Absolutní hodnota - Absolute value


z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Graf funkce absolutní hodnoty pro reálná čísla
Absolutní hodnota čísla, může být považována za jeho vzdálenosti od nuly.

V matematice je absolutní hodnota nebo modulus | x | z reálného čísla  x je non-negativní hodnota  x bez ohledu na jeho znamení . Konkrétně | x | = X k několika pozitivním  x , | x | = - x dobu negativní  x (v tomto případě - x je pozitivní), a | 0 | = 0 . Například, absolutní hodnota 3 je 3, a absolutní hodnota -3 je 3. absolutní hodnota čísla, může být považována za jeho vzdálenost od nuly.

Zobecnění absolutní hodnoty pro reálná čísla se vyskytují v široké paletě matematických nastavení. Například absolutní hodnota je také definována pro komplexní čísla , na čtveřice , objednaných prsteny , pole a vektorové prostory . Absolutní hodnota je úzce souvisí s pojmy velikosti , vzdálenosti a normy v různých matematických a fyzikálních souvislostech.

Terminologie a značení

V roce 1806, Jean-Robert Argand představil termín modul , což znamená měrnou jednotku ve francouzštině, speciálně pro komplexní absolutní hodnoty, a to bylo si půjčoval do angličtiny v roce 1866 jako latinský ekvivalent modulu . Termín absolutní hodnota byla použita v tomto smyslu nejméně od roku 1806 ve francouzštině a 1857 v angličtině. Zápis | x | , Se svislou čarou na každé straně, byl zaveden Karl Weierstrass v roce 1841. Další názvy pro absolutní hodnoty obsahují číselné hodnoty a velikosti . V programovacích jazycích a počítačových softwarových balíků, je absolutní hodnota x je obecně reprezentovány abs ( x ), nebo podobný výraz.

Svislá čára Zápis se objevuje také v řadě dalších matematických kontexty: například, když se aplikuje na množiny, to znamená jeho mohutnost ; když se aplikuje na matrici , to znamená jeho determinant . Svislé pruhy označují absolutní hodnotu pouze pro algebraické objekty, pro které je definován pojem absolutní hodnotou, zejména prvku v normovaných divize algebry jako reálné číslo, komplexní čísla, čtveřice. Blízko příbuzný ale odlišný notace je použití svislé tyče pro buď euklidovské normy nebo sup normou vektoru v , i když dvojité svislé tyče s indexy ( a , v uvedeném pořadí), jsou častější a méně nejednoznačný notace.

Definice a vlastnosti

reálná čísla

Pro jakékoliv reálné číslo  x je absolutní hodnota nebo modulus of  x je označován | x | (a svislá čára na každé straně na množství), a je definována jako

Absolutní hodnota  x je tedy vždy buď kladný nebo nulový , ale nikdy negativní : když x je sám o sobě negativní ( x <0 ), pak jeho absolutní hodnota je nutně pozitivní ( | x | = - x > 0 ).

Z analytické geometrie hlediska absolutní hodnota reálného čísla je toto číslo je vzdálenost od nuly podél linky reálného čísla a obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel je vzdálenost mezi nimi. Ve skutečnosti pojem abstraktní vzdálenostní funkci v matematice může být viděno být zevšeobecňování absolutní hodnota rozdílu (viz „Vzdálenost“ níže).

Vzhledem k tomu, odmocnina symbol představuje jedinečný pozitivní druhá odmocnina (když se aplikuje na kladné číslo), to znamená, že

je ekvivalentní výše uvedené definice, a může být použita jako alternativní definice absolutní hodnoty reálných čísel.

Absolutní hodnota má následující čtyři základní vlastnosti ( , b jsou reálná čísla), které se používají pro zobecnění tohoto pojmu na jiné oblasti:

Non-negativita
Pozitivního definiteness
Multiplicativity
Subadditivity , konkrétně trojúhelník nerovnost

Non-negativita, pozitivní určitost a multiplicativity jsou zřejmé z definice. Chcete-li vidět, že Subadditivity drží první na vědomí, že jeden ze dvou alternativ užívání ů buď jako -1 nebo +1 záruky, že teď, protože i toho vyplývá, že podle toho, co je hodnota s , jeden má pro všechny opravdové . V důsledku toho , jak je požadováno. (Pro zobecnění tohoto argument komplexních čísel, viz „Důkaz o nerovnosti trojúhelníku pro komplexních čísel“ níže).

Některé další užitečné vlastnosti jsou uvedeny níže. Jsou to buď okamžité důsledky definice nebo implikovaná čtyř základních vlastností výše.

Idempotence (absolutní hodnota absolutní hodnoty, je absolutní hodnota)
Rovinnost ( odraz symetrie grafu)
Totožnost indiscernibles (ekvivalent k pozitivnímu-určitosti)
Trojúhelníková nerovnost (ekvivalent subadditivity)
(pokud je ) Zachování dělení (ekvivalent multiplicativity)
Reverzní trojúhelník nerovnost (ekvivalent subadditivity)

Dva další užitečné vlastnosti týkající se nerovností jsou:

nebo

Tyto vztahy mohou být použity k řešení nerovnosti zahrnujících absolutní hodnoty. Například:

Absolutní hodnota, jako „vzdálenosti od nuly“, se používá k definování absolutní rozdíl mezi libovolnými reálných čísel, standardní metriky na reálných čísel.

komplexní čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla  je vzdálenost  z od počátku. To je také vidět na obrázku, který a jeho
komplexně sdružené mají stejnou absolutní hodnotu. 

Vzhledem k tomu, že komplexní čísla nejsou nařízeno , definice daný nahoře pro skutečné absolutní hodnota nemůže být přímo aplikována na komplexní čísla. Avšak geometrická interpretace absolutní hodnota reálného čísla jako jeho vzdálenost od 0 ° C lze zobecnit. Absolutní hodnota komplexního čísla je definována euklidovské vzdálenosti jeho odpovídající bodu v komplexní rovině z původu . Toto může být vypočítán pomocí Pythagorovy věty : pro všechny komplexní číslo

kde x a y jsou reálná čísla je absolutní hodnota nebo modulusZ je označován | z | a je definován

kde Re ( z ) = x a Im ( z ) = y označují reálné a imaginární části Z , v daném pořadí. Když je imaginární část y je nula, to se shoduje s definicí absolutní hodnoty reálného čísla  x .

Při komplexní číslo  z je uveden ve polárním tvaru jako

s (a t Vstup ∈ arg ( z ) je tvrzení (nebo fáze) Z ), jeho absolutní hodnota je

,

Vzhledem k tomu, produktu z jakéhokoli komplexního čísla  z, a jeho komplexně sdruženým  se stejnou absolutní hodnotou, je vždy nezáporné reálné číslo , absolutní hodnota komplexního čísla lze pohodlně vyjádřit jako

připomínající alternativní definici reálných čísel:

Komplex absolutní hodnota sdílí čtyři základní vlastnosti uvedené výše pro skutečné absolutní hodnoty.

V jazyce teorii skupiny , multiplikativní vlastnost může být přeformulován takto: absolutní hodnota je skupina homomorphism ze multiplikativní skupiny komplexních čísel na skupiny na základě násobení kladných reálných čísel .

Důležité je, že vlastnost Subadditivity ( „ nerovnosti trojúhelníku “) se vztahuje na jakékoliv konečné sbírce n  komplexních čísel jako

Tato nerovnost platí i pro nekonečné rodiny , za předpokladu, že nekonečná řada je absolutně konvergentní . V případě integrace Lebesgue je vnímána jako kontinuální analog sčítání, pak tato nerovnost je analogicky poslechl komplexními hodnotami, měřitelné funkce , jakmile budou začleněny během měřitelná podmnožina :

(To zahrnuje Riemann-integrovatelná funkce přes ohraničené intervalu jako zvláštní případ.)

Důkaz o komplexní nerovnosti trojúhelníku

Nerovnosti trojúhelníku, jak je dán , je možno prokázat za použití tří snadno ověřit vlastnosti z komplexních čísel: Konkrétně, pro každé komplexní číslo ,

(i): existuje taková, že i ;
(ii): .

Také pro rodinu komplexních čísel , . Zejména,

(iii) v případě , poté .

Důkaz : Vyberte sitakové, žea(vyděleno). Následující výpočet se pak získá žádaný nerovnost:

,

Z tohoto důkazu vyplývá, že rovnost platí do přesně, pokud všechny jsou non-negativní reálná čísla, což nastane přesně jestliže všechny nenulové mít stejnou argumentaci , tedy pro komplexní konstanty a reálné konstanty pro .

Vzhledem k tomu, měřitelné znamená, že je také měřitelné, důkaz o nerovnosti probíhá přes stejnou technikou, nahrazením s a s .

Funkce absolutní hodnota

Graf funkce absolutní hodnoty pro reálná čísla
Složení absolutní hodnoty s kubické funkce v různých pořadích

Funkce skutečná absolutní hodnota je spojitá všude. Je diferencovatelná všude kromě pro x  = 0. To je monotónně klesající na intervalu (-∞, 0] a monotónně rostoucí na intervalu [0, + ∞) . Vzhledem k tomu, reálné číslo a jeho opačný mají stejnou absolutní hodnotu, to je i funkce , a je od této doby ne invertovat . Funkce reálného absolutní hodnota je po částech lineární , konvexní funkce .

Oba skutečné a komplexní funkce jsou idempotent .

Vztah k označení funkci

Funkce absolutní hodnota reálného čísla vrátí jeho hodnotu bez ohledu na jeho znamení, zatímco funkce znak (nebo signum) vrací znak řada je bez ohledu na jeho hodnotu. Následující rovnice ukazují vztah mezi těmito dvěma funkcemi:

nebo

a x ? 0 ,

Derivát

Funkce reálného absolutní hodnota má derivát pro každý x ? 0 , ale není diferencovatelná při x = 0 . Jeho derivátu pro x ? 0 je dána funkcí krok :

Subdifferential of  | x | při  x = 0 je interval  [-1,1] .

Komplex funkce absolutní hodnoty je spojitá všude, ale složitá differentiable nikde , protože porušuje rovnice Cauchy-Riemann .

Druhá derivace  | x | vzhledem k  x je nula všude kromě nuly, kde neexistuje. Jako zobecněné funkce , může být druhá derivace bere jako dvojnásobek funkce Dirac delta .

primitivní

Primitivní (neurčitý integrál) funkce skutečné absolutní hodnota je

kde C je libovolná integrační konstanta . Nejedná se o složitý primitivní , protože komplexní Primitivní může existovat pouze pro komplexní-diferencovatelná ( holomorfních ) funkcí, které je funkce komplexní absolutní hodnota není.

Vzdálenost

Absolutní hodnota je úzce spjat s myšlenkou vzdálenosti. Jak je uvedeno výše, je absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost od tohoto počtu na původ, podél linky reálného čísla, pro reálná čísla, nebo v komplexní rovině, pro komplexní čísla, a obecněji, absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel je vzdálenost mezi nimi.

Standardní Euclidean vzdálenost mezi dvěma body

a

v Euclidean n kosmická je definován jako:

Toto může být viděno jako zobecnění, protože pro a skutečný, tedy v poměru 1 prostoru, podle alternativní definice absolutní hodnoty,

a a komplexní čísla, tedy v prostoru-2,

Z výše uvedeného vyplývá, že „absolutní hodnotu“ -distance, pro reálná a komplexní čísla, souhlasí se standardním Euklidova vzdálenost, která se dědí z důvodu s ohledem na jejich jako jedno a dvojrozměrných euklidovských prostorů, resp.

Vlastnosti absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel: non-negativity, identita indiscernibles, symetrie a nerovnosti trojúhelníku výše uvedeného, může být viděn motivovat obecnější ponětí o funkci vzdálenosti takto:

Skutečná oceněná funkce d na scéně X  ×  X se nazývá metriku (nebo funkce vzdálenosti ) na  X , jestliže to uspokojí pokračování čtyři axiómy:

Non-negativita
Identita indiscernibles
Symetrie
trojúhelníková nerovnost

zobecnění

objednané kroužky

Definice absolutní hodnoty dané pro reálná čísla výše, mohou být rozšířena na jakékoliv objednané kruhu . To znamená, že pokud  je prvek spořádaného kroužku  R , pak absolutní hodnota z  , označil | | , Je definován jako:

kde - je přísada inverzní z  , 0 je přísada element identity , a <a ≥ mají obvyklý význam, pokud jde o uspořádání v kruhu.

Fields

Čtyři základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla mohou být použity k zevšeobecnit ponětí o absolutní hodnoty do libovolného pole, a to následovně.

Skutečný hodnotou funkce  v na pole  F je volán absolutní hodnota (také modul , velikost , hodnota nebo hodnota ), pokud splňuje tyto čtyři axiómy:

Non-negativita
Pozitivního definiteness
Multiplicativity
Subadditivity nebo trojúhelník nerovnost

Tam, kde 0 označuje identita přísady prvek  F . Z pozitivního-určitost a multiplicativity, že v ( 1 ) = 1 , kde 1 označuje multiplikativní identity prvek  F . Skutečné a komplexní absolutní hodnoty, definované výše, jsou příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Pokud v je absolutní hodnota, na  F , pak funkce  d na F  x  F , definovaný d ( ,  b ) = v ( - b ) , je metrický a následující jsou ekvivalentní:

  • d splňuje ultrametric nerovnost pro všechny x , y , z,F .
  • je ohraničenR .
  • pro každého
  • pro všechny
  • pro všechny

Absolutní hodnota, která splňuje kterékoliv (tedy všechny) z výše uvedených podmínek, se říká, že non-Archimédova , jinak se říká, že Archimédův .

vektorové prostory

Opět může být použit základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla, s mírnou modifikací, zevšeobecnit pojem na libovolný vektorový prostor.

Skutečný-cenil funkci na vektorovém prostoru  V přes pole  F , reprezentován jako ‖ · ‖ , je volán absolutní hodnota , ale více obvykle normu , pokud jsou splněny následující axiomy:

Pro všechny  v  F , a v , uV ,

Non-negativita
Pozitivního definiteness
Pozitivní stejnorodost nebo pozitivní škálovatelnost
Subadditivity nebo trojúhelník nerovnost

Norma vektoru se také nazývá jeho délka nebo velikost .

V případě euklidovském prostoru  R n , funkce definované

Je pravidlem volal Euclidean normou . Když reálná čísla  R jsou považovány za jednorozměrný vektorový prostor  R 1 , absolutní hodnota je norma , a je p -norm (viz L p prostor ) pro jakékoli  p . Ve skutečnosti absolutní hodnota je „pouze“ norma v R 1 , v tom smyslu, že pro každou normu ‖ · ‖ na  R 1 , x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | , Komplex absolutní hodnota je zvláštní případ normy ve vnitřním prostoru výrobku . To je totožné s Euclidean normou, v případě, že komplex rovina je identifikována s euklidovské rovině  R 2 .

složení algebry

Každá kompozice algebry má involuce xx * názvem jeho konjugaci . Produkt se získá ve prvku x a jeho konjugátu x * je zapsán N ( x ) = xx * a nazval normu x .

Skutečná čísla ℝ, komplexní čísla ℂ a čtveřice ℍ jsou všechna složení algebry s normami danými definitivní kvadratické formy . Absolutní hodnota v těchto dělicích algebrách je dána druhou odmocninou kompozice algebry normou.

Obecně normou kompozice algebry může být kvadratický tvar , který není definitivní a je null vektorů . Nicméně, stejně jako v případě rozdělení algebry, když prvek, x má nenulovou normu, pak xmultiplikativní inverzní dána x * / N ( x ).

Poznámky

Reference

externí odkazy