Poissonova rovnice - Poisson's equation

Siméon Denis Poisson

Poissonova rovnice je eliptická parciální diferenciální rovnice širokého využití v teoretické fyzice . Například řešením Poissonovy rovnice je potenciální pole způsobené daným rozložením elektrického náboje nebo hustoty hmoty; se známým potenciálním polem lze poté vypočítat elektrostatické nebo gravitační (silové) pole. Jedná se o zobecnění Laplaceovy rovnice , která je také často k vidění ve fyzice. Rovnice je pojmenována podle francouzského matematika a fyzika Siméona Denise Poissona .

Prohlášení o rovnici

Poissonova rovnice je

{\ Displaystyle \ Delta \ varphi = f}

kde je Laplaceův operátor , a a jsou reálná nebo komplexní cenil funkce na potrubí . Obvykle se dává a hledá. Když je sběrným potrubím euklidovský prostor , Laplaceův operátor je často označován jako ∇ ^2, takže Poissonova rovnice je často psána jako ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$

{\ Displaystyle \ nabla ^{2} \ varphi = f.}

V trojrozměrných karteziánských souřadnicích má formu

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ částečná ^{2}} {\ částečná x ^{2}}}+{\ frac {\ částečná ^{2}} {\ částečná y ^{2}}}+ {\ frac {\ částečný ^{2}} {\ částečný z ^{2}}} \ vpravo) \ varphi (x, y, z) = f (x, y, z).}

Když identicky získáme Laplaceovu rovnici . ${\ displaystyle f = 0}$

Poissonovu rovnici lze vyřešit pomocí Greenovy funkce :

{\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}) = -\ iiint {\ frac {f (\ mathbf {r} ')} {4 \ pi | \ mathbf {r} -\ mathbf {r}' |}}} \, \ mathrm {d} ^{3} \! r ',}

kde integrál je po celém prostoru. Obecný výklad Greenovy funkce pro Poissonovu rovnici je uveden v článku o stíněné Poissonově rovnici . Pro numerické řešení existují různé metody, například relaxační metoda , iterační algoritmus.

Newtonova gravitace

V případě gravitačního pole g v důsledku přitahování masivního předmětu hustoty ρ lze použít Gaussův zákon pro gravitaci v diferenciální formě k získání odpovídající Poissonovy rovnice pro gravitaci,

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho ~.}

Jelikož je gravitační pole konzervativní (a irrotační ), lze jej vyjádřit skalárním potenciálem Φ ,

{\ Displaystyle \ mathbf {g} =-\ nabla \ phi ~.}

Nahrazení Gaussovým zákonem

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (-\ nabla \ phi) =-4 \ pi G \ rho}

dává Poissonovu rovnici pro gravitaci,

{\ Displaystyle {\ nabla}^{2} \ phi = 4 \ pi G \ rho.}

Pokud je hmotnostní hustota nulová, Poissonova rovnice se zmenší na Laplaceovu rovnici. Odpovídající funkce Green může být použita pro výpočet potenciálu na vzdálenosti $r$ od masového centrálního bodu $m$ (tj základní roztok ). Ve třech dimenzích je potenciál

{\ displaystyle \ phi (r) = {\ dfrac {-Gm} {r}}.}

což je ekvivalentní Newtonovu zákonu univerzální gravitace .

Elektrostatika

Jedním ze základních kamenů elektrostatiky je nastavení a řešení problémů popsaných Poissonovou rovnicí. Řešení Poissonovy rovnice se rovná nalezení elektrického potenciálu $φ$ pro dané rozložení náboje . ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$

Matematické detaily za Poissonovou rovnicí v elektrostatice jsou následující ( jednotky SI se používají spíše než gaussovské jednotky , které se také často používají v elektromagnetismu ).

Počínaje Gaussovým zákonem pro elektřinu (také jednou z Maxwellových rovnic ) v diferenciální formě máme

{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}

kde je divergenční operátor , D = pole elektrického výtlaku a ρ _f = objemová hustota volného náboje (popisující náboje přiváděné zvenčí). ${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot}$

Za předpokladu, že médium je lineární, izotropní a homogenní (viz hustota polarizace ), máme konstitutivní rovnici ,

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}

kde $ε$ = permitivita média a E = elektrické pole .

Dosazením tohoto do Gaussova zákona a za předpokladu, že $ε$ je v oblasti úrokových výnosů prostorově konstantní

{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} ~.}

kde je celková hustota objemového náboje. V elektrostatice předpokládáme, že neexistuje žádné magnetické pole (následující argument platí také za přítomnosti konstantního magnetického pole). Pak to máme ${\ Displaystyle \ rho}$

{\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0,}

kde ∇ × je operátor zvlnění . Tato rovnice znamená, že elektrické pole můžeme zapsat jako gradient skalární funkce $φ$ (nazývaný elektrický potenciál), protože zvlnění jakéhokoli gradientu je nulové. Můžeme tedy psát,

{\ Displaystyle \ mathbf {E} =-\ nabla \ varphi,}

kde je zavedeno znaménko minus, takže $φ$ je identifikována jako potenciální energie na jednotku náboje.

Odvození Poissonovy rovnice za těchto okolností je jednoduché. Nahrazením potenciálního gradientu pro elektrické pole,

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ nabla \ cdot (-\ nabla \ varphi) =-{\ nabla}^{2} \ varphi = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}}, }

přímo vytváří Poissonovu rovnici pro elektrostatiku, což je

{\ Displaystyle {\ nabla}^{2} \ varphi =-{\ frac {\ rho} {\ varepsilon}}.}

Řešení Poissonovy rovnice potenciálu vyžaduje znalost distribuce hustoty náboje. Pokud je hustota náboje nulová, pak vznikne Laplaceova rovnice . Pokud hustota náboje odpovídá Boltzmannově distribuci , vznikne Poisson-Boltzmannova rovnice . Poissonova -Boltzmannova rovnice hraje roli ve vývoji Debye -Hückelovy teorie roztoků zředěného elektrolytu .

Pomocí Greenovy funkce je potenciál ve vzdálenosti $r$ od centrálního bodového náboje $Q$ (tj .: Základní řešení):

{\ Displaystyle \ varphi (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon r}}.}

což je Coulombův zákon elektrostatiky . (Z historických důvodů a na rozdíl od gravitačního modelu výše se tento faktor objevuje zde a ne v Gaussově zákoně.) ${\ Displaystyle 4 \ pi}$

Výše uvedená diskuse předpokládá, že se magnetické pole v čase nemění. Stejná Poissonova rovnice vzniká, i když se mění v čase, pokud je použit Coulombův rozchod . V tomto obecnějším kontextu již výpočet $φ$ nestačí k výpočtu E , protože E také závisí na potenciálu magnetického vektoru A , který musí být vypočítán nezávisle. Další informace o $φ$ a A v Maxwellových rovnicích a o tom, jak se v tomto případě získá Poissonova rovnice, najdete v Maxwellově rovnici v potenciální formulaci .

Potenciál Gaussovy hustoty náboje

Pokud existuje statická sféricky symetrická Gaussova hustota náboje

{\ Displaystyle \ rho _ {f} (r) = {\ frac {Q} {\ sigma^{3} {\ sqrt {2 \ pi}}^{3}}} \, e^{-r^{ 2}/(2 \ sigma ^{2})},}

kde $Q$ je celkový náboj, pak řešení $φ (r)$ Poissonovy rovnice,

{\ Displaystyle {\ nabla}^{2} \ varphi =-{\ rho _ {f} \ over \ varepsilon}}

,

je dána

{\ Displaystyle \ varphi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Q} {r}} \, \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {r} { {\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)}

kde $erf (x)$ je chybová funkce .

Toto řešení lze explicitně zkontrolovat vyhodnocením $\nabla 2 φ$ .

Všimněte si, že pro $r$ mnohem větší než $σ$ se funkce erf blíží jednotě a potenciál $φ (r) se$ blíží potenciálu bodového náboje

{\ Displaystyle \ varphi \ zhruba {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Q} {r}},}

jak by se dalo očekávat. Kromě toho se chybová funkce extrémně rychle blíží 1, protože její argument roste; v praxi pro $r > 3 σ$ je relativní chyba menší než jedna část z tisíce.

Rekonstrukce povrchu

Rekonstrukce povrchu je inverzní problém . Cílem je digitálně zrekonstruovat hladký povrch na základě velkého počtu bodů p _i ( mračno bodů ), kde každý bod také nese odhad lokální povrchové normály n _i . Poissonovu rovnici lze použít k vyřešení tohoto problému technikou zvanou Poissonova rekonstrukce povrchu.

Cílem této techniky je rekonstruovat implicitní funkci f, jejíž hodnota je v bodech p _i nulová a jejíž gradient v bodech p _{i se} rovná normálním vektorům n _i . Sada ( p _i , n _i ) je tedy modelován jako kontinuální vektorové pole V . Implicitní funkce f je nalezen integrací vektorové pole V . Vzhledem k tomu, ne každý vektorové pole je přechod z funkce, je problém může nebo nemusí mít řešení: nutnou a postačující podmínkou pro hladký vektorového pole V být gradient funkčního f je to, že zvlnění na V, musí být shodně nula. V případě, že je obtížné tuto podmínku uložit, je stále možné provést přizpůsobení nejmenších čtverců, aby se minimalizoval rozdíl mezi V a gradientem f .

Aby bylo možné účinně uplatnit Poissonovy rovnice na problém rekonstrukce povrchu, je nutné najít dobré diskretizaci vektorového pole V . Základním přístupem je svázat data mřížkou konečných rozdílů. Pro funkci oceňovanou na uzlech takové mřížky lze její gradient znázornit jako oceňovanou na rozložených mřížkách, tj. Na mřížkách, jejichž uzly leží mezi uzly původní mřížky. Je vhodné definovat tři odstupňované mřížky, z nichž každá je posunuta v jednom a pouze jednom směru odpovídajícím složkám normálních dat. Na každé střídavé mřížce provádíme [trilineární interpolaci] na sadě bodů. Interpolace váhy jsou pak použity k distribuci velikosti přidružené složky n _i na uzlech konkrétního střídavém buňky mřížky, které obsahují na P _i . Kazhdan a spoluautoři poskytují přesnější metodu diskretizace pomocí adaptivní mřížky konečných rozdílů, tj. Buňky mřížky jsou menší (mřížka je jemněji rozdělena), kde je více datových bodů. Navrhují implementovat tuto techniku s adaptivní oktarou .

Dynamika tekutin

Pro nestlačitelné Navier – Stokesovy rovnice dané:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}}+{\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} & =-{ 1 \ over {\ rho}} \ nabla p+\ nu \ Delta {\ bf {v}}+{\ bf {g}} \\\ nabla \ cdot {\ bf {v}} & = 0 \ end {zarovnáno }}}

Rovnice pro tlakové pole je příkladem nelineární Poissonovy rovnice: ${\ displaystyle p}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta p & =-\ rho \ nabla \ cdot ({\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}) \\ & =-\ rho \, \ mathrm {Tr} {\ big (} (\ nabla {\ bf {v}}) (\ nabla {\ bf {v}}) {\ big)}. \ end {aligned}}}

Všimněte si, že výše uvedená stopa není jednoznačná.

Viz také

Reference

Další čtení

Evans, Lawrence C. (1998). Dílčí diferenciální rovnice . Providence (RI): American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Matematické metody fyziky (2. vyd.). New York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
Polyanin, Andrei D. (2002). Příručka lineárních dílčích diferenciálních rovnic pro inženýry a vědce . Boca Raton (FL): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

externí odkazy

„Poissonova rovnice“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
Poissonova rovnice v EqWorld: Svět matematických rovnic
Poissonova rovnice na PlanetMath .

Languages

In other projects