Metoda korekce tlaku - Pressure-correction method

Metoda korekce tlaku je třída metod používaných ve výpočetní dynamice tekutin pro numerické řešení Navier-Stokesových rovnic normálně pro nestlačitelné proudění .

Společné vlastnosti

Rovnice řešené v tomto přístupu vyplývají z implicitní časové integrace nestlačitelných Navier-Stokesových rovnic .

{\ displaystyle \ overbrace {\ rho {\ Big (} \ underbrace {\ frac {\ částečné \ mathbf {v}} {\ částečné t}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {nestálý}} \\ { \ text {acceleration}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ left (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {v}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {konvektivní} } \\ {\ text {acceleration}} \ end {smallmatrix}} {\ Big)}} ^ {\ text {Setrvačnost}} = \ underbrace {- \ nabla p} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text { Tlak}} \\ {\ text {gradient}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {v}} _ {\ text {Viscosity}} + \ underbrace {\ mathbf {f}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Other}} \\ {\ text {force}} \ end {smallmatrix}}}

Kvůli nelinearitě konvektivního členu v rovnici hybnosti, která je napsána výše, je tento problém vyřešen přístupem vnořené smyčky. Zatímco takzvané globální nebo vnitřní iterace představují kroky v reálném čase a používají se k aktualizaci proměnných a na základě linearizovaného systému a okrajových podmínek; je zde také vnější smyčka pro aktualizaci koeficientů linearizovaného systému. Vnější iterace zahrnují dva kroky: ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle p}$

Vyřešte rovnici hybnosti pro prozatímní rychlost na základě rychlosti a tlaku předchozí vnější smyčky.
Připojte novou nově získanou rychlost do rovnice kontinuity, abyste získali opravu.

Korekce rychlosti, která se získá z druhé rovnice, kterou má člověk s nestlačitelným tokem, nedivergenční kritérium nebo rovnice kontinuity

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0}

se vypočítá tak, že se nejprve vypočítá zbytková hodnota , která je výsledkem rušivého hmotnostního toku , a poté se pomocí této hromadné nerovnováhy získá nová hodnota tlaku. Hodnota tlaku, která se pokouší vypočítat, je taková, že při zapojení do rovnic hybnosti vznikne rychlostní pole bez divergence. Hromadná nerovnováha se často používá také pro řízení vnější smyčky. Název této třídy metod vychází ze skutečnosti, že korekce rychlostního pole se počítá tlakovým polem. ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$

Diskretizace se obvykle provádí metodou konečných prvků nebo metodou konečných objemů . S posledně uvedeným se také můžeme setkat s duální sítí, tj. S výpočtovou mřížkou získanou spojením středů buněk, které počáteční rozdělení na konečné prvky výpočetní domény přineslo.

Implicitní postupy split-update

Další přístup, který se obvykle používá v MKP, je následující.

Cílem korekčního kroku je zajistit zachování hmotnosti . V kontinuální formě pro hmotu stlačitelných látek je zachování hmotnosti vyjádřeno pomocí

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ rho (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ right) = {\ frac {{\ frac {d} {dt}} p (\ mathbf {x})} {c ^ {2}}}}

kde je čtverec „rychlosti zvuku“. U nízkých Machových čísel a nestlačitelných médií se předpokládá, že jsou nekonečné, což je důvod, proč se výše uvedená rovnice kontinuity redukuje na ${\ displaystyle c ^ {2}}$ ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} & = 0 \ end {zarovnáno}}}

Způsob, jak získat rychlostní pole splňující výše uvedené, je spočítat tlak, který po dosazení do rovnice hybnosti vede k požadované korekci předběžně vypočítané mezilehlé rychlosti.

Aplikace operátoru divergence na výnosy rovnice stlačitelné hybnosti

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ nabla \ cdot \ částečné _ {t} \ mathbf {v} & = - \ nabla \ cdot (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla \ cdot \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} - \ nabla ^ {2} p \\\ částečné _ {t} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} & = - \ nabla \ cdot (\ mathbf {v } \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla ^ {2} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} - \ nabla ^ {2} p \\ 0 & = - \ nabla \ cdot (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} - \ nabla ^ {2} p \\\ nabla ^ {2} p & = - \ nabla \ cdot (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} & (\ ast) \ end {zarovnáno}}}

${\ displaystyle (\ ast)}$ pak poskytuje řídící rovnici pro výpočet tlaku.

Myšlenka korekce tlaku existuje také v případě proměnné hustoty a vysokých Machových čísel, i když v tomto případě existuje skutečný fyzický význam za vazbou dynamického tlaku a rychlosti vyplývající z rovnice kontinuity

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ částečný _ {t} \ rho & = \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v}) \\\ částečný _ {t} \ rho & = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ částečné _ {t} p \ end {zarovnáno}}}

${\ displaystyle p}$ je se stlačitelností, stále další proměnnou, kterou lze eliminovat algebraickými operacemi, ale její variabilita není čistou umělostí jako v případě stlačitelnosti a metody jejího výpočtu se výrazně liší od metod s ${\ displaystyle \ rho = {\ text {stálý}}.}$

Reference

M. Thomadakis, M. Leschziner: METODA KOREKCE TLAKU PRO ŘEŠENÍ NEPOUŽITELNÝCH VISKOVÝCH TOKŮ NA STRUKTUROVANÝCH Mřížkách, Int. Journal for Numerical Meth. in Fluids, sv. 22, 1996
A. Meister, J. Struckmeier: Hyperbolic Parciální diferenciální rovnice, 1. vydání, Vieweg, 2002

Languages

In other projects

Metoda korekce tlaku - Pressure-correction method

Obsah

Společné vlastnosti

Implicitní postupy split-update

Reference

externí odkazy