezentace. Působí také na odpovídající Lieovy algebry dimenze 14. G 2 ( q ) má netriviální grafový automorfismus, když q je síla 3. Navíc se objevují jako automorfické skupiny určitých geometrií bodových linií nazývaných rozdělené Cayleyovy zobecněné šestiúhelníky .

Steinbergovy skupiny , ² A _n ( q ² ) n > 1, ² D _n ( q ² ) n > 3, ² E ₆ ( q ² ), ³ D ₄ ( q ³ )

	Steinbergovy skupiny , 2 A n ( q 2 ) n  > 1 unitární skupiny	Steinbergovy skupiny , 2 D n ( q 2 ) n  > 3 ortogonální skupiny	Steinbergovy skupiny , 2 E 6 ( q 2 )	Steinbergovy skupiny , 3 D 4 ( q 3 )
Jednoduchost	2 A 2 (2 2 ) je řešitelný, ostatní jsou jednoduché.	Vše jednoduché	Vše jednoduché	Vše jednoduché
Objednat	${\ displaystyle {1 \ over (n + 1, q + 1)} q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ vlevo (q ^ {i + 1} - (- 1) ^ {i + 1} \ vpravo)}$	${\ displaystyle {1 \ over (4, q ^ {n} +1)} q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} +1) \ prod _ {i = 1} ^ {n- 1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$	q 36 ( q 12 -1) ( q 9 +1) ( q 8 -1) ( q 6 -1) ( q 5 +1) ( q 2 -1) / (3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Multiplikátor Schur	Cyklus řádu ( n +1, q +1) pro jednoduché skupiny, kromě 2 A 3 (2 2 ) (řád 2), 2 A 3 (3 2 ) (řád 36, součin cyklických skupin řádů 3, 3,4), 2 A 5 (2 2 ) (řád 12, součin cyklických skupin řádů 2,2,3)	Cyklická objednávka (4, q n +1)	(3, q +1) kromě 2 E 6 (2 2 ) (řád 12, součin cyklických skupin řádů 2,2,3).	Triviální
Skupina vnějšího automorfismu	( n +1, q +1) ⋅ f ⋅1, kde q 2  =  p f	(4, q n +1) ⋅ f ⋅1, kde q 2  =  p f	(3, q +1) ⋅ f ⋅1, kde q 2  =  p f	1⋅ f ⋅1, kde q 3  =  p f
Ostatní jména	Twisted Chevalley group, projective special unitary group, PSU n +1 ( q ), PSU ( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q ), O 2 n - ( q ), PΩ 2 n - ( q ), zkroucená Chevalleyova skupina. „Hypoabelian group“ je archaický název pro tuto skupinu v charakteristice 2.	2 E 6 ( q ), zkroucená skupina Chevalley	3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), skupiny Twisted Chevalley
Izomorfismy	Řešitelná skupina 2 A 2 (2 2 ) je izomorfní s rozšířením kvaternionové skupiny řádu 8 o elementární abelianskou skupinu řádu 9. 2 A 2 (3 2 ) je izomorfní s odvozenou skupinou G 2 (2) ′. 2 A 3 (2 2 ) je izomorfní s B 2 (3).
Poznámky	To se získá z nečleněné skupiny v dimenzích n + 1 tak, že se vezme podskupina prvků determinantu 1 a poté se kvocientem vydělí středem.	Jedná se o skupinu získanou z nerozdělené ortogonální skupiny v dimenzi 2 n odebráním jádra determinantu (nebo Dicksonova invariantu v charakteristice 2) a spinorových normových map a následným zabitím středu. 2 D 2 ( q 2 ) také existuje, ale je stejný jako A 1 ( q 2 ). 2 D 3 ( q 2 ) také existuje, ale je stejný jako 2 A 3 ( q 2 ).	Jeden z výjimečných dvojitých obalů 2 E 6 (2 2 ) je podskupinou skupiny dětských příšer a výjimečné centrální rozšíření o základní abelianskou skupinu řádu 4 je podskupinou skupiny příšer.	3 D 4 (2 3 ) působí na jedinečnou sudou 26rozměrnou mřížku determinantu 3 bez kořenů.

Suzuki skupiny , ² B ₂ (2 ^{2 n +1} )

Jednoduchost: Jednoduchá pro n ≥ 1. Skupina ² B ₂ (2) je řešitelná.

Pořadí: q ² ( q ² + 1) ( q  - 1), kde q  = 2 ^{2 n +1} .

Schurův multiplikátor: Triviální pro n ≠ 1, elementární abelian řádu 4 pro ² B ₂ (8).

Skupina vnějšího automorfismu:

1⋅ f ⋅1,

kde f  = 2 n + 1.

Jiná jména: Suz (2 ^{2 n +1} ), Sz (2 ^{2 n +1} ).

Izomorfismy: ² B ₂ (2) je Frobeniova skupina řádu 20.

Poznámky: Skupina Suzuki jsou skupiny Zassenhaus působící na množiny velikostí (2 ^{2 n +1} ) ²  + 1 a mají 4-dimenzionální reprezentace nad polem s 2 ^{2 n +1} prvky. Jsou to jediné necyklické jednoduché skupiny, jejichž pořadí není dělitelné 3. Nesouvisí se sporadickou Suzukiho skupinou.

Skupiny Ree a Tits , ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

Jednoduchost: Jednoduchá pro n  ≥ 1. Odvozená skupina ² F ₄ (2) ′ je jednoduchá pro index 2 ve ² F ₄ (2) a nazývá se skupina Tits , pojmenovaná pro belgického matematika Jacquesa Titsa .

Pořadí: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  - 1) ( q ³  + 1) ( q  - 1), kde q  = 2 ^{2 n +1} .

Skupina Tits má objednávku 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13.

Multiplikátor Schur: Triviální pro n  ≥ 1 a pro skupinu Tits.

Skupina vnějšího automorfismu:

1⋅ f ⋅1,

kde f  = 2 n  + 1. Objednávka 2 pro skupinu Tits.

Poznámky: Na rozdíl od jiných jednoduchých skupin typu Lie, skupina Tits nemá dvojici BN , ačkoli její skupina automorfismu to většina autorů považuje za jakousi čestnou skupinu typu Lie.

Skupiny Ree , ² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

Jednoduchost: Jednoduchá pro n  ≥ 1. Skupina ² G ₂ (3) není jednoduchá, ale její odvozená skupina ² G ₂ (3) ′ je jednoduchá podskupina indexu 3.

Pořadí: q ³ ( q ³  + 1) ( q  - 1), kde q  = 3 ^{2 n +1}

Multiplikátor Schur: Triviální pro n  ≥ 1 a pro ² G ₂ (3) ′.

Skupina vnějšího automorfismu:

1⋅ f ⋅1,

kde f  = 2 n  + 1.

Jiná jména: Ree (3 ^{2 n +1} ), R (3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ).

Izomorfismy: Odvozená skupina ² G ₂ (3) ′ je izomorfní s A ₁ (8).

Poznámky: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) má dvojnásobně přechodnou permutační reprezentaci na 3 ^{3 (2 n +1)}  + 1 bodech a působí na 7rozměrný vektorový prostor nad polem s prvky 3 ^{2 n +1} .

Sporadické skupiny

Skupiny Mathieu , M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ , M ₂₄

	Skupina Mathieu, M 11	Skupina Mathieu, M 12	Skupina Mathieu, M 22	Skupina Mathieu, M 23	Skupina Mathieu, M 24
Objednat	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Multiplikátor Schur	Triviální	Objednávka 2	Cyklická objednávka 12	Triviální	Triviální
Skupina vnějšího automorfismu	Triviální	Objednávka 2	Objednávka 2	Triviální	Triviální
Poznámky	4-přechodná permutační skupina na 11 bodech a je stabilizátorem bodu M 12 (v 5-přechodné 12-bodové permutační reprezentaci M 12 ). Skupina M 11 je také obsažena v M 23 . Podskupina M 11 upevňující bod ve 4-přechodné 11bodové permutační reprezentaci se někdy nazývá M 10 a má podskupinu indexu 2 isomorfní se střídavou skupinou A 6 .	5-tranzitivní permutační skupina na 12 bodech, obsažená v M 24 .	Skupina 3-tranzitivní permutace na 22 bodech a je stabilizátorem bodu M 23 (ve 4-přechodné 23-bodové permutační reprezentaci M 23 ). Podskupina M 22 upevňující bod ve 3-přechodné 22bodové permutační reprezentaci se někdy nazývá M 21 a je izomorfní s PSL (3,4) (tj. Izomorfní s  A 2 (4)).	4-tranzitivní permutační skupina na 23 bodech a je stabilizátorem bodu M 24 (v 5-přechodné 24bodové permutační reprezentaci M 24 ).	5-tranzitivní permutační skupina na 24 bodech.

Janko skupiny , J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₄

	Janko group, J 1	Janko skupina, J 2	Janko skupina, J 3	Janko skupina, J 4
Objednat	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800	2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Multiplikátor Schur	Triviální	Objednávka 2	Objednávka 3	Triviální
Skupina vnějšího automorfismu	Triviální	Objednávka 2	Objednávka 2	Triviální
Ostatní jména	J (1), J (11)	Skupina Hall – Janko, HJ	Skupina Higman – Janko – McKay, HJM
Poznámky	Je to podskupina G 2 (11), a tak má 7-dimenzionální reprezentaci nad polem s 11 prvky.	Automorfická skupina J 2 : 2 z J 2 je automorfická skupina grafu 3. úrovně na 100 bodech, který se nazývá Hall-Jankův graf . Je to také skupina automorfismu pravidelného blízkého osmiúhelníku zvaného Hall-Janko poblíž osmiúhelníku. Skupina J 2 je obsažena v  G 2 (4).	Zdá se, že J 3 nesouvisí s žádnými jinými sporadickými skupinami (nebo s čímkoli jiným). Jeho trojitý kryt má 9-dimenzionální jednotné zastoupení nad polem se 4 prvky.	Má 112-dimenzionální reprezentaci nad polem se 2 prvky.

Conway skupiny , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃

	Conway group, Co 1	Skupina Conway, Co 2	Skupina Conway, Co 3
Objednat	2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Multiplikátor Schur	Objednávka 2	Triviální	Triviální
Skupina vnějšího automorfismu	Triviální	Triviální	Triviální
Ostatní jména	· 1	· 2	· 3, C 3
Poznámky	Dokonalé dvojité krytí Co 0 z Co 1 je skupina autorfismu mřížky Leech a někdy se označuje jako · 0.	Podskupina Co 0 ; opravuje vektor normy 4 v mřížce Leech .	Podskupina Co 0 ; opravuje vektor normy 6 v mřížce Leech . Má dvojnásobně tranzitivní permutační zastoupení na 276 bodech.

Fischerovy skupiny , Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ '

	Fischerova skupina, Fi 22	Fischerova skupina, Fi 23	Fischerova skupina, Fi 24 '
Objednat	2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Multiplikátor Schur	Objednávka 6	Triviální	Objednávka 3
Skupina vnějšího automorfismu	Objednávka 2	Triviální	Objednávka 2
Ostatní jména	M (22)	M (23)	M (24) ', F 3+
Poznámky	Skupina se třemi transpozicemi, jejíž dvojitý obal je obsažen ve Fi 23 .	3-transpoziční skupina obsažená ve Fi 24 '.	Trojitý obal je obsažen ve skupině příšer.

Skupina Higman – Sims , HS

Objednávka: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Násobitel Schur: Objednávka 2.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Poznámky: Působí jako permutační skupina 3. úrovně v grafu Higman Sims se 100 body a je obsažena v Co ₂ a v Co ₃ .

Skupina McLaughlin , McL

Objednávka: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Násobitel Schur: Objednávka 3.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Poznámky: Působí jako permutační skupina 3. úrovně v McLaughlinově grafu s 275 body a je obsažena v Co ₂ a v Co ₃ .

Držená skupina , He

Objednávka: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Multiplikátor Schur: triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Jiná jména: Held – Higman – McKay group, HHM, F ₇ , HTH

Poznámky: Centralizuje prvek pořadí 7 ve skupině příšer.

Skupina Rudvalis , Ru

Objednávka: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Násobitel Schur: Objednávka 2.

Skupina vnějšího automorfismu: triviální.

Poznámky: Dvojitý kryt působí na 28rozměrnou mřížku nad Gaussovými celými čísly .

Suzuki sporadická skupina , Suz

Objednávka: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Násobitel Schur: Objednávka 6.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Jiná jména: Sz

Poznámky: 6násobný obal působí na 12rozměrnou mřížku nad Eisensteinovými celými čísly . To nesouvisí se skupinami Suzuki typu Lie.

O'Nan skupina , O'N

Objednávka: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Násobitel Schur: Objednávka 3.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Jiná jména: O'Nan – Sims group, O'NS, O – S

Poznámky: Trojitý kryt má dvě 45-dimenzionální reprezentace nad polem se 7 prvky, vyměňovanými vnějším automorfismem.

Skupina Harada – Norton , HN

Objednávka: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Multiplikátor Schur: triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Jiná jména: F ₅ , D

Poznámky: Centralizuje prvek řádu 5 ve skupině příšer.

Lyons skupina , Ly

Objednávka: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Multiplikátor Schur: triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: triviální.

Jiná jména: Lyons – Sims group, LyS

Poznámky: Má 111-dimenzionální reprezentaci nad polem s 5 prvky.

Thompson group , Th

Objednávka: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Multiplikátor Schur: triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: triviální.

Jiná jména: F ₃ , E

Poznámky: Centralizuje prvek řádu 3 v monstrum a je obsažen v E ₈ (3), takže má 248-rozměrné zastoupení nad polem se 3 prvky.

Skupina Baby Monster , B

Objednat:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Násobitel Schur: Objednávka 2.

Skupina vnějšího automorfismu: triviální.

Jiná jména: F ₂

Poznámky: Dvojitý obal je obsažen ve skupině příšer. Má reprezentaci dimenze 4371 nad komplexními čísly (bez netriviálního invariantního produktu) a reprezentaci dimenze 4370 nad polem se 2 prvky zachovávajícími komutativní, ale neasociativní produkt.

Skupina Fischer – Griess Monster , M

Objednat:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Multiplikátor Schur: triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: triviální.

Jiná jména: F ₁ , M ₁ , Skupina příšer, Přátelský obr, Fischerovo monstrum.

Poznámky: Obsahuje všechny ostatní sporadické skupiny kromě 6 jako dílčí podíly. Souvisí s monstrózním měsíčním svitem . Monstrum je skupina automorfismu 196 883-dimenzionální Griessovy algebry a nekonečné algebry operátora vrcholné algebry a přirozeně působí na monstru Lie algebry .

Necyklické jednoduché skupiny malého řádu

Objednat	Faktorizovaná objednávka	Skupina	Multiplikátor Schur	Skupina vnějšího automorfismu
60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	A 5 = A 1 (4) = A 1 (5)	2	2
168	2 3 ⋅ 3 ⋅ 7	A 1 (7) = A 2 (2)	2	2
360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	A 6 = A 1 (9) = B 2 (2) ′	6	2 × 2
504	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7	A 1 (8) = 2 G 2 (3) ′	1	3
660	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	A 1 (11)	2	2
1092	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (13)	2	2
2448	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17	A 1 (17)	2	2
2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 7	6	2
3420	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19	A 1 (19)	2	2
4080	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	A 1 (16)	1	4
5616	2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13	A 2 (3)	1	2
6048	2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7	2 A 2 (9) = G 2 (2) ′	1	2
6072	2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	A 1 (23)	2	2
7800	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	A 1 (25)	2	2 × 2
7920	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11	M 11	1	1
9828	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (27)	2	6
12180	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	A 1 (29)	2	2
14880	2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	A 1 (31)	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 3 (2) = A 8	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 2 (4)	3 × 4 2	D 12
25308	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37	A 1 (37)	2	2
25920	2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5	2 A 3 (4) = B 2 (3)	2	2
29120	2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	2 B 2 (8)	2 2	3
32736	2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	A 1 (32)	1	5
34440	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	A 1 (41)	2	2
39732	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	A 1 (43)	2	2
51888	2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	A 1 (47)	2	2
58800	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2	A 1 (49)	2	2 2
62400	2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	2 A 2 (16)	1	4
74412	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53	A 1 (53)	2	2
95040	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11	M 12	2	2

(Dokončeno pro objednávky menší než 100 000)

Hall (1972) uvádí 56 necyklických jednoduchých skupin řádu méně než milion.

Viz také

• Seznam malých skupin

Poznámky

Reference

Další čtení

• Jednoduché skupiny typu lži od Rogera W. Cartera , ISBN  0-471-50683-4
• Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; a Wilson, RA : „ Atlas konečných skupin: maximální podskupiny a běžné znaky pro jednoduché skupiny. “ Oxford, Anglie 1985.
• Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon Klasifikace konečných jednoduchých skupin (svazek 1) , AMS, 1994 (svazek 3) , AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), „Simple groups of order less than one million“, Journal of Algebra , 20 : 98–102, doi : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90090-7 , ISSN  0021-8693 , MR  0285603
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups , Graduate Texts in Mathematics 251, 251 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10,1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Atlas reprezentací konečných skupin : obsahuje reprezentace a další data pro mnoho konečných jednoduchých skupin, včetně sporadických skupin.
• Objednávky neabelovských jednoduchých skupin do 10 ¹⁰ a do 10 ⁴⁸ s omezeními hodnosti.

externí odkazy

• Objednávky neabelovských jednoduchých skupin až do výše 10 000 000 000.