Spektrální analýza tvaru - Spectral shape analysis

Spektrální analýza tvarů se při porovnávání a analýze geometrických tvarů opírá o spektrum ( vlastní hodnoty a / nebo vlastní funkce ) operátora Laplace – Beltrami . Vzhledem k tomu, že spektrum operátoru Laplace – Beltrami je v izometrii neměnné , je velmi vhodné pro analýzu nebo získávání netuhých tvarů, tj. Ohýbatelných předmětů, jako jsou lidé, zvířata, rostliny atd.

Laplace

Laplaceův operátor-Beltrami se podílí na mnoha důležitých diferenciálních rovnic, jako je rovnice vedení tepla a vlnové rovnice . To může být definováno na Riemannově potrubí jako divergence v gradientu části reálná funkce f :

${\ displaystyle \ Delta f: = \ operatorname {div} \ operatorname {grad} f.}$

Jeho spektrální složky lze vypočítat řešením Helmholtzovy rovnice (nebo úlohy Laplacianského vlastního čísla):

${\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {i} + \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} = 0.}$

Řešením jsou vlastní funkce (režimy) a odpovídající vlastní čísla , představující odlišnou posloupnost kladných reálných čísel. První vlastní číslo je nula pro uzavřené domény nebo při použití Neumannovy okrajové podmínky . U některých tvarů lze spektrum vypočítat analyticky (např. Obdélník, plochý torus, válec, disk nebo koule). Například pro kouli jsou vlastní funkce sférickými harmonickými . ${\ displaystyle \ varphi _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

Nejdůležitější vlastnosti vlastních čísel a vlastních funkcí spočívají v tom, že jsou to izometrické invarianty. Jinými slovy, pokud není tvar roztažen (např. List papíru ohnutý do třetí dimenze), spektrální hodnoty se nezmění. Ohýbatelné předměty, jako jsou zvířata, rostliny a lidé, se mohou pohybovat do různých poloh těla s minimálním protahováním v kloubech. Výsledné tvary se nazývají téměř izometrické a lze je porovnat pomocí spektrální analýzy tvarů.

Diskretizace

Geometrické tvary jsou často reprezentovány jako 2D zakřivené povrchy, 2D povrchové sítě (obvykle trojúhelníkové sítě ) nebo 3D pevné objekty (např. Pomocí voxelů nebo čtyřstěnných sítí). Pro všechny tyto případy lze vyřešit Helmholtzovu rovnici. Pokud existuje hranice, např. Čtverec, nebo objem libovolného 3D geometrického tvaru, je třeba zadat okrajové podmínky.

Existuje několik diskretizací Laplaceova operátoru (viz Diskrétní Laplaceův operátor ) pro různé typy geometrických reprezentací. Mnoho z těchto operátorů nepřibližuje dobře podkladový spojitý operátor.

Deskriptory spektrálního tvaru

ShapeDNA a její varianty

ShapeDNA je jedním z prvních deskriptorů spektrálního tvaru. Je to normalizovaná počáteční posloupnost vlastních čísel operátoru Laplace – Beltrami. Jeho hlavními výhodami jsou jednoduchá reprezentace (vektor čísel) a srovnání, invariance měřítka a navzdory své jednoduchosti velmi dobrý výkon při získávání tvarů netuhých tvarů. Mezi konkurenty společnosti shapeDNA patří singulární hodnoty Geodesic Distance Matrix (SD-GDM) a Reduced BiHarmonic Distance Matrix (R-BiHDM). Vlastní čísla jsou však globální deskriptory, proto pro místní nebo částečnou analýzu tvaru nelze použít shapeDNA a další globální spektrální deskriptory.

Globální podpis bodu (GPS)

Globální podpis bodu v bodě je vektorem zmenšených vlastních funkcí Laplaceova – Beltramiho operátoru vypočítaného na (tj. Spektrální vložení tvaru). GPS je globální funkce v tom smyslu, že ji nelze použít pro částečné přizpůsobení tvaru. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Podpis tepelného jádra (HKS)

Podpis tepelného jádra využívá vlastní rozklad tepelného jádra :

${\ Displaystyle h_ {t} (x, y) = \ součet _ {i = 0} ^ {\ infty} \ exp (- \ lambda _ {i} t) \ varphi _ {i} (x) \ varphi _ {i} (y).}$

U každého bodu na povrchu je úhlopříčka tepelného jádra vzorkována ve specifických časových hodnotách a poskytuje místní podpis, který lze také použít pro částečnou shodu nebo detekci symetrie. ${\ displaystyle h_ {t} (x, x)}$${\ displaystyle t_ {j}}$

Podpis vlnového jádra (WKS)

WKS sleduje podobnou myšlenku jako HKS a nahrazuje rovnici tepla Schrödingerovou vlnovou rovnicí.

Vylepšený podpis vlnového jádra (IWKS)

IWKS vylepšuje WKS pro načítání netuhých tvarů zavedením nové funkce škálování vlastních čísel a agregací nového termínu zakřivení.

Podpis vlnkového spektra (SGWS)

SGWS je lokální deskriptor, který je nejen izometrický neměnný, ale také kompaktní, snadno vypočítatelný a kombinuje výhody filtrů pásmového i dolního pásma. Důležitým aspektem SGWS je schopnost kombinovat výhody WKS a HKS do jediného podpisu a zároveň umožnit multiresoluční reprezentaci tvarů.

Spektrální shody

Spektrální rozklad grafu Laplacian spojený se složitými tvary (viz operátor Discrete Laplace ) poskytuje vlastní funkce (režimy), které jsou neměnné pro izometrie. Každý vrchol ve tvaru mohl být jedinečně reprezentován kombinací vlastních hodnot v každém bodě, někdy nazývaných spektrální souřadnice:

${\ displaystyle s (x) = (\ varphi _ {1} (x), \ varphi _ {2} (x), \ ldots, \ varphi _ {N} (x)) {\ text {pro vrchol}} X.}$

Spektrální shoda spočívá ve stanovení bodových korespondencí spárováním vrcholů na různých tvarech, které mají nejpodobnější spektrální souřadnice. Raná práce se zaměřila na řídké korespondence pro stereoskopii. Výpočetní účinnost nyní umožňuje husté korespondence na úplných sítích, například mezi kortikálními povrchy. Spektrální shodu lze také použít pro složitou registraci netuhých obrázků , což je zvláště obtížné, když mají obrázky velmi velké deformace. Takové metody registrace obrazu založené na spektrálních vlastních hodnotách skutečně zachycují globální tvarové charakteristiky a kontrastují s konvenčními netuhými metodami registrace obrazu, které jsou často založeny na místních charakteristikách tvaru (např. Gradienty obrazu).

Reference