Strukturalismus (filozofie matematiky) - Structuralism (philosophy of mathematics)

Nesmí být zaměňována s strukturalismu (filozofie vědy) .

Strukturalismus je teorie ve filozofii matematiky, která tvrdí, že matematické teorie popisují struktury matematických objektů . Matematické objekty jsou taxativně definovány jejich umístěním v takových strukturách. V důsledku toho strukturalismus tvrdí, že matematické objekty nemají žádné vnitřní vlastnosti, ale jsou definovány jejich vnějšími vztahy v systému. Například strukturalismus tvrdí, že číslo 1 je taxativně definováno jako nástupce 0 ve struktuře teorie přirozených čísel . Zobecněním tohoto příkladu je jakékoli přirozené číslo definováno jeho příslušným místem v této struktuře číselné řady . Další příklady matematických objektů mohou zahrnovat čáry a roviny v geometrii nebo prvky a operace v abstraktní algebře .

Strukturalismus je epistemologicky realistický pohled v tom smyslu, že matematické výroky mají objektivní hodnotu pravdy . Její ústřední tvrzení se však týká pouze toho, jaký druh entity je matematický objekt, nikoli toho, jaký druh existence mají matematické objekty nebo struktury (nikoli jinými slovy, jejich ontologie ). Druh existence, který mají matematické objekty, by jasně závisel na struktuře, do které jsou vloženy; různé poddruhy strukturalismu v tomto ohledu činí různá ontologická tvrzení.

Strukturalismus ve filozofii matematiky je zvláště spojován s Paulem Benacerrafem , Geoffreyem Hellmanem , Michaelem Resnikem , Stewartem Shapirem a Jamesem Franklinem .

Historická motivace

Historická motivace pro rozvoj strukturalismu pochází ze základního problému ontologie . Od středověku se filozofové hádali, zda ontologie matematiky obsahuje abstraktní objekty . Ve filozofii matematiky je abstraktní objekt tradičně definován jako entita, která: (1) existuje nezávisle na mysli; (2) existuje nezávisle na empirickém světě; a (3) má věčné, neměnné vlastnosti. Tradiční matematický platonismus tvrdí, že některá sada matematických prvků - přirozená čísla , reálná čísla , funkce , vztahy , systémy - jsou takové abstraktní objekty. Matematický nominalismus naopak popírá existenci takových abstraktních objektů v ontologii matematiky.

Na konci 19. a na počátku 20. století získala na popularitě řada antiplatonistických programů. Jednalo se o intuicionismus , formalismus a predikativismus . V polovině 20. století však měly tyto antiplatonistické teorie řadu vlastních problémů. To následně vedlo k obnovení zájmu o platonismus. Právě v tomto historickém kontextu se vyvinula motivace ke strukturalismu. V roce 1965 publikoval Paul Benacerraf článek o změně paradigmatu s názvem „Jaká čísla nemohla být“. Benacerraf na základě dvou hlavních argumentů dospěl k závěru, že množinově teoretický platonismus nemůže uspět jako filozofická teorie matematiky.

Benacerraf nejprve tvrdil, že platonické přístupy neprocházejí ontologickým testem. Vyvinul argument proti ontologii množinově teoretického platonismu, který je nyní historicky označován jako Benacerrafův identifikační problém . Benacerraf poznamenal, že existují elementárně ekvivalentní , teoreticko-teoretické způsoby, jak spojit přirozená čísla s čistými množinami . Pokud však někdo požádá o „pravdivé“ příkazy identity pro přiřazení přirozených čísel k čistým množinám, pak různé metody teoretické množiny přinášejí protichůdné příkazy identity, když tyto elementárně ekvivalentní množiny spolu souvisejí. To generuje množinově-teoretickou lži. V důsledku toho Benacerraf vyvodil, že tato množinová teoretická lež ukazuje, že je nemožné, aby existovala platonická metoda redukce čísel na množiny, která odhaluje jakékoli abstraktní objekty.

Zadruhé Benacerraf tvrdil, že platonické přístupy neprocházejí epistemologickým testem. Benacerraf tvrdil, že neexistuje empirická nebo racionální metoda pro přístup k abstraktním objektům. Pokud matematické objekty nejsou prostorové ani časové, potom Benacerraf vyvozuje, že tyto objekty nejsou přístupné kauzální teorií znalostí . Platonistovi tak vyvstává základní epistemologický problém, který nabízí věrohodný popis toho, jak je matematik s omezenou empirickou myslí schopen přesně přistupovat k věčně pravdám nezávislým na mysli, nezávislým na světě. Právě z těchto úvah, ontologického argumentu a epistemologického argumentu, motivovaly Benacerrafovy anti-platonické kritiky vývoj strukturalismu ve filozofii matematiky.

Odrůdy

Stewart Shapiro rozděluje strukturalismus na tři hlavní myšlenkové směry. Tyto školy se označují jako ante rem , in re a post rem .

Ante rem strukturalismus ( "Před věc"), nebo abstraktní strukturalismus nebo abstrakcionismu (zvláště spojené s Michaelem Resnik , Stewart Shapiro , Edward N. Zalta a Øysteina Linnebo ) má podobný ontologii k Platonism (viz také modální Neo-logicism ) . Struktury jsou drženy tak, aby měly skutečnou, ale abstraktní a nehmotnou existenci. Jako takový čelí standardnímu epistemologickému problému, jak poznamenal Benacerraf, vysvětlit interakci mezi takovými abstraktními strukturami a matematiky z masa a kostí.

V re strukturalismus ( „ve věci“), nebo jiný druh strukturalismem (zejména v souvislosti s Geoffrey Hellman ), je ekvivalentem Aristotelské realismu (realistické v pravdivostní hodnotu, ale anti-realismus o abstraktní objekty v ontologie). Struktury se považují za existující, jelikož je jejich příkladem nějaký konkrétní systém. K tomu dochází k obvyklým problémům, které by mohly způsobit, že by některé dokonale legitimní struktury náhodou neexistovaly, a že konečný fyzický svět nemusí být dostatečně „velký“, aby vyhovoval některým jinak legitimním strukturám. Aristotelovský realismus Jamese Franklina je také in strukturalismem, který tvrdí, že strukturální vlastnosti, jako je symetrie, jsou koncipovány ve fyzickém světě a jsou vnímatelné. V reakci na problém nezasvěcených struktur, které jsou příliš velké na to, aby se vešly do fyzického světa, odpovídá Franklin, že s nezasvěcenými univerzáliemi se mohou vyrovnat i jiné vědy; například věda o barvě se dokáže vypořádat s odstínem modré barvy, ke kterému nedochází u žádného skutečného objektu.

Po rem strukturalismus ( „po věc“), nebo eliminační strukturalismem (zejména v souvislosti s Paulem Benacerraf ), je anti-realista o strukturách tak, aby paralely nominalismus . Podobně jako nominalismus přístup post rem popírá existenci abstraktních matematických objektů s jinými vlastnostmi, než je jejich místo v relační struktuře. Podle tohoto pohledu existují matematické systémy , které mají společné strukturální rysy. Pokud něco platí o struktuře, bude to platit o všech systémech, které strukturu ilustrují. Je však pouze instrumentální hovořit o strukturách, které jsou „drženy společně“ mezi systémy: ve skutečnosti nemají žádnou samostatnou existenci.

Viz také

Předchůdci

Reference

Bibliografie

externí odkazy