Non-Archimédova geometrie - Non-Archimedean geometry
V matematice je non-Archimédova geometrie libovolnou z mnoha forem geometrie, ve které je axiom Archimeda negován. Příkladem takové geometrie je Dehnova rovina . Nearchimeanské geometrie mohou, jak ukazuje příklad, mít vlastnosti výrazně odlišné od euklidovské geometrie .
Existují dva smysly, ve kterých lze termín použít, odkazující na geometrie nad poli, která porušují jeden ze dvou smyslů vlastnosti Archimédova (tj. S ohledem na řád nebo velikost).
Geometrie nad nearchimeanským uspořádaným polem
Prvním smyslem tohoto pojmu je geometrie nad nearchimédským uspořádaným polem nebo jeho podmnožinou. Výše uvedená Dehnova rovina přebírá vlastní produkt konečné části určitého nearchimeanského uspořádaného pole na základě pole racionálních funkcí . V této geometrii existují významné rozdíly od euklidovské geometrie; zejména existuje nekonečně mnoho rovnoběžek s přímkou procházející bodem - takže paralelní postulát selže - ale součet úhlů trojúhelníku je stále přímým úhlem.
Intuitivně v takovém prostoru nelze body na přímce popsat reálnými čísly nebo jejich podmnožinou a existují segmenty „nekonečné“ nebo „nekonečně malé“ délky.
Geometrie nad nearchimédským hodnotným polem
Druhým smyslem tohoto pojmu je metrická geometrie nad ne-Archimédovým hodnotným polem nebo ultrametrickým prostorem . V takovém prostoru vznikají ještě další rozpory s euklidovskou geometrií. Například všechny trojúhelníky jsou rovnoramenné a překrývající se koule se hnízdí. Příkladem takového prostoru jsou čísla p-adic .
Intuitivně se v takovém prostoru nedají vzdálenosti „sčítat“ nebo „hromadit“.
Reference
- ^ Robin Hartshorne , Geometry: Euclid and beyond (2000), str. 158.
- ^ Hilbert, David (1902), Základy geometrie (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
- ^ Conrad, B. "Několik přístupů k nearchimédské geometrii. V p-adické geometrii (přednášky ze zimní školy v Arizoně 2007). AMS University Lecture Series." Amer. Matematika. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.