Spektrální metoda - Spectral method

Spektrální metody jsou třídou technik používaných v aplikované matematice a vědeckých výpočtech k numerickému řešení určitých diferenciálních rovnic , což potenciálně zahrnuje použití rychlé Fourierovy transformace . Myšlenkou je napsat řešení diferenciální rovnice jako součet určitých „ základních funkcí “ (například jako Fourierovu řadu, která je součtem sinusoidů ) a poté zvolit koeficienty v součtu, aby se uspokojil rozdíl rovnice co nejlépe.

Spektrální metody a metody konečných prvků spolu úzce souvisejí a jsou postaveny na stejných myšlenkách; hlavní rozdíl mezi nimi spočívá v tom, že spektrální metody používají základní funkce, které jsou nenulové v celé doméně, zatímco metody konečných prvků používají základní funkce, které jsou nenulové pouze na malých subdoménách. Jinými slovy, spektrální metody zaujímají globální přístup, zatímco metody konečných prvků používají lokální přístup . Částečně z tohoto důvodu mají spektrální metody vynikající chybové vlastnosti, přičemž takzvaná „exponenciální konvergence“ je nejrychlejší možná, když je řešení hladké . Nejsou však známy žádné výsledky trojrozměrného zachycení spektrálního šoku v jedné doméně (rázové vlny nejsou plynulé). V komunitě konečných prvků se metoda, kde je stupeň prvků velmi vysoký nebo se zvyšuje, když parametr mřížky h klesá na nulu, někdy nazývá metoda spektrálních prvků .

Spektrální metody lze použít k řešení obyčejných diferenciálních rovnic (ODE), parciálních diferenciálních rovnic (PDE) a problémů vlastních čísel zahrnujících diferenciální rovnice. Při použití spektrálních metod na časově závislé PDE je řešení obvykle psáno jako součet základních funkcí s časově závislými koeficienty; jeho nahrazením v PDE se získá systém ODR v koeficientech, které lze vyřešit pomocí jakékoli numerické metody pro ODR . Problémy s vlastním číslem pro ODE jsou podobně převedeny na problémy s vlastním číslem matice.

Spektrální metody byly vyvinuty v dlouhé sérii článků Stevena Orszaga počínaje rokem 1969, mimo jiné včetně metod Fourierovy řady pro problémy s periodickou geometrií, polynomiální spektrální metody pro problémy s konečnou a neomezenou geometrií, pseudospektrální metody pro vysoce nelineární problémy a spektrální iterační metody pro rychlé řešení problémů v ustáleném stavu. Implementace spektrální metody se obvykle provádí buď kolokací, nebo Galerkinovým nebo Tauovým přístupem.

Spektrální metody jsou výpočetně levnější než metody konečných prvků, ale u problémů se složitými geometriemi a diskontinuitními koeficienty se stávají méně přesnými. Toto zvýšení chyb je důsledkem Gibbsova jevu .

Příklady spektrálních metod

Konkrétní, lineární příklad

Zde předpokládáme porozumění základním vícerozměrným kalkulům a Fourierovým řadám . Pokud je známou, komplexně oceněnou funkcí dvou reálných proměnných a g je periodické v xay (tj. ), Pak nás zajímá nalezení funkce f (x, y) tak, aby ${\ displaystyle g (x, y)}$${\ Displaystyle g (x, y) = g (x + 2 \ pi, y) = g (x, y + 2 \ pi)}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2}}} \ vpravo) f (x, y) = g (x, y) \ quad {\ text {pro všechny}} x, y}$

kde výraz vlevo označuje druhé parciální derivace f v x, respektive y. Toto je Poissonova rovnice a lze ji fyzicky interpretovat jako nějaký druh problému vedení tepla nebo problém v teorii potenciálu, mimo jiné i možnosti.

Pokud píšeme f a g do Fourierových řad:

${\ displaystyle f =: \ součet a_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}$

${\ displaystyle g =: \ součet b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}$

a dosadíme do diferenciální rovnice, získáme tuto rovnici:

${\ displaystyle \ sum -a_ {j, k} (j ^ {2} + k ^ {2}) e ​​^ {i (jx + ky)} = \ součet b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}$

Vyměnili jsme si částečnou diferenciaci s nekonečným součtem, což je legitimní, když předpokládáme například, že f má spojitou druhou derivaci. Podle věty o jedinečnosti Fourierových expanzí musíme potom rovnat Fourierovy koeficienty po jednotlivých termínech,

(*) ${\ displaystyle a_ {j, k} = - {\ frac {b_ {j, k}} {j ^ {2} + k ^ {2}}}}$

což je explicitní vzorec pro Fourierovy koeficienty a _{j , k} .

S periodickými okrajovými podmínkami má Poissonova rovnice řešení pouze v případě, že b _{0 , 0} = 0 . Proto můžeme svobodně vybrat z _{0 , 0} , který se bude rovnat průměrné rezoluce. To odpovídá výběru integrační konstanty.

Aby se z toho stal algoritmus, je vyřešeno jen konečně mnoho frekvencí. Tím se zavádí chyba, u které lze prokázat, že je úměrná , kde a je ošetřena nejvyšší frekvence. ${\ displaystyle h ^ {n}}$${\ displaystyle h: = 1 / n}$${\ displaystyle n}$

Algoritmus

1. Vypočtěte Fourierovu transformaci ( b _{j, k} ) g .
2. Vypočtěte Fourierovu transformaci ( a _{j, k} ) f pomocí vzorce (*).
3. Vypočítejte f převzetím inverzní Fourierovy transformace ( a _{j, k} ).

Jelikož nás zajímá pouze konečné okno frekvencí ( řekněme o velikosti n ), lze to provést pomocí rychlého algoritmu Fourierovy transformace . Globálně tedy algoritmus běží v čase O ( n log n ).

Nelineární příklad

Chceme vyřešit nucenou, přechodnou, nelineární Burgersovu rovnici pomocí spektrálního přístupu.

Vzhledem k periodické doméně najděte takové ${\ displaystyle u (x, 0)}$${\ displaystyle x \ in \ left [0,2 \ pi \ right)}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle \ částečné _ {t} u + u \ částečné _ {x} u = \ rho \ částečné _ {xx} u + f \ quad \ forall x \ in \ left [0,2 \ pi \ right), \ forall t> 0}$

kde ρ je koeficient viskozity . Ve slabé konzervativní formě se to stává

${\ displaystyle \ left \ langle \ částečné _ {t} u, v \ pravé \ rangle = \ levé \ langle \ částečné _ {x} \ levé (- {\ frac {1} {2}} u ^ {2} + \ rho \ partial _ {x} u \ right), v \ right \ rangle + \ left \ langle f, v \ right \ rangle \ quad \ forall v \ in {\ mathcal {V}}, \ forall t> 0}$

kde po vnitřní notaci produktu . Integrace po částech a používání pravidelných grantů ${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx}$

${\ displaystyle \ langle \ částečné _ {t} u, v \ rangle = \ levé \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ částečné _ {x} u, \ částečné _ {x} v \ right \ rangle + \ left \ langle f, v \ right \ rangle \ quad \ forall v \ in {\ mathcal {V}}, \ forall t> 0.}$

Chcete-li použít Fourier- Galerkinovu metodu , zvolte obojí

${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {N}: = \ vlevo \ {u: u (x, t) = \ součet _ {k = -N / 2} ^ {N / 2-1} {\ klobouk {u}} _ {k} (t) e ^ {ikx} \ doprava \}}$

a

${\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {N}: = \ operatorname {span} \ left \ {e ^ {ikx}: k \ in -N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \ }}$

kde . To snižuje problém s nalezením takového ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {k} (t): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ langle u (x, t), e ^ {ikx} \ rangle}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}} ^ {N}}$

${\ displaystyle \ langle \ částečné _ {t} u, e ^ {ikx} \ rangle = \ levé \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ částečné _ {x} u , \ částečné _ {x} e ^ {ikx} \ pravé \ rangle + \ levé \ langle f, e ^ {ikx} \ pravé \ rangle \ quad \ forall k \ in \ left \ {- N / 2, \ tečky , N / 2-1 \ doprava \}, \ pro všechny t> 0.}$

Pomocí vztahu ortogonality, kde je Kroneckerova delta , zjednodušíme tři výše uvedené termíny, které každý vidí ${\ displaystyle \ langle e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ rangle = 2 \ pi \ delta _ {lk}}$${\ displaystyle \ delta _ {lk}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ začátek {zarovnáno} \ levá \ langle \ částečná _ {t} u, e ^ {ikx} \ pravá \ rangle & = \ levá \ langle \ částečná _ {t} \ součet _ {l} {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {l} \ částečné _ {t} {\ hat {u}} _ { l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi \ částečné _ {t} {\ hat {u}} _ {k}, \\\ left \ langle f, e ^ { ikx} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ sum _ {l} {\ hat {f}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi {\ klobouk {f}} _ {k}, {\ text {and}} \\\ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ částečný _ {x} e ^ {ikx} \ pravý \ rangle & = \ levý \ langle {\ frac {1} {2}} \ levý (\ sum _ {p} {\ hat {u}} _ {p} e ^ {ipx} \ right) \ left (\ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {iqx} \ right) - \ rho \ částečné _ {x} \ sum _ {l } {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, \ částečné _ {x} e ^ {ikx} \ pravý \ rangle \\ & = \ levý \ langle {\ frac {1} {2} } \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x} , ike ^ {ikx} \ right \ rangle - \ left \ langle \ rho i \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, ike ^ {ikx} \ right \ rangle \\ & = - {\ frac {ik} {2}} \ left \ langle \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x}, e ^ {ikx} \ right \ rangle - \ rho k \ left \ langle \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ & = - i \ pi k \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k}. \ End {zarovnáno}}}$

Shromážděte tři podmínky, z nichž každý získáte ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle 2 \ pi \ částečné _ {t} {\ hat {u}} _ {k} = - i \ pi k \ součet _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k} +2 \ pi {\ hat {f}} _ {k} \ quad k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t> 0.}$

Když se rozdělíme , konečně dorazíme ${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\ displaystyle \ částečné _ {t} {\ hat {u}} _ {k} = - {\ frac {ik} {2}} \ součet _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} - \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k} + {\ hat {f}} _ {k} \ quad k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t> 0.}$

S Fourierovými transformovanými počátečními podmínkami a vynucením může být tento spojený systém běžných diferenciálních rovnic integrován v čase (např. Pomocí techniky Runge Kutta ) k nalezení řešení. Nelineární termín je konvoluce a pro jeho efektivní vyhodnocení existuje několik technik založených na transformaci. Viz odkazy Boyda a Canuta et al. Více podrobností. ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {k} (0)}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {k} (t)}$

Vztah k metodě spektrálních prvků

Lze ukázat, že pokud je nekonečně diferencovatelný, pak numerický algoritmus využívající rychlé Fourierovy transformace bude konvergovat rychleji než jakýkoli polynom ve velikosti mřížky h. To znamená, že pro libovolné n> 0 existuje taková, že chyba je menší než pro všechny dostatečně malé hodnoty . Říkáme, že spektrální metoda je řádová , pro každé n> 0. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle C_ {n} <\ infty}$${\ displaystyle C_ {n} h ^ {n}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle n}$

Protože metoda spektrálních prvků je metodou konečných prvků velmi vysokého řádu, existuje podobnost ve vlastnostech konvergence. Zatímco spektrální metoda je založena na vlastním složení konkrétního problému s hraniční hodnotou, metoda konečných prvků tuto informaci nepoužívá a pracuje pro libovolné eliptické problémy s hraničními hodnotami .

Viz také

• Metoda konečných prvků
• Gaussova mřížka
• Pseudospektrální metoda
• Metoda spektrálních prvků
• Galerkinova metoda
• Metoda kolokace

Reference

• Bengt Fornberg (1996) A Practical Guide to Pseudospectral Methods. Cambridge University Press, Cambridge, Velká Británie
• Čebyševovy a Fourierovy spektrální metody John P. Boyd.
• Canuto C., Hussaini MY , Quarteroni A. a Zang TA (2006) Spectral Methods. Základy v jednotlivých doménách. Springer-Verlag, Berlín Heidelberg
• Javier de Frutos, Julia Novo: Metoda spektrálních prvků pro rovnice Navier-Stokes se zvýšenou přesností
• Polynomiální aproximace diferenciálních rovnic , Daniele Funaro, Lecture Notes in Physics, Volume 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
• D. Gottlieb a S. Orzag (1977) „Numerická analýza spektrálních metod: teorie a aplikace“, SIAM, Philadelphia, PA
• J. Hesthaven, S. Gottlieb a D. Gottlieb (2007) „Spektrální metody pro časově závislé problémy“, Cambridge UP, Cambridge, Velká Británie
• Steven A. Orszag (1969) Numerical Methods for the Simulation of Turbulence , Phys. Supp. Tekutin II, 12, 250–257
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Oddíl 20.7. Spektrální metody“ . Numerické recepty: The Art of Scientific Computing (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-88068-8 .
• Jie Shen, Tao Tang a Li-Lian Wang (2011) „Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications“ (Springer Series in Computational Mathematics, V. 41, Springer), ISBN   354071040X
• Lloyd N. Trefethen (2000) Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Philadelphia, PA