Metrická derivace - Metric derivative

V matematice je metrická derivace pojmem derivace vhodné pro parametrizované cesty v metrických prostorech . Zobecňuje pojem „rychlost“ nebo „absolutní rychlost“ pro prostory, které mají pojem vzdálenosti (tj. Metrické prostory), ale ne směr (například vektorové prostory ).

Definice

Pojďme být metrický prostor. Pojďme mít mezní bod na . Nechť je cesta. Potom se metrika derivát z na , označený , je definován ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle E \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ gamma: E \ na M}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle | \ gamma '| (t)}$

${\ displaystyle | \ gamma '| (t): = \ lim _ {s \ až 0} {\ frac {d (\ gamma (t + s), \ gamma (t))} {| s |}}, }$

pokud tento limit existuje.

Vlastnosti

Připomeňme, že AC ^p ( I ; X ) je prostor křivek γ  : I → X takový, že

${\ displaystyle d \ left (\ gamma (s), \ gamma (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau {\ mbox {for all}} [s, t] \ subseteq I}$

pro některé m v L ^p prostor L ^p ( I , R ). Pro γ ∈ AC ^p ( I ; X ) existuje metrická derivace γ pro Lebesgue - téměř vždy v I a metrická derivace je nejmenší m ∈ L ^p ( I ; R ), takže výše uvedená nerovnost platí.

Pokud je euklidovský prostor vybaven svou obvyklou euklidovskou normou a je obvyklou Fréchetovou derivací s ohledem na čas, pak ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ | - \ |}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}: E \ do V ^ {*}}$

${\ displaystyle | \ gamma '| (t) = \ | {\ tečka {\ gamma}} (t) \ |,}$

kde je euklidovská metrika. ${\ displaystyle d (x, y): = \ | xy \ |}$

Reference

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Toky gradientu v metrických prostorech a v prostoru pravděpodobnostních opatření . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilej. p. 24. ISBN  3-7643-2428-7 .CS1 maint: Více jmen: seznam autorů ( odkaz )