Míč (matematika) - Ball (mathematics)

V matematice je míč objemový prostor ohraničený koulí ; říká se mu také pevná koule . Může to být uzavřený míč (včetně hraničních bodů, které tvoří kouli) nebo otevřený míč (kromě nich).

Tyto koncepty jsou definovány nejen v trojrozměrném euklidovském prostoru, ale také pro nižší a vyšší dimenze a pro metrické prostory obecně. Koule nebo hyperball v n rozměrech se nazývá n -Ball a je ohraničen ( n - 1 ) -sphere . Například koule v euklidovské rovině je totéž jako disk , oblast ohraničená kruhem . V euklidovském 3-prostoru je míček považován za objem ohraničený 2-dimenzionální koulí . V jednorozměrném prostoru je koule čárový segment .

V jiných kontextech, jako například v euklidovské geometrii a neformálním použití, se někdy koule používá k označení míče .

V euklidovském prostoru

V euklidovském n -prostoru je (otevřená) n -koule o poloměru r a středu x množina všech bodů vzdálenosti menší než r od x . Uzavřená n -koule o poloměru r je množina všech bodů vzdálenosti menší nebo rovných r od x .

V euklidovském prostoru n je každý míč ohraničen hypersférou . Míč je ohraničený interval, když n = 1 , je disk ohraničený kružnicí, když n = 2 , a je ohraničen koulí, když n = 3 .

Objem

N -dimenzionální objem euklidovské míčem o poloměru R v n rozměrné euklidovském prostoru:

${\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^{\ frac {n} {2}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}}+1 \ right) }} R^{n},}$

kde  Γ je Leonhard Euler ‚s funkcí gama (který může být myšlenka jako rozšíření factorial funkce frakční argumenty). Použití explicitních vzorců pro konkrétní hodnoty gama funkce v celých číslech a polovičních celých číslech dává vzorce pro objem euklidovské koule, které nevyžadují vyhodnocení gama funkce. Tyto jsou:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} V_ {2k} (R) & = {\ frac {\ pi ^{k}} {k!}} R ^{2k} \ ,, \\ [2pt] V_ {2k +1} (R) & = {\ frac {2^{k+1} \ pi^{k}} {(2k+1) !!}} R^{2k+1} = {\ frac {2 ( k!) (4 \ pi)^{k}} {(2k+1)!}} R^{2k+1} \,. \ end {zarovnáno}}}$

Ve vzorci pro liché dimenzionální objemy platí dvojnásobný faktoriál (2 k + 1) !! je definován pro lichá celá čísla 2 k + 1 jako (2 k + 1) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k - 1) ⋅ (2 k + 1) .

Obecně metrické prostory

Nechť ( M , d ) je metrický prostor , konkrétně množina M s metrikou (funkce vzdálenosti) d . Otevřená (metrická) koule o poloměru r > 0 se středem v bodě p v M , obvykle označeném B _r ( p ) nebo B ( p ; r ) , je definována vztahem

${\ Displaystyle B_ {r} (p) = \ {x \ in M ​​\ mid d (x, p) <r \},}$

Uzavřená (metrická) koule, která může být označena B _r [ p ] nebo B [ p ; r ] , je definován pomocí

${\ Displaystyle B_ {r} [p] = \ {x \ in M ​​\ mid d (x, p) \ leq r \}.}$

Zejména si všimněte, že koule (otevřená nebo uzavřená) vždy obsahuje samotné p , protože definice vyžaduje r > 0 .

Uzavření otevřeného kulového B _r ( p ) je obvykle označován B _r ( p ) . I když vždy platí, že B _r ( p ) ⊆ B _r ( p ) ⊆ B _r [ p ] , ne vždy platí, že B _r ( p ) = B _r [ p ] . Například v metrického prostoru X s diskrétní metrika , musí B ₁ ( p ) = {p} a B ₁ [ p ] = X , pro jakýkoli p ∈ X .

Jednotka koule (otevřené nebo uzavřené) je koule o poloměru 1.

Podmnožina metrického prostoru je ohraničená, pokud je obsažena v nějaké kouli. Sada je zcela ohraničená, pokud je vzhledem k pozitivnímu poloměru pokryta konečným počtem koulí tohoto poloměru.

Otevřené koule metrického prostoru mohou sloužit jako základna , což dává tomuto prostoru topologii , jejíž otevřené sady jsou všechny možné svazky otevřených koulí. Tato topologie v metrickém prostoru se nazývá topologie vyvolaná metrikou d .

V normovaných vektorových prostorech

Jakýkoli normovaný vektorový prostor V s normou je také metrický prostor s metrikou. V takových prostorech lze libovolnou kouli bodů kolem bodu se vzdáleností menší než považovat za zmenšenou (o ) a přeloženou (o ) kopii jednotková koule Takové „středové“ koule s jsou označeny${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |.}$${\ displaystyle B_ {r} (y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle B_ {1} (0).}$${\ displaystyle y = 0}$${\ Displaystyle B (r).}$

Euklidovské koule diskutované dříve jsou příkladem koulí v normovaném vektorovém prostoru.

p -norm

V karteziánském prostoru ℝ ⁿ s p -norm L _p , tj

${\ Displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} |^{p}+| x_ {2} |^{p}+\ dotsb+| x_ {n} |^{p} \ vpravo)^{1/p},}$

otevřená koule kolem počátku s poloměrem je dána množinou ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle B (r) = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^{n} \,: \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^{p}+| x_ {2} |^{p}+\ dotsb+| x_ {n} |^{p} \ right)^{1/p} <r \ right \}.}$

Pro n = 2 jsou v 2 -dimenzionální rovině „koule“ podle L ₁ -normu (často nazývané taxík nebo metrika Manhattanu ) ohraničeny čtverci s jejich úhlopříčkami rovnoběžnými se souřadnicovými osami; ty podle L _∞ -normu, nazývané také Chebyshevova metrika, mají jako hranice čtverce se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami. L ₂ -norm, známý jako euklidovský metriky, generuje dobře známé kotouče v kruzích, a pro jiné hodnoty p , odpovídající kuličky jsou oblasti ohraničené lame křivkami (hypoellipses nebo hyperellipses). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

Pro N = 3 je L ₁ - koule jsou v octahedra s osami zarovnán těla diagonál se L _°° -balls jsou v kostky s osami zarovnán hrany , a hranice kuliček pro L _p s p > 2 jsou superellipsoids . Je zřejmé, že p = 2 generuje vnitřek obvyklých sfér.

Obecná konvexní norma

Obecněji řečeno, vzhledem k jakékoli středově symetrická , ohraničený , otevřený , a konvexní podmnožina X o ℝ ⁿ , lze definovat normu na ℝ ⁿ , kde jsou kuličky všechny přeloženy a rovnoměrně zmenšen kopie  X . Všimněte si, že tato věta neplatí, pokud je podmnožina „otevřená“ nahrazena podmnožinou „uzavřená“, protože počáteční bod kvalifikuje, ale nedefinuje normu na  ℝ ⁿ .

V topologických prostorech

Lze hovořit o koulích v jakémkoli topologickém prostoru X , který nemusí být nutně vyvolán metrikou. An (otevřené nebo uzavřené) n rozměrný topologické koule z X je jakákoli podmnožina z X, což je homeomorphic na (otevřené nebo zavřené) Euclidean n -Ball. Topologické n -koule jsou v kombinatorické topologii důležité jako stavební kameny buněčných komplexů .

Jakákoli otevřená topologická n -koule je homeomorfní s karteziánským prostorem ℝ ⁿ a s otevřenou jednotkou n -kostka ( hyper kostka ) (0, 1) ⁿ ⊆ ℝ ⁿ . Jakákoli uzavřená topologická n -koule je homeomorfní s uzavřenou n -kostkou [0, 1] ⁿ .

N -Ball je homeomorphic k m -Ball tehdy, když n = m . Tyto homeomorfismy mezi otevřenou n -Ball B a ℝ ⁿ mohou být rozděleny do dvou tříd, které mohou být identifikovány pomocí dvou možných topologických orientací z  B .

Topologická n -koule nemusí být hladká ; pokud je hladká, nemusí být diffeomorphic do euklidovské n -Ball.

Regiony

Pro míč lze definovat několik speciálních oblastí :

• víčko , ohraničené jednou rovinou
• sektor ohraničený kónickou hranicí s vrcholem ve středu koule
• segment , ohraničený dvojicí rovnoběžných rovin
• skořepina , ohraničená dvěma soustřednými koulemi různých poloměrů
• klín , ohraničený dvěma rovinami procházejícími středem koule a povrchem koule

Viz také

Reference

• Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). „Jak malá je jednotková koule?“. Matematický časopis . 62 (2): 101–107. doi : 10,1080/0025570x.1989.11977419 . JSTOR  2690391 .
• Dowker, JS (1996). „Robinovy ​​podmínky na euklidovském míči“. Klasická a kvantová gravitace . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode : 1996CQGra..13..585D . doi : 10,1088/0264-9381/13/4/003 .
• Gruber, Peter M. (1982). „Izometrie prostoru konvexních těles obsažených v euklidovské kouli“ . Israel Journal of Mathematics . 42 (4): 277–283. doi : 10,1007/BF02761407 .