Diskrétní prostor - Discrete space
V topologii je diskrétní prostor obzvláště jednoduchým příkladem topologického prostoru nebo podobné struktury, ve kterém body tvoří nesouvislou sekvenci , což znamená, že jsou v určitém smyslu od sebe izolovány . Diskrétní topologie je nejlepší topologie, kterou lze na sadě poskytnout. Každá podmnožina je v diskrétní topologii otevřená, takže zejména každá jednotlivá podmnožina je otevřená množina v diskrétní topologii.
Definice
Vzhledem k sadě :
- diskrétní topologie o je definována tím, že nechá každý podmnožinu z být otevřený (a tudíž i uzavřené ), a je diskrétní topologický prostor , je-li vybaven diskrétní topologie;
- diskrétní uniformity na je definována tím, že nechá každý nadmnožinu úhlopříčky ve být doprovod , a je diskrétní jednotný prostor , pokud je vybaven diskrétní uniformity.
- diskrétní metrika o je definována
- set je diskrétní v metrického prostoru , protože , pokud pro každý existuje nějaký (v závislosti na ) taková, že pro všechny ; taková sada se skládá z izolovaných bodů . Sada je rovnoměrně diskrétní v metrickém prostoru , pro , pokud existuje taková, že pro jakékoli dva odlišné , .
O metrickém prostoru se říká, že je rovnoměrně diskrétní, pokud existuje poloměr balení tak, že pro kterýkoli z nich má buď nebo . Topologie, která je podkladem metrického prostoru, může být diskrétní, aniž by metrika byla rovnoměrně diskrétní: například obvyklá metrika na množině .
Důkaz, že diskrétní prostor nemusí být nutně rovnoměrně diskrétní
|
---|
Uvažujme tuto sadu pomocí obvyklé metriky reálných čísel. Pak je diskrétní prostor, protože pro každý bod jej můžeme obklopit intervalem , kde . Křižovatka je tedy triviálně singleton . Protože je průsečík dvou otevřených množin otevřený a singletony jsou otevřené, vyplývá z toho diskrétní prostor. Nelze však být jednotně diskrétní. Chcete -li zjistit proč, předpokládejme, že existuje takový, že kdykoli . Postačí ukázat, že existují nejméně dva body, a ve které jsou blíže ke každému jiný než . Protože vzdálenost mezi sousedními body a je je , musíme najít an, který tuto nerovnost splňuje: Protože vždy existuje větší než jakékoli dané skutečné číslo, vyplývá z toho, že vždy budou alespoň dva body, které jsou k sobě blíže než jakékoli kladné číslo , a proto není jednotně diskrétní. |
Vlastnosti
Základní jednotnost v diskrétním metrickém prostoru je diskrétní uniformita a základní topologie v diskrétním jednotném prostoru je diskrétní topologie. Různé pojmy diskrétního prostoru jsou tedy navzájem kompatibilní. Na druhé straně základní topologie nediskrétního uniformního nebo metrického prostoru může být diskrétní; příkladem je metrický prostor (s metrikou zděděnou ze skutečné linie a danou ). Toto není diskrétní metrika; také tento prostor není úplný, a proto není diskrétní jako jednotný prostor. Přesto je diskrétní jako topologický prostor. Říkáme, že je topologicky diskrétní, ale ne rovnoměrně diskrétní nebo metricky diskrétní .
Dodatečně:
- Topologické dimenze diskrétního prostoru je rovna 0.
- Topologický prostor je diskrétní, pouze pokud jsou jeho singletony otevřené, což je případ, kdy a pouze pokud neobsahuje žádné body akumulace .
- Singletony tvoří základ pro diskrétní topologii.
- Jednotný prostor je diskrétní tehdy a jen tehdy, pokud úhlopříčka je doprovod .
- Každý diskrétní topologický prostor splňuje každý ze separačních axiomů ; zejména každý diskrétní prostor je Hausdorff , to znamená oddělený.
- Diskrétní prostor je kompaktní jestliže a jediný jestliže to je konečný .
- Každý diskrétní jednotný nebo metrický prostor je úplný .
- Zkombinováním výše uvedených dvou skutečností je každý diskrétní uniformní nebo metrický prostor zcela ohraničen právě tehdy, je -li konečný.
- Každý diskrétní metrický prostor je ohraničen .
- Každý diskrétní prostor je nejprve spočitatelný ; navíc je počítatelný jako druhý, pokud a je počítatelný .
- Každý diskrétní prostor je zcela odpojen .
- Každý neprázdný diskrétní prostor je druhou kategorií .
- Jakékoli dva diskrétní prostory se stejnou mohutností jsou homeomorfní .
- Každý diskrétní prostor je metrizovatelný (diskrétní metrikou).
- Konečný prostor je metrizovatelný, pouze pokud je diskrétní.
- Pokud je topologický prostor a je to soubor nesoucí diskrétní topologii, pak je rovnoměrně pokryt (projekční mapa je požadovaným pokrytím)
- Topologie subspace na celá čísla jako podprostoru reálné ose je diskrétní topologie.
- Diskrétní prostor je oddělitelný právě tehdy, je -li započitatelný.
- Každý topologický podprostor (s jeho obvyklou euklidovskou topologií ), který je diskrétní, je nutně spočitatelný .
Jakákoli funkce z diskrétního topologického prostoru do jiného topologického prostoru je spojitá a jakákoli funkce z diskrétního jednotného prostoru do jiného jednotného prostoru je rovnoměrně spojitá . To znamená, že diskrétní prostor je na množině volný v kategorii topologických prostorů a souvislých map nebo v kategorii jednotných prostorů a rovnoměrně souvislých map. Tyto skutečnosti jsou příklady mnohem širšího jevu, ve kterém jsou diskrétní struktury obvykle volné na množinách.
S metrickými prostory jsou věci složitější, protože existuje několik kategorií metrických prostorů v závislosti na tom, co je vybráno pro morfismy . Diskrétní metrický prostor je určitě volný, když jsou všechny morfismy jednotně souvislé mapy nebo všechny souvislé mapy, ale to nevypovídá nic zajímavého o metrické struktuře , pouze o jednotné nebo topologické struktuře. Kategorie relevantnější pro metrickou strukturu lze nalézt omezením morfismů na Lipschitzovy souvislé mapy nebo na krátké mapy ; tyto kategorie však nemají volné objekty (na více než jednom prvku). Diskrétní metrický prostor je však volný v kategorii omezených metrických prostorů a Lipschitzových spojitých map a je volný v kategorii metrických prostorů ohraničených 1 a krátkými mapami. To znamená, že jakákoli funkce z diskrétního metrického prostoru do jiného ohraničeného metrického prostoru je Lipschitzova spojitá a jakákoli funkce z diskrétního metrického prostoru do jiného metrického prostoru ohraničeného 1 je krátká.
Když jdeme opačným směrem, funkce z topologického prostoru do diskrétního prostoru je spojitá tehdy a jen tehdy, je -li lokálně konstantní v tom smyslu, že každý bod v má sousedství, na kterém je konstantní.
Každý ultrafilter na non-prázdné množiny může být spojena s topologií na s majetkem, že každý non-prázdná vlastní podmnožina ze je buď otevřená podmnožina nebo ještě uzavřená podmnožina , ale nikdy ne obojí. Řečeno jinak, každý podmnožina je otevřený nebo uzavřený, ale (na rozdíl od diskrétní topologie) na pouze podskupin, které jsou oba otevřené a uzavřené (tj clopen ) jsou a . Pro srovnání, každá podmnožina je v diskrétní topologii otevřená a uzavřená.
Využití
Diskrétní struktura se často používá jako „výchozí struktura“ v sadě, která nenese žádnou jinou přirozenou topologii, uniformitu nebo metriku; diskrétní struktury lze často použít jako „extrémní“ příklady k testování konkrétních předpokladů. Například jakoukoli skupinu lze považovat za topologickou skupinu tím, že jí dáme diskrétní topologii, což znamená, že věty o topologických skupinách platí pro všechny skupiny. Analytici mohou skutečně označovat obyčejné netopologické skupiny studované algebraisty jako „ diskrétní skupiny “. V některých případech to lze užitečně aplikovat, například v kombinaci s dualitou Pontryagin . 0dimenzionální potrubí (nebo diferencovatelné nebo analytické potrubí) není nic jiného než diskrétní topologický prostor. Můžeme tedy na jakoukoli diskrétní skupinu pohlížet jako na 0dimenzionální Lieovu skupinu .
Produkt z countably nekonečných kopií diskrétního prostoru přirozených čísel je homeomorphic do prostoru iracionálních čísel , s homeomorphism dána řetězový zlomek expanze. Součin spočitatelně nekonečných kopií diskrétního prostoru {0,1} je homeomorfní k Cantorově sadě ; a ve skutečnosti rovnoměrně homeomorfní k Cantorově sadě, použijeme -li na výrobku uniformitu produktu. Takový homeomorfismus je dán použitím ternárního zápisu čísel. (Viz prostor Cantor .)
V základech matematiky je studium vlastností kompaktnosti produktů {0,1} ústředním bodem topologického přístupu k principu ultrafiltru , což je slabá forma volby .
Nerozlišené prostory
V některých ohledech je opakem diskrétní topologie triviální topologie (nazývaná také indiskrétní topologie ), která má co nejméně otevřených množin (jen prázdnou množinu a samotný prostor). Tam, kde je diskrétní topologie počáteční nebo volná, je nerozlišená topologie konečná nebo společná : každá funkce od topologického prostoru do nerozlišeného prostoru je spojitá atd.
Viz také
Reference
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. MR 0507446 . Zbl 0386.54001 .
- Wilansky, Albert (17. října 2008) [1970]. Topologie pro analýzu . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .