Prosthaphaeresis - Prosthaphaeresis

Prosthaphaeresis (z řeckého προσθαφαίρεσις ) byl algoritmus používaný na konci 16. století a na počátku 17. století pro přibližné násobení a dělení pomocí vzorců z trigonometrie . Za 25 let předcházejících vynálezu logaritmu v roce 1614 to byl jediný známý obecně použitelný způsob rychlé aproximace produktů. Jeho název pochází z řecké protézy (πρόσθεσις) a aferézy (ἀφαίρεσις), což znamená sčítání a odčítání, dva kroky v procesu.

Historie a motivace

Sférický trojúhelník

V Evropě 16. století se nebeská navigace lodí na dlouhých cestách do značné míry spoléhala na efemeridy, aby určila jejich polohu a směr. Tyto objemné mapy připravené astronomy podrobně popisovaly polohu hvězd a planet v různých časových bodech. Modely použité k jejich výpočtu byly založeny na sférické trigonometrii , která spojuje úhly a délky oblouků sférických trojúhelníků (viz diagram vpravo) pomocí vzorců, jako je

${\ displaystyle \ cos a = \ cos b \ cos c + \ sin b \ sin c \ cos \ alfa}$

a

${\ displaystyle \ sin b \ sin \ alpha = \ sin a \ sin \ beta,}$

kde a , b a c jsou úhly zúžené ve středu koule odpovídajícími oblouky.

Když je jedna veličina v takovém vzorci neznámá, ale ostatní jsou známé, lze neznámou veličinu vypočítat pomocí řady násobení, dělení a vyhledávání trigonometrických tabulek. Astronomové museli provést tisíce takových výpočtů, a protože nejlepší dostupnou metodou množení bylo dlouhé množení , většinu času strávili zdaněním vynásobením produktů.

Matematici, zejména ti, kteří byli také astronomy, hledali jednodušší způsob a trigonometrie byla pro tyto lidi jedním z nejpokročilejších a nejznámějších oborů. Prosthaphaeresis se objevila v 80. letech 15. století, ale její původce není jistý; jeho přispěvateli byli matematici Ibn Yunis , Johannes Werner , Paul Wittich , Joost Bürgi , Christopher Clavius a François Viète . Wittich, Yunis a Clavius ​​byli všichni astronomové a objevy této metody jim byly připsány z různých zdrojů. Jeho nejznámějším zastáncem byl Tycho Brahe , který jej rozsáhle používal pro astronomické výpočty, jako jsou ty popsané výše. Používal jej také John Napier , kterému se připisuje vymýšlení logaritmů, které by jej nahradily.

Nicholas Copernicus ve své práci z roku 1543 De Revolutionibus Orbium Coelestium několikrát zmiňuje „prosthaphaeresis“ , což znamená „velkou paralaxu“ způsobenou přemístěním pozorovatele v důsledku každoročního pohybu Země.

Totožnosti

Tyto goniometrické identity zneužívány prosthaphaeresis týkají produktů trigonometrických funkcí částek. Zahrnují následující:

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin a \ sin b & = {\ frac {\ cos (ab) - \ cos (a + b)} {2}} \\ [6pt] \ cos a \ cos b & = {\ frac {\ cos (ab) + \ cos (a + b)} {2}} \\ [6pt] \ sin a \ cos b & = {\ frac {\ sin (a + b) + \ sin (ab )} {2}} \\ [6pt] \ cos a \ sin b & = {\ frac {\ sin (a + b) - \ sin (ab)} {2}} \ end {zarovnáno}}}$

Předpokládá se, že první dva z nich odvodil Jost Bürgi , který je spojil s [Tycho?] Brahe; ostatní z těchto dvou snadno vyplývají. Pokud jsou obě strany vynásobeny 2, tyto vzorce se také nazývají Wernerovy vzorce .

Algoritmus

Použitím druhého vzorce výše funguje technika pro násobení dvou čísel následovně:

1. Zmenšit : Posunutím desetinné čárky doleva nebo doprava změníte obě čísla na hodnoty mezi a , na které se bude odkazovat jako a .${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ cos \ alpha}$${\ displaystyle \ cos \ beta}$
2. Inverzní kosinus : Pomocí inverzní kosinové tabulky najděte dva úhly a jejichž kosiny jsou naše dvě hodnoty.${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$
3. Součet a rozdíl : Najděte součet a rozdíl dvou úhlů.
4. Průměrné kosiny : Najděte kosiny součtových a rozdílových úhlů pomocí kosinové tabulky a zprůměrujte je, čímž získáte (podle druhého vzorce výše) součin .${\ displaystyle \ cos \ alfa \ cos \ beta}$
5. Zvětšit : Posunutí desetinného místa v odpovědi kombinovaný počet míst, která jsme posunuli desetinnou v prvním kroku pro každý vstup, ale v opačném směru.

Řekněme například, že chceme znásobit a . Postupujte podle pokynů: ${\ displaystyle 105}$${\ displaystyle 720}$

1. Zmenšit : Posuňte desetinnou čárku na každém místě o tři místa doleva. Dostaneme a .${\ displaystyle \ cos \ alpha = 0,105}$${\ displaystyle \ cos \ beta = 0,720}$
2. Inverzní kosinus : je asi 0,105 a je asi .${\ displaystyle \ cos 84 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ cos 44 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 0,720}$
3. Součet a rozdíl : a .${\ displaystyle 84 + 44 = 128}$${\ displaystyle 84-44 = 40}$
4. Průměr kosinusů : je asi .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (\ cos 128 ^ {\ circ} + \ cos 40 ^ {\ circ})}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (- 0,616 + 0,766) = 0,075}$
5. Zvětšit : Pro každou z a jsme posunuli desetinnou čárku o tři místa doleva, takže v odpovědi posuneme šest míst doprava. Výsledek je . To je velmi blízké skutečnému produktu ( procentuální chyba ≈0,8%).${\ displaystyle 105}$${\ displaystyle 720}$${\ displaystyle 75 \, 000}$${\ displaystyle 75 \, 600}$

Pokud chceme součin kosinusů dvou počátečních hodnot, který je užitečný v některých z výše uvedených astronomických výpočtů, je to překvapivě ještě jednodušší: jsou nutné pouze kroky 3 a 4 výše.

K rozdělení použijeme definici sekans jako převrácené hodnoty kosinu. Rozdělit podle jsme měřítko čísla a . Kosinus je . Poté pomocí tabulky secants zjistěte, která je sekansa . To znamená, že je kosinus , a tak se může znásobit tím, pomocí výše uvedeného postupu. Průměr kosinu součtu úhlů , s kosinem jejich rozdílu , ${\ displaystyle 3500}$${\ displaystyle 70}$${\ displaystyle 0,35}$${\ displaystyle 7.0}$${\ displaystyle 69,5 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 0,35}$${\ displaystyle 7.0}$${\ displaystyle 81.8 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 1 / 7,0}$${\ displaystyle 81.8 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 0,35}$${\ displaystyle 1 / 7,0}$${\ displaystyle 81.8 ^ {\ circ} +69,5 ^ {\ circ} = 151,3 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 81.8 ^ {\ circ} -69,5 ^ {\ circ} = 12,3 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (\ cos 151 ^ {\ circ} + \ cos 12,3 ^ {\ circ}) \ přibližně {\ tfrac {1} {2}} (- 0,877 + 0,977) = 0,050.}$

Navyšování umístit desetinnou čárkou udává přibližnou odpověď . ${\ displaystyle 50}$

Algoritmy používající ostatní vzorce jsou podobné, ale každá používá různé tabulky (sine, inverzní sine, kosinus a inverzní kosinus) na různých místech. První dva jsou nejjednodušší, protože každý z nich vyžaduje pouze dvě tabulky. Použití druhého vzorce má však jedinečnou výhodu, že pokud je k dispozici pouze kosinová tabulka, lze ji použít k odhadu inverzních kosinů hledáním úhlu s nejbližší kosinovou hodnotou.

Všimněte si, jak podobný je výše uvedený algoritmus procesu pro násobení pomocí logaritmů, který se provádí podle těchto kroků: zmenšení, převzetí logaritmů, přidání, převzetí inverzního logaritmu, zvětšení. Není žádným překvapením, že původci logaritmů použili prostafaerézu. Ve skutečnosti jsou oba matematicky úzce spjaty. V moderních termínech lze prostafaerézu považovat za závislou na logaritmu komplexních čísel, zejména na Eulerově vzorci

${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x.}$

Snižování chyby

Pokud jsou všechny operace prováděny s vysokou přesností, může být produkt tak přesný, jak je požadováno. Ačkoli součty, rozdíly a průměry lze snadno vypočítat s vysokou přesností, ani ručně, trigonometrické funkce a zejména inverzní trigonometrické funkce nejsou. Z tohoto důvodu přesnost metody závisí do značné míry na přesnosti a podrobnostech použitých trigonometrických tabulek.

Například sinusový stůl se záznamem pro každý stupeň může být vypnut až o 0,0087, pokud pouze zaokrouhlíme úhel na nejbližší stupeň ; pokaždé, když zdvojnásobíme velikost tabulky (například zadáním údajů pro každý půl stupně místo každého stupně), tuto chybu snížíme na polovinu. Tabulky byly pečlivě konstruovány pro prostafaerézu s hodnotami pro každou sekundu nebo 3600. stupně.

Funkce inverzní sinus a kosinus jsou obzvláště problematické, protože se stávají strmými blízko −1 a 1. Jedním řešením je zahrnout do této oblasti více tabulkových hodnot. Další je škálovat vstupy na čísla mezi -0,9 a 0,9. Například 950 by se změnilo na 0,095 namísto 0,950.

Dalším efektivním přístupem ke zvýšení přesnosti je lineární interpolace , která volí hodnotu mezi dvěma sousedními hodnotami tabulky. Například pokud víme, že sinus 45 ° je asi 0,707 a sinus 46 ° je asi 0,719, můžeme odhadnout sinus 45,7 ° jako 0,707 × (1 - 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. Skutečný sinus je 0,7157. Tabulka kosinů s pouze 180 položkami kombinovaná s lineární interpolací je stejně přesná jako tabulka s přibližně45 000 záznamů bez něj. I rychlý odhad interpolované hodnoty je často mnohem bližší než nejbližší tabulka. Další podrobnosti najdete ve vyhledávací tabulce .

Reverzní identity

S produktovými vzorci lze také manipulovat, abychom získali vzorce, které vyjadřují sčítání z hlediska násobení. I když jsou méně užitečné pro výpočetní produkty, jsou stále užitečné pro odvození trigonometrických výsledků:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sin a + \ sin b & = 2 \ sin \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {ab} {2 }} \ right) \\ [5pt] \ sin a- \ sin b & = 2 \ cos \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {ab} {2}} \ right) \\ [5pt] \ cos a + \ cos b & = 2 \ cos \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {ab } {2}} \ right) \\ [5pt] \ cos a- \ cos b & = - 2 \ sin \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {ab} {2}} \ vpravo) \ end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Pravidlo snímku

Reference

externí odkazy

• Vzorce prostafaerézy
• Daniel E. Otero Henry Briggs . Úvod: potřeba rychlosti při výpočtu.
• Mathworld: Prosthaphaeresis vzorce
• Adam Mosley. Tycho Brahe a matematické techniky . Univerzita v Cambridge.
• IEEE Computer Society. Historie výpočtů: John Napier a vynález logaritmů .
• Matematická slova: Prosthaphaeresis
• Beatrice Lumpkin. Africké a afroamerické příspěvky do matematiky . Diskutuje o příspěvku Ibn Yunise k prosthaphaeresis.
• Fenomén prostaferézy a rytmu v teorii vibrací, Nicholas J. Rose