Skupinové zastoupení - Group representation

Reprezentace skupiny „působí“ na objekt. Jednoduchým příkladem je, jak symetrie pravidelného mnohoúhelníku , skládající se z odrazů a rotací, transformuje mnohoúhelník.

V matematickém oblasti teorie reprezentace , skupina reprezentace popisují abstraktní skupiny , pokud jde o bijective lineární transformace (tj automorphisms ) z vektorových prostorů ; zejména je lze použít k reprezentaci skupinových prvků jako invertibilních matic, takže skupinovou operaci lze reprezentovat násobením matic . Reprezentace skupin jsou důležité, protože umožňují redukovat mnoho skupinově teoretických problémů na problémy v lineární algebře , což je dobře pochopeno. Jsou také důležité ve fyzice, protože například popisují, jak skupina symetrie fyzického systému ovlivňuje řešení rovnic popisujících tento systém.

Termín reprezentace skupiny je také používán v obecnějším smyslu pro jakýkoli „popis“ skupiny jako skupiny transformací nějakého matematického objektu. Formálněji „reprezentace“ znamená homomorfismus ze skupiny na skupinu automorfismu objektu. Pokud je objekt vektorový prostor, máme lineární reprezentaci . Někteří lidé používají realizaci pro obecný pojem a vyhrazují si termín reprezentace pro speciální případ lineárních reprezentací. Převážná část tohoto článku popisuje teorii lineární reprezentace; zobecnění najdete v poslední části.

Větve teorie skupinové reprezentace

Teorie reprezentace skupin se dělí na podteorie v závislosti na druhu skupiny, která je reprezentována. Různé teorie se v detailech velmi liší, i když některé základní definice a pojmy jsou podobné. Nejdůležitější divize jsou:

Konečné skupiny - Skupinové reprezentace jsou velmi důležitým nástrojem při studiu konečných skupin. Vznikají také v aplikacích teorie konečných skupin na krystalografii a geometrii. Pokud má pole skalárů vektorového prostoru charakteristické p , a pokud p dělí pořadí skupiny, pak se tomu říká modulární teorie reprezentace ; tento speciální případ má velmi odlišné vlastnosti. Viz teorie reprezentace konečných skupin .
Kompaktní skupiny nebo lokálně kompaktní skupiny - Mnoho výsledků teorie reprezentace konečných skupin je prokázáno zprůměrováním skupiny. Tyto důkazy lze přenést do nekonečných skupin nahrazením průměru integrálem za předpokladu, že lze definovat přijatelný pojem integrálu. To lze provést pro lokálně kompaktní skupiny pomocí Haarova opatření . Výsledná teorie je ústřední součástí harmonické analýzy . Pontryagin dualita popisuje teorii pro komutativních skupiny, jako zobecněná Fourierova transformace . Viz také: Peter – Weylova věta .
Skupiny lži - Mnoho důležitých Lieových skupin je kompaktních, takže se na ně vztahují výsledky teorie kompaktní reprezentace. Používají se také další techniky specifické pro Lieovy skupiny. Většina skupin důležitých ve fyzice a chemii jsou Lieovy skupiny a jejich teorie reprezentace je zásadní pro aplikaci teorie skupin v těchto oborech. Viz Reprezentace Lieových skupin a Reprezentace Lieových algeber .
Lineárních skupin (nebo obecněji afinní schémata skupina ), - Jedná se o analogy skupiny lži, ale na více obecné pole než jen R nebo C . Přestože lineární algebraické skupiny mají klasifikaci, která je velmi podobná klasifikaci Lieových skupin, a vedou ke vzniku stejných rodin Lieových algeber, jejich reprezentace jsou dosti odlišné (a mnohem méně dobře srozumitelné). Analytické techniky používané ke studiu Lieových skupin musí být nahrazeny technikami z algebraické geometrie , kde relativně slabá topologie Zariski způsobuje mnoho technických komplikací.
Nekompaktní topologické skupiny -Třída nekompaktních skupin je příliš široká na to, aby bylo možné konstruovat jakoukoli obecnou teorii reprezentace, ale byly studovány konkrétní speciální případy, někdy za použití technik ad hoc. Tyto polojednoduché Lieovy grupy mají hluboké teorie, vycházející z kompaktního pouzdra. Doplňkově řešitelné Lieovy skupiny nelze klasifikovat stejným způsobem. Obecná teorie pro Lieovy skupiny se zabývá polopřímými produkty těchto dvou typů, a to prostřednictvím obecných výsledků zvaných Mackey theory , což je zobecnění Wignerových klasifikačních metod.

Teorie reprezentace také do značné míry závisí na typu vektorového prostoru, na který skupina působí. Člověk rozlišuje mezi konečno-dimenzionální reprezentací a nekonečně dimenzionální reprezentací. V nekonečně dimenzionálním případě jsou důležité další struktury (např. Zda je prostor Hilbertův prostor , Banachův prostor atd.).

Je třeba také vzít v úvahu typ pole, nad kterým je definován vektorový prostor. Nejdůležitějším případem je pole komplexních čísel . Dalšími důležitými případy jsou pole reálných čísel , konečná pole a pole p-adických čísel . Obecně lze algebraicky uzavřená pole snáze zpracovat než nealgebraicky uzavřená pole. Charakteristické pole je také významné; mnoho vět pro konečné skupiny závisí na charakteristice pole, které nerozděluje pořadí skupiny .

Definice

Reprezentace ze skupiny G na vektorovém prostoru V přes pole K je skupina homomorphism od G do GL ( V ), přičemž obecné lineární skupiny na V . To znamená, že reprezentace je mapa

{\ Displaystyle \ rho \ colon G \ to \ mathrm {GL} (V)}

takové to

{\ Displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) = \ rho (g_ {1}) \ rho (g_ {2}), \ qquad {\ text {pro všechny}} g_ {1}, g_ { 2} \ v G.}

Zde V se nazývá reprezentační prostor a dimenze V se nazývá dimenze reprezentace. Je běžnou praxí odkazovat na V jako na reprezentaci, když je homomorfismus jasný z kontextu.

V případě, že V je konečného rozměru n je běžné zvolit základ pro V a identifikovat GL ( V ) s GL ( n , K ) , skupinu N -by- n invertible matic na pole K .

Jestliže G je topologický skupina a V je topological vektorový prostor , je kontinuální reprezentace z G na V, je reprezentace ρ tak, že aplikace cp: G x V → V definován cp ( g , v ) = ρ ( g ) ( v ) je spojitá .
Jádro reprezentace p skupiny G je definován jako normální podskupiny G , jehož obraz v p je transformace identita:

{\ Displaystyle \ ker \ rho = \ left \ {g \ in G \ mid \ rho (g) = \ mathrm {id} \ right \}.}

Věrný reprezentace je taková, ve které homomorphism G → GL ( V ) je injective ; jinými slovy ten, jehož jádrem je triviální podskupina { e } sestávající pouze z prvku identity skupiny.

Vzhledem ke dvěma vektorovým prostorům K V a W jsou dvě reprezentace ρ : G → GL ( V ) a π : G → GL ( W ) považovány za ekvivalentní nebo izomorfní, pokud existuje izomorfismus vektorového prostoru α : V → W, takže pro všechny g v G ,

{\ Displaystyle \ alpha \ circ \ rho (g) \ circ \ alpha ^{-1} = \ pi (g).}

Příklady

Uvažujme komplexní číslo u = e ^{2πi / 3,} které má vlastnost u ³ = 1. Cyklická skupina C ₃ = {1, u , u ² } má reprezentaci ρ na danou: ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2}}$

{\ Displaystyle \ rho \ left (1 \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ rho \ left (u \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ rho \ left (u^{2} \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u^{2} \\\ end {bmatrix}}. }

Tato reprezentace je věrná, protože ρ je mapa jedna k jedné .

Další reprezentace pro C ₃ na , izomorfní k předchozímu, je σ dána vztahem: ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2}}$

{\ Displaystyle \ sigma \ left (1 \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ sigma \ left (u \ right) = {\ begin {bmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ sigma \ left (u^{2} \ right) = {\ begin {bmatrix} u^{2} & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} .}

Skupina C ₃ může být také věrně zastoupena τ daným: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

{\ Displaystyle \ tau \ left (1 \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ tau \ left (u \ right) = {\ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ tau \ left (u^{2} \ right) = {\ begin {bmatrix} a & b \\-b & a \\\ end {bmatrix}}}

kde

{\ Displaystyle a = {\ text {Re}} (u) =-{\ tfrac {1} {2}}, \ qquad b = {\ text {Im}} (u) = {\ tfrac {\ sqrt { 3}} {2}}.}

Další příklad:

Nechť je prostor homogenních polynomů stupně 3 nad komplexními čísly v proměnných ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}.}$

Poté působí permutací tří proměnných. ${\ displaystyle S_ {3}}$ ${\ displaystyle V}$

Například odesílá do . ${\ displaystyle (12)}$ ${\ displaystyle x_ {1}^{3}}$ ${\ displaystyle x_ {2}^{3}}$

Redukovatelnost

Podprostor W o V, který je invariantní v rámci skupinové akce, se nazývá subreprezentace . Pokud V má přesně dvě subreprezentace, konkrétně nulový rozměrný podprostor a samotný V , pak se říká, že reprezentace je neredukovatelná ; pokud má řádné subreprezentace nenulové dimenze, je reprezentace prý redukovatelná . Reprezentace nulové dimenze není považována za redukovatelnou ani neredukovatelnou, stejně jako číslo 1 není považováno ani za složené, ani za prvočíslo .

Za předpokladu, že charakteristika pole K nerozděluje velikost skupiny, lze reprezentace konečných skupin rozložit na přímý součet neredukovatelných subreprezentací (viz Maschkeova věta ). To platí zejména pro jakoukoli reprezentaci konečné skupiny nad komplexními čísly , protože charakteristika komplexních čísel je nulová, což nikdy nerozděluje velikost skupiny.

Ve výše uvedeném příkladu jsou první dvě uvedené reprezentace (ρ a σ) rozložitelné na dvě 1-dimenzionální subreprezentace (dané span {(1,0)} a span {(0,1)}), zatímco třetí reprezentace (τ) je neredukovatelný.

Zobecnění

Set-teoretické reprezentace

Set-teoretické zobrazení (také známý jako akční skupiny nebo reprezentace permutačního ) části skupiny G na nastavené X je dána funkcí p: G → X ^X je sada funkcí z X až X , tak, že pro všechny g ₁ , g ₂ v G a všechna x v X :

{\ Displaystyle \ rho (1) [x] = x}

{\ Displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) [x] = \ rho (g_ {1}) [\ rho (g_ {2}) [x]],}

kde je identita prvek G . Tento stav a axiómy pro skupinu znamenat, že ρ ( g ) je bijection (nebo permutace ) pro všechny g v G . Můžeme tedy ekvivalentně definovat zastoupení permutační být skupina homomorphism z G na symetrické skupiny S _X z X . ${\ displaystyle 1}$

Další informace o tomto tématu najdete v článku o skupinové akci .

Zastoupení v jiných kategoriích

Každou skupinu G lze zobrazit jako kategorii s jediným objektem; morphisms v této kategorii jsou jen prvky G . Vzhledem k tomu, libovolný kategorie C , je reprezentace z G na C je functor z G na C . Takový functor vybere objekt X v C a skupina homomorfismus z G na Aut ( X ), přičemž automorphism skupinu s X .

V případě, že C je Vect _K , kategorie vektorových prostorů nad polem K , je tato definice ekvivalentní lineární reprezentaci. Podobně, množina-teoretická reprezentace je jen reprezentace G v kategorii množin .

Když C je Ab , kategorie abelianských skupin , získané objekty se nazývají G -moduly .

Pro další příklad zvažte kategorii topologických prostorů , Top . Zastoupení v Top jsou homomorphisms z G na homeomorphism skupiny topological prostor X .

Dva typy reprezentací úzce souvisejících s lineárními reprezentacemi jsou:

projektivní reprezentace : v kategorii projektivních prostorů . Ty lze popsat jako „lineární reprezentace až po skalární transformace“.
afinní reprezentace : v kategorii afinních prostorů . Například euklidovská skupina působí afinně na euklidovský prostor .

Viz také

Poznámky

Reference

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz . Absolventské texty z matematiky , čtení z matematiky. 129 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .. Úvod do teorie reprezentace s důrazem na Lieovy skupiny .
Jurij I. Lyubich. Úvod do teorie Banachových reprezentací skupin . Přeloženo z ruského vydání z roku 1985 (Charkov, Ukrajina). Birkhäuser Verlag. 1988.

Languages

In other projects