Odrůda Severi – Brauer - Severi–Brauer variety

V matematiky , je odrůda Severi-Brauer přes pole K je algebraické odrůda V , který se stane izomorfní s projektivní prostoru přes algebraické uzavření z K . Tyto odrůdy jsou spojena s centrálním jednoduchých algeber takovým způsobem, že algebra rozděluje přes K tehdy a jen tehdy, pokud je odrůda má bod racionální nad K. . Francesco Severi  ( 1932 ) studoval tyto odrůdy a jsou také pojmenovány po Richardu Brauerovi kvůli jejich blízkému vztahu ke skupině Brauer .

V dimenzi jedna jsou odrůdy Severi – Brauer kuželosečky . Odpovídající centrální jednoduché algebry jsou čtveřice algeber . Algebra ( a , b ) _K odpovídá kuželosečce C ( a , b ) s rovnicí

${\ displaystyle z ^ {2} = sekera ^ {2} + od ^ {2} \}$

a algebra ( a , b ) _{K se} rozdělí , to znamená, že ( a , b ) _K je izomorfní s maticovou algebrou nad K , právě tehdy, když má C ( a , b ) bod definovaný nad K : to je zase ekvivalent C ( , b ) jsou izomorfní s projektivní lince přes k .

Tyto odrůdy jsou zajímavé nejen v diofantické geometrii , ale také v Galoisově kohomologii . Představují (alespoň pokud K je ideální pole ) Galoisova kohomologie třídy v H ¹ ( PGL _n ), kde PGL _n je projektivní lineární skupina , a n je rozměr na rozmanitost V . Existuje krátká přesná sekvence

1 → GL ₁ → GL _n → PGL _n → 1

z algebraických skupin . To znamená spojující homomorfismus

H ¹ ( PGL _n ) → H ² ( GL ₁ )

na úrovni kohomologie. Zde H ² ( GL ₁ ) je identifikována s skupinou Brauer z K , zatímco jádro je triviální, protože H ¹ ( GL _n ) = {1} podle rozšíření Hilbertova věty 90 . Proto mohou být odrůdy Severi – Brauer věrně reprezentovány Brauerovými prvky skupiny, tj. Třídami centrálních jednoduchých algeber .

Lichtenbaum ukázal, že pokud X je odrůda Severi – Brauer nad K, pak existuje přesná sekvence

${\ displaystyle 0 \ rightarrow \ mathrm {Pic} (X) \ rightarrow \ mathbb {Z} {\ stackrel {\ delta} {\ rightarrow}} \ mathrm {Br} (K) \ rightarrow \ mathrm {Br} (K ) / (X) \ pravá šipka 0 \.}$

Zde se mapa δ posílá 1 do třídy Brauer odpovídající X .

V důsledku toho vidíme, že pokud má třída X řád d ve skupině Brauer, pak na X existuje dělitelská třída stupně d . Přidružený lineární systém definuje d rozměrný vkládání X přes dělicí pole L .

Viz také

• projektivní svazek

Poznámka

Reference

• Artin, Michael (1982), „Brauer-Severi variety“, Brauerovy skupiny v teorii prstenů a algebraické geometrii (Wilrijk, 1981) , Lecture Notes in Math., 917 , Notes A. Verschoren, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 194–210, doi : 10,1007 / BFb0092235 , ISBN   978-3-540-11216-7 , MR   0657430 , Zbl   0536.14006
• „Odrůda Brauer – Severi“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006), „Severi – Brauer variety“ , Central Simple Algebras and Galois Cohomology , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 101 , Cambridge University Press , s. 114–134, ISBN   0-521-86103-9 , MR   2266528 , Zbl   1137.12001
• Jacobson, Nathan (1996), konečně-dimenzionální dělení algeber nad poli , Berlín: Springer-Verlag , ISBN   3-540-57029-2 , Zbl   0874.16002
• Saltman, David J. (1999), Přednášky o divizních algebrách , Regionální konferenční seriál z matematiky, 94 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   0-8218-0979-2 , Zbl   0934.16013
• Severi, Francesco (1932), „Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica“, Memorie della Reale Accademia d'Italia (v italštině), 3 (5), přetištěno ve svazku 3 jeho sebraných děl

Další čtení

• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), The Book of involutions , Colloquium Publications, 44 , With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   0-8218-0904-0 , MR   1632779 , Zbl   0955,16001

externí odkazy

• Expository paper on Galois descent (PDF)