Meandr (matematika) - Meander (mathematics)
V matematice je meandr nebo uzavřený meandr samohybnou uzavřenou křivkou, která několikrát protíná čáru. Intuitivně lze na meandr pohlížet jako na silnici překračující řeku přes řadu mostů.
Meandr
Vzhledem k tomu, pevné orientované linie L v euklidovské rovině R 2 , je meandr řádu n je uzavřená křivka bez vlastního protínající v R 2, které příčně protíná linii na 2 n bodů pro některé kladné celé číslo n . Čára a křivka společně tvoří meandrický systém . Dva meandry se považují za rovnocenné, pokud existuje homeomorfismus celé roviny, který bere L k sobě a bere jeden meandr do druhého.
Příklady
Meandr řádu 1 protíná čáru dvakrát:
Meandry řádu 2 protínají čáru čtyřikrát.
Meandrická čísla
Počet odlišných meandrů řádu n je meandrické číslo M n . Prvních patnáct meandrických čísel je uvedeno níže (sekvence A005315 v OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- M 4 = 8
- M 5 = 42
- M 6 = 262
- M 7 = 1828
- M 8 = 13820
- M 9 = 110954
- M 10 = 933458
- M 11 = 8152860
- M 12 = 73424650
- M 13 = 678390116
- M 14 = 6405031050
- M 15 = 61606881612
Meandrické permutace
Meandric permutace řádu n je definován na množiny {1, 2, ..., 2 n } a je určena meandric systému následujícím způsobem:
- S přímkou orientovanou zleva doprava je každý průsečík meandru postupně označen celými čísly, počínaje 1.
- Křivka je orientována nahoru na křižovatce označené 1.
- Cyklické permutace bez pevných bodech se získá podle orientovanou křivku prostřednictvím označených místech křížení.
V diagramu vpravo je řádová 4 meandrická permutace dána vztahem (1 8 5 4 3 6 7 2). Toto je permutace psaná v cyklickém zápisu a neměla by být zaměňována s jednořádkovým zápisem .
Pokud π je meandrická permutace, pak π 2 se skládá ze dvou cyklů , jeden obsahující všechny sudé symboly a druhý všechny liché symboly. Permutace s touto vlastností se nazývají alternativní permutace , protože symboly v původní permutaci se střídají mezi lichými a sudými celými čísly. Ne všechny alternativní permutace jsou však meandrické, protože je nemožné je nakreslit bez zavedení křižovatky v křivce. Například alternativní permutace řádu 3 (1 4 3 6 5 2) není meandrická.
Otevřený meandr
Vzhledem k tomu, pevné orientované linie L v euklidovské rovině R 2 , An otevřený meandr řádu n je non-self-protínající orientovanou křivku v R 2 , které příčně protíná čáru u n bodů pro nějaké kladné číslo n . Dva otevřené meandry se považují za rovnocenné, pokud jsou v rovině homeomorfní .
Příklady
Otevřený meandr řádu 1 protíná čáru jednou:
Otevřený meandr řádu 2 protíná čáru dvakrát:
Otevřete meandrická čísla
Počet odlišných otevřených meandrů řádu n je otevřené meandrické číslo m n . Prvních patnáct otevřených meandrických čísel je uvedeno níže (sekvence A005316 v OEIS ).
- m 1 = 1
- m 2 = 1
- m 3 = 2
- m 4 = 3
- m 5 = 8
- m 6 = 14
- m 7 = 42
- m 8 = 81
- m 9 = 262
- m 10 = 538
- m 11 = 1828
- m 12 = 3926
- m 13 = 13820
- m 14 = 30694
- m 15 = 110954
Semi-meandr
Vzhledem k tomu, pevnou orientovaný ray R v euklidovské rovině R 2 , a semi-meandr řádu n je uzavřená křivka bez vlastního protínající v R 2, které příčně protíná paprsek v n bodů pro nějaké kladné celé číslo n . Dva semi-meandry jsou považovány za rovnocenné, pokud jsou v rovině homeomorfní .
Příklady
Semi-meandr řádu 1 protíná paprsek jednou:
Semi-meandr řádu 2 protíná paprsek dvakrát:
Semi-meandrická čísla
Počet zřetelných semi-meandrů řádu n je semi-meandrické číslo M n (obvykle se označuje podtržítkem místo podtržení). Prvních patnáct semi-meandrických čísel je uvedeno níže (sekvence A000682 v OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- M 4 = 4
- M 5 = 10
- M 6 = 24
- M 7 = 66
- M 8 = 174
- M 9 = 504
- M 10 = 1406
- M 11 = 4210
- M 12 = 12198
- M 13 = 37378
- M 14 = 111278
- M 15 = 346846
Vlastnosti meandrických čísel
K dispozici je injektivní funkce od meandru po otevřená meandrická čísla:
- M n = m 2 n -1
Každé meandrické číslo může být ohraničeno semi-meandrickými čísly:
- M n ≤ M n ≤ M 2 n
Pro n > 1 jsou meandrická čísla sudá :
- M n ≡ 0 (mod 2)