Neumannova okrajová podmínka - Neumann boundary condition

V matematice je okrajová podmínka Neumann (nebo druhého typu ) druh okrajové podmínky pojmenované po Carlu Neumannovi . Jsou-li uloženy na běžné nebo v parciální diferenciální rovnice , pod podmínkou, určuje hodnot derivát aplikuje v rozhraní části domény .

Problém je možné popsat pomocí dalších okrajových podmínek: Dirichletova okrajová podmínka určuje hodnoty samotného řešení (na rozdíl od jeho derivace) na hranici, zatímco Cauchyho okrajová podmínka , smíšená okrajová podmínka a Robinova okrajová podmínka jsou všechny různé typy kombinací okrajových podmínek Neumann a Dirichlet.

Příklady

ÓDA

Pro běžnou diferenciální rovnici, například,

${\ displaystyle y ''+y = 0,}$

Neumannovy okrajové podmínky na intervalu [ a , b ] mají formu

${\ Displaystyle y '(a) = \ alpha, \ quad y' (b) = \ beta,}$

kde α a β jsou dána čísla.

PDE

Například pro parciální diferenciální rovnici platí

${\ Displaystyle \ nabla ^{2} y+y = 0,}$

kde ∇ ² označuje Laplaceův operátor , Neumannovy okrajové podmínky na doméně Ω ⊂ R ⁿ mají formu

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné y} {\ částečné \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \ mathbf {x} \ in \ částečné \ Omega,}$

kde n označuje (obvykle vnější) normálu k hranici ∂Ω , a f je daná skalární funkce .

Normální derivát , který se objeví na levé straně, je definován jako

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné y} {\ částečné \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = \ nabla y (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {x}),}$

kde ∇ y ( x ) představuje gradientní vektor y ( x ) , n̂ je normálová jednotka a ⋅ představuje vnitřní operátor produktu .

Je zřejmé, že hranice musí být dostatečně hladká, aby mohla existovat normální derivace, protože například v rohových bodech hranice není normální vektor dobře definován.

Aplikace

Následující aplikace zahrnují použití okrajových podmínek Neumann:

• V termodynamice by předepsaný tepelný tok z povrchu sloužil jako okrajová podmínka. Například dokonalý izolátor by neměl žádný tok, zatímco elektrická součást se může rozptylovat známým výkonem.
• V magnetostatice se magnetické pole může být tato předepsaná jako okrajová podmínka, aby nalézt magnetického toku hustoty rozložení v uspořádání magnetů v prostoru, například v motoru s permanentním magnetem. Protože problémy v magnetostatice zahrnují řešení Laplaceovy rovnice nebo Poissonovy rovnice pro magnetický skalární potenciál , je okrajovou podmínkou Neumannova podmínka.

Viz také

• Okrajové podmínky v dynamice tekutin

Reference