Střední absolutní rozdíl - Mean absolute difference

Průměrná absolutní rozdíl (jednorozměrný) je měřítkem statistické disperze , která se rovná průměru absolutní rozdíl dvou nezávislých hodnot vycházejících z rozdělení pravděpodobnosti . Související statistikou je relativní průměrný absolutní rozdíl , který je průměrným absolutním rozdílem děleným aritmetickým průměrem a roven dvojnásobku Giniho koeficientu . Průměrná absolutní rozdíl je také známý jako absolutní průměrným rozdílem (nezaměňovat s absolutní hodnotou na střední podepsané rozdílu ) a Giniho průměrným rozdílem (GMD). Střední absolutní rozdíl je někdy označen Δ nebo jako MD.

Definice

Průměrná absolutní rozdíl je definována jako „průměrný“ nebo „střední“, formálně očekávanou hodnotou , absolutního rozdílu dvou náhodných proměnných X a Y nezávisle na sobě a stejně rozdělené se stejnou (neznámé) distribuce se dále nazývají Q .

${\ Displaystyle \ mathrm {MD}: = E [| XY |].}$

Výpočet

Konkrétně v diskrétním případě

• Pro náhodný vzorek velikosti n populace rovnoměrně rozdělené podle Q lze podle zákona o celkovém očekávání (empirický) průměrný absolutní rozdíl posloupnosti hodnot vzorku y _i , i = 1 až n vypočítat jako aritmetický průměr absolutní hodnoty všech možných rozdílů:

${\ Displaystyle \ mathrm {MD} = E [| XY |] = E_ {X} [E_ {Y | X} [| XY |]] = {\ frac {1} {n^{2}}} \ sum _ {i = 1}^{n} \ sum _ {j = 1}^{n} | x_ {i} -y_ {j} |.}$

• má -li Q diskrétní pravděpodobnostní funkci f ( y ), kde y _i , i = 1 až n , jsou hodnoty s nenulovou pravděpodobností:

${\ Displaystyle \ mathrm {MD} = \ sum _ {i = 1}^{n} \ sum _ {j = 1}^{n} f (y_ {i}) f (y_ {j}) | y_ { i} -y_ {j} |.}$

V souvislém případě

• pokud Q má funkci hustoty pravděpodobnosti f ( x ):

${\ Displaystyle \ mathrm {MD} = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \, f (y) \, | xy | \, dx \, dy.}$

• má -li Q kumulativní distribuční funkci F ( x ) s kvantilní funkcí Q ( F ), pak, protože f (x) = dF (x)/dx a Q (F (x)) = x , vyplývá z toho, že:

${\ Displaystyle \ mathrm {MD} = \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} | Q (F_ {1})-Q (F_ {2}) | \, dF_ { 1} \, dF_ {2}.}$

Relativní průměr absolutní rozdíl

Když má rozdělení pravděpodobnosti konečný a nenulový aritmetický průměr AM, relativní průměrný absolutní rozdíl, někdy označovaný Δ nebo RMD, je definován vztahem

${\ displaystyle \ mathrm {RMD} = {\ frac {\ mathrm {MD}} {\ mathrm {AM}}}.}$

Relativní průměrný absolutní rozdíl kvantifikuje střední absolutní rozdíl ve srovnání s velikostí průměru a je bezrozměrnou veličinou. Relativní průměrný absolutní rozdíl se rovná dvojnásobku Giniho koeficientu, který je definován pomocí Lorenzovy křivky . Tento vztah dává komplementární perspektivy jak relativnímu průměrnému absolutnímu rozdílu, tak Giniho koeficientu, včetně alternativních způsobů výpočtu jejich hodnot.

Vlastnosti

Průměrný absolutní rozdíl je neměnný vůči překladům a negaci a mění se úměrně pozitivnímu škálování. To znamená, že pokud X je náhodná proměnná a c je konstanta:

• MD ( X + c ) = MD ( X ),
• MD ( - X ) = MD ( X ), a
• MD ( c X ) = | c | MD ( X ).

Relativní průměrný absolutní rozdíl je neměnný vůči pozitivnímu škálování, dojíždí s negací a při překladu se mění v poměru k poměru původního a přeloženého aritmetického prostředku. To znamená, že pokud X je náhodná proměnná a c je konstanta:

• RMD ( X + c ) = RMD ( X ) · průměr ( X ) / (průměr ( X ) + c ) = RMD ( X ) / (1 + c / průměr ( X )) pro c m - průměr ( X ),
• RMD ( - X ) = −RMD ( X ), a
• RMD ( c X ) = RMD ( X ) pro c > 0.

Pokud má náhodná proměnná kladný průměr, pak její relativní průměrný absolutní rozdíl bude vždy větší nebo roven nule. Pokud navíc může náhodná proměnná nabývat pouze hodnot, které jsou větší nebo rovny nule, pak její relativní průměrný absolutní rozdíl bude menší než 2.

Ve srovnání se standardní odchylkou

Průměrný absolutní rozdíl je dvojnásobek stupnice L (druhý L-moment ), zatímco standardní odchylka je druhá odmocnina rozptylu kolem průměru (druhý konvenční centrální moment). Rozdíly mezi L-momenty a konvenčními momenty jsou nejprve vidět při porovnání průměrného absolutního rozdílu a standardní odchylky (první L-moment a první konvenční moment jsou průměr).

Jak standardní odchylky a střední míra absolutní rozdíl disperze, jak rozprostřené jsou hodnoty populace nebo pravděpodobnosti rozdělení. Průměrný absolutní rozdíl není definován z hlediska konkrétní míry centrální tendence, zatímco standardní odchylka je definována z hlediska odchylky od aritmetického průměru. Protože standardní odchylka umocňuje její rozdíly, má tendenci dávat větší váhu větším rozdílům a menší váhu menším rozdílům ve srovnání se středním absolutním rozdílem. Když je aritmetický průměr konečný, bude průměrný absolutní rozdíl také konečný, i když je standardní odchylka nekonečná. Některá konkrétní srovnání najdete v příkladech .

Nedávno představená standardní odchylka vzdálenosti hraje podobnou roli jako střední absolutní rozdíl, ale standardní odchylka vzdálenosti pracuje se středovými vzdálenostmi. Viz také E-statistika .

Odhady vzorků

Pro náhodný vzorek S z náhodné veličiny X , sestávající z n hodnot y _i , statistika

${\ Displaystyle \ mathrm {MD} (S) = {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{n} \ sum _ {j = 1}^{n} | y_ {i} -y_ {j} |} {n (n-1)}}}}$

je konzistentní a nezaujatý odhad MD ( X ). Statistiky:

${\ Displaystyle \ mathrm {RMD} (S) = {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{n} \ sum _ {j = 1}^{n} | y_ {i} -y_ {j} |} {(n-1) \ sum _ {i = 1}^{n} y_ {i}}}}$

je konzistentní odhad RMD ( X ), ale není obecně nezaujatý .

Intervaly spolehlivosti pro RMD ( X ) lze vypočítat pomocí technik vzorkování bootstrapu.

Obecně neexistuje nestranný odhad pro RMD ( X ), částečně kvůli obtížnosti nalezení nezaujatého odhadu pro vynásobení inverzní hodnotou průměru. Například i když je známo, že vzorek je odebrán z náhodné proměnné X ( p ) pro neznámé p a X ( p ) - 1 má Bernoulliho rozdělení , takže Pr ( X ( p ) = 1) = 1 -  p a Pr ( X ( p ) = 2) = p , pak

RMD ( X ( p )) = 2 p (1 -  p )/(1 +  p ) .

Ale očekávaná hodnota jakéhokoli odhadu R ( S ) RMD ( X ( p )) bude mít tvar:

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (R (S)) = \ sum _ {i = 0}^{n} p^{i} (1-p)^{ni} r_ {i},}$

kde r _i jsou konstanty. Takže E ( R ( S )) se nikdy nemůže rovnat RMD ( X ( p )) pro všechny p mezi 0 a 1.

Příklady

Příklady průměrného absolutního rozdílu a relativního průměrného absolutního rozdílu

Rozdělení	Parametry	Znamenat	Standardní odchylka	Znamená absolutní rozdíl	Relativní průměr absolutní rozdíl
Nepřetržitá uniforma	${\ Displaystyle a = 0; b = 1}$	${\ Displaystyle 1/2 = 0,5}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {12}}} \ cca 0,2887}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ cca 0,3333}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ cca 0,6667}$
Normální	${\ Displaystyle \ mu = 0}$; ${\ Displaystyle \ sigma = 1}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ cca 1,1284}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ cca 1,1284}$
Exponenciální	${\ Displaystyle \ lambda = 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$
Pareto	${\ displaystyle k> 1}$; ${\ displaystyle x_ {m} = 1}$	${\ displaystyle {\ frac {k} {k-1}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {k-1}} \, {\ sqrt {\ frac {k} {k-2}}} {\ text {for}} k> 2}$	${\ Displaystyle {\ frac {2k} {(k-1) (2k-1)}} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {2k-1}} \,}$
Gama	${\ displaystyle k}$; ${\ displaystyle \ theta}$	${\ displaystyle k \ theta}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {k}} \, \ theta}$	${\ Displaystyle k \ theta (2-4I_ {0,5} (k, k+1))}$ † †	${\ Displaystyle 4I_ {0,5} (k, k+1) -2}$ † †
Gama	${\ displaystyle k = 1}$; ${\ displaystyle \ theta = 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$
Gama	${\ displaystyle k = 2}$; ${\ displaystyle \ theta = 1}$	${\ displaystyle 2}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ cca 1,4142}$	${\ Displaystyle 3/2 = 1,5}$	${\ Displaystyle 3/4 = 0,75}$
Gama	${\ displaystyle k = 3}$; ${\ displaystyle \ theta = 1}$	${\ displaystyle 3}$	${\ displaystyle {\ sqrt {3}} \ cca 1,7321}$	${\ displaystyle 15/8 = 1,875}$	${\ Displaystyle 5/8 = 0,625}$
Gama	${\ displaystyle k = 4}$; ${\ displaystyle \ theta = 1}$	${\ displaystyle 4}$	${\ displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 35/16 = 2,1875}$	${\ displaystyle 35/64 = 0,546875}$
Bernoulli	${\ Displaystyle 0 \ leq p \ leq 1}$	${\ displaystyle p}$	${\ displaystyle {\ sqrt {p (1-p)}}}}$	${\ Displaystyle 2p (1-p)}$	${\ Displaystyle 2 (1-p) {\ text {for}} p> 0}$
Student's t , 2 df	${\ displaystyle \ nu = 2}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {2}}} \ cca 2,2214}$	nedefinováno

† je regulovaná neúplná funkce Beta${\ displaystyle I_ {z} (x, y)}$

Viz také

• Znamená absolutní chyba
• Střední odchylka
• Odhad
• Variační koeficient
• Moment L.

Reference

• Xu, Kuan (leden 2004). „Jak se vyvíjela literatura na Giniho indexu za posledních 80 let?“ (PDF) . Katedra ekonomie, Dalhousie University . Citováno 2006-06-01 . Citační deník vyžaduje |journal=( nápověda )
• Gini, Corrado (1912). Variabilita a mutabilita . Bologna: Tipografia di Paolo Cuppini.
• Gini, Corrado (1921). „Měření nerovnosti a příjmů“ . Ekonomický časopis . 31 (121): 124–126. doi : 10,2307/2223319 . JSTOR  2223319 .
• Chakravarty, SR (1990). Čísla etického sociálního indexu . New York: Springer-Verlag.
• Mills, Jeffrey A .; Zandvakili, Sourushe (1997). „Statistické závěry prostřednictvím bootstrapu pro měření nerovnosti“. Journal of Applied Econometrics . 12 (2): 133–150. CiteSeerX  10.1.1.172.5003 . doi : 10,1002/(SICI) 1099-1255 (199703) 12: 2 <133 :: AID-JAE433> 3,0.CO; 2-H .
• Lomnicki, ZA (1952). „Standardní chyba Giniho průměrného rozdílu“ . Annals of Mathematical Statistics . 23 (4): 635–637. doi : 10,1214/aoms/1177729346 .
• Nair, USA (1936). „Standardní chyba Giniho průměrného rozdílu“. Biometrika . 28 (3–4): 428–436. doi : 10,1093/biomet/28,3-4,428 .
• Yitzhaki, Shlomo (2003). „Giniho průměrný rozdíl: vynikající měřítko variability pro normální distribuce“ (PDF) . Metron - International Journal of Statistics . 61 : 285–316.