Skolem – Noetherova věta - Skolem–Noether theorem

V teorii prstenu , odvětví matematiky se Skolem-Noether teorém charakterizuje automorphisms z jednoduchých kroužků . Jedná se o zásadní výsledek v teorii centrálních jednoduchých algeber .

Věta byla poprvé zveřejněna Thoralf Skolem v roce 1927 ve svém papírovém Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( v němčině : Na teorii asociativní číselné soustavy ) a později nově objevený Emmy Noether .

Prohlášení

V obecném prostředku, ať a B být jednoduché unitární kroužky, a nechat k být středem B . Centrum k je pole , neboť vzhledem k tomu, x nenulový v k , jednoduchost B znamená, že nenulové oboustranný ideální BXB = (x) je celá B , a tím, že x je jednotka . V případě, že rozměr z B přes k je konečný, tedy v případě, B je centrální jednoduché algebry konečných rozměrů, a je také k algebra, pak vzhledem k algebra homomorfismů

f , g  : A → B ,

existuje jednotky B v B, tak, že pro všechna A v A

g ( a ) = b · f ( a ) · b ^-1 .

Zejména každý automorfismus centrální jednoduché k -algebry je vnitřní automorfismus .

Důkaz

Nejprve předpokládejme . Pak f a g definují akce A na ; ať naznačovat -modules Takto získaný. Vzhledem k tomu, že mapa f je injektivní jednoduchostí A , je A také konečně-dimenzionální. Proto dva jednoduché A- moduly jsou izomorfní a jsou konečné přímé součty jednoduchých A- modulů. Protože mají stejnou dimenzi, vyplývá z toho, že existuje izomorfismus A- modulů . Ale takové b musí být prvkem . Obecně platí, že je maticová algebra a to je jednoduché. První část aplikovaná na mapy existuje taková ${\ displaystyle B = \ operatorname {M} _ {n} (k) = \ operatorname {End} _ {k} (k ^ {n})}$${\ displaystyle k ^ {n}}$${\ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$${\ displaystyle f (1) = 1 \ neq 0}$${\ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$${\ displaystyle b: V_ {g} \ až V_ {f}}$${\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (k) = B}$${\ displaystyle B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle f \ otimes 1, g \ otimes 1: A \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}} \ na B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle b \ in B \ otimes _ {k} B ^ {\ text {op}}}$

${\ displaystyle (f \ otimes 1) (a \ otimes z) = b (g \ otimes 1) (a \ otimes z) b ^ {- 1}}$

pro všechny a . Vezmeme , najdeme ${\ displaystyle a \ v A}$${\ displaystyle z \ v B ^ {\ text {op}}}$${\ displaystyle a = 1}$

${\ displaystyle 1 \ otimes z = b (1 \ otimes z) b ^ {- 1}}$

pro všechny z . To znamená, že b je in, takže můžeme psát . Vezmeme tentokrát najdeme ${\ displaystyle Z_ {B \ otimes B ^ {\ text {op}}} (k \ otimes B ^ {\ text {op}}) = B \ otimes k}$${\ displaystyle b = b '\ čast 1}$${\ displaystyle z = 1}$

${\ displaystyle f (a) = b'g (a) {b '^ {- 1}}}$,

o co se hledalo.

Poznámky

Reference

• Skolem, Thoralf (1927). „Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme“. Skrifter Oslo (v němčině) (12): 50. JFM  54.0154.02 .
• Diskuse v kapitole IV Milne , teorie pole třídy [1]
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie . Cambridge studia pokročilé matematiky. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001 .