Lokálně konstantní funkce - Locally constant function

Funkce Signum omezená na doménu je místně konstantní.${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

V matematice , je místně konstantní funkce je funkce z topologického prostoru do sady s majetkem, že kolem každého bodu jeho domény, existuje nějaký sousedství tohoto bodu, na kterém omezuje na konstantní funkce .

Definice

Dovolit být funkce z topologické prostor do sady Pokud pak se říká, že místně konstantní, jestliže existuje sousedství a taková, že je konstantní, což podle definice znamená, že pro všechny funkce se nazývá místně konstantní , pokud je lokálně konstantní při každém bod ve své doméně. ${\ displaystyle f: X \ až S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle f (u) = f (v)}$${\ displaystyle u, v \ v U.}$${\ displaystyle f: X \ až S}$${\ displaystyle x \ v X}$

Příklady

Každá konstantní funkce je místně konstantní. Hovořit se bude držet, pokud jeho doménou je souvislý prostor .

Každý lokálně konstantní funkce z reálných čísel k je konstanta, kterou propojenost všech ale funkce z racionálních do definovaných a je místně konstantní (to využívá skutečnosti, že je iracionální , a že tedy tyto dvě sady a jsou oba otevřeny v ). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle f: \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle f (x) = 0 {\ text {pro}} x <\ pi,}$${\ displaystyle f (x) = 1 {\ text {pro}} x> \ pi,}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ {x \ v \ mathbb {Q}: x <\ pi \}}$${\ displaystyle \ {x \ v \ mathbb {Q}: x> \ pi \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Pokud je místně konstantní, pak je konstantní na jakémkoliv připojeném zařízení z opačného platí pro místně připojených prostory, které jsou mezery, jejichž připojená zařízení jsou otevřené podmnožiny. ${\ displaystyle f: A \ až B}$${\ displaystyle A.}$

Mezi další příklady patří následující:

• Vzhledem k tomu, zahrnující mapy pak ke každému bodu můžeme přiřadit mohutnost z vlákna během tohoto úkolu je místně konstantní.${\ displaystyle p: C \ až X,}$${\ displaystyle x \ v X}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (x)}$${\ displaystyle x}$
• Mapa z topologického prostoru do diskrétního prostoru je spojitá právě tehdy, je-li lokálně konstantní.${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Spojení s teorií svazků

K dispozici jsou svazky místně konstantní funkce na které mají být ještě definitivní, místně konstantní funkce integer s hodnotou na vytváří skupinu snop v tom smyslu, že pro každý otevřený soubor z můžeme tvořit funkce tohoto druhu; a pak ověřte, že axiomy svazku drží pro tuto konstrukci, což nám dává svazek abelianských skupin (dokonce komutativních prstenů ). Tento svazek se dal psát ; popsáno pomocí stopek máme stopku kopie at pro každou To lze označit jako konstantní svazek , což znamená přesně svazek lokálně konstantních funkcí, přičemž jejich hodnoty jsou ve (stejné) skupině. Typický svazek samozřejmě není tímto způsobem konstantní; ale konstrukce je užitečná při propojení cohomologie svazků s teorií homologie a při logických aplikacích svazků. Myšlenka systému lokálních koeficientů spočívá v tom, že můžeme mít teorii snopů, které místně vypadají jako takové „neškodné“ snopy (téměř jakékoli ), ale z globálního hlediska vykazují určité „zkroucení“. ${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z_ {X}}$${\ displaystyle Z_ {x},}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x \ v X.}$${\ displaystyle x}$

Viz také

• Liouvilleova věta (komplexní analýza)  - Věta v komplexní analýze