Druhá odmocnina matice - Square root of a matrix

V matematiky je druhá odmocnina z matrice rozšiřuje pojem odmocniny z čísel do matric . Matice B se říká, že je druhá odmocnina z A, v případě, že matice produkt BB je rovna A .

Někteří autoři používají název odmocniny nebo zápis A ^1/2 pouze pro konkrétní případ, kdy A je kladný semidefinit , pro označení jedinečné matice B, která je kladným semidefinitem a taková, že BB = B ^T B = A (pro skutečné hodnoty matice, kde B ^T je přemístit z B ).

Méně často se název odmocnina může být použit pro jakýkoliv faktorizace pozitivní semidefinitní matice A jako B ^T B = A , jako je tomu v Choleského faktorizaci , a to i v případě, BB ≠ A . Tento odlišný význam je diskutován v Positive definitite matrix § Decomposition .

Příklady

Matice může mít obecně několik odmocnin. Zejména v případě, pak stejně. ${\ displaystyle A = B^{2}}$${\ Displaystyle A = (-B)^{2}}$

Matice identity 2 × 2 má nekonečně mnoho odmocnin. Jsou dány ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ pm 1 & 0 \\ 0 & \ pm 1 \ end {pmatrix}}}$ a ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & -a \ end {pmatrix}}}$

kde jsou nějaká čísla (reálná nebo komplexní) taková, že . Zejména pokud je nějaká Pythagorova trojka - tj. Jakákoli sada kladných celých čísel, takže potom je druhá odmocnina matice, která je symetrická a má racionální položky. Tím pádem ${\ displaystyle (a, b, c)}$${\ Displaystyle a^{2}+bc = 1}$${\ displaystyle (a, b, t)}$${\ Displaystyle a^{2}+b^{2} = t^{2}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {t}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & -a \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}^{2} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {4} {5}} & {\ frac {3} {5}} \\ {\ frac {3} {5}} &-{\ frac {4} {5}} \ end {pmatrix}}^{ 2}.}$

Mínus identita má druhou odmocninu, například:

${\ displaystyle -{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}^{2},}$

které lze použít k reprezentaci imaginární jednotky i a tedy všech komplexních čísel pomocí 2 × 2 reálných matic, viz Maticová reprezentace komplexních čísel .

Stejně jako u skutečných čísel nemusí skutečná matice mít skutečnou druhou odmocninu, ale má druhou odmocninu se složitými hodnotenými položkami. Některé matice nemají odmocninu. Příkladem je matice${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Zatímco druhá odmocnina nezáporného celého čísla je buď opět celé nebo iracionální číslo , na rozdíl od toho může mít celočíselná matice druhou odmocninu, jejíž položky jsou racionální, ale neintegrované, jako v příkladech výše.

Pozitivní semidefinitové matice

Symetrická skutečná matice n × n se nazývá pozitivní semidefinit, pokud pro všechny (zde označuje transpozici , změnu sloupcového vektoru x na řádkový vektor). Čtvercová reálná matice je pozitivní semidefinitní právě tehdy, když pro některé matice B . Tam může být mnoho různých takových matrices B . Pozitivní semidefinitová matice A může mít také mnoho matic B tak, že . Nicméně A má vždy přesně jednu odmocninu B, která je kladný semidefinit (a tedy symetrický). Zejména proto, že B , kde musí být symetrická , takže obě podmínky nebo jsou rovnocenné. ${\ Displaystyle x^{\ textyf {T}} Sekera \ geq 0}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle x^{\ textyf {T}}}$${\ Displaystyle A = B^{\ textyf {T}} B}$${\ displaystyle A = BB}$${\ displaystyle B = B^{\ textyf {T}}}$${\ displaystyle A = BB}$${\ Displaystyle A = B^{\ textyf {T}} B}$

U komplexně hodnocených matic se místo toho použije konjugovaná transpozice a kladné semidefinitové matice jsou hermitovské , což znamená . ${\ displaystyle B^{*}}$${\ displaystyle B^{*} = B}$

Tato jedinečná matice se nazývá hlavní , nezáporná nebo kladná odmocnina (ta druhá v případě pozitivních jednoznačných matic ).

Hlavní odmocnina skutečné pozitivní semidefinitové matice je skutečná. Hlavní odmocnina pozitivní definitivní matice je kladná určitá; obecněji, pozice hlavního odmocnina A je stejná jako hodnosti A .

Operace převzetí hlavní odmocniny je na této sadě matic nepřetržitá. Tyto vlastnosti jsou důsledkem holomorfního funkčního počtu aplikovaného na matice. Existenci a jedinečnost hlavní odmocniny lze odvodit přímo z jordánské normální formy (viz níže).

Matice s odlišnými vlastními hodnotami

N x n matice s n výraznými nenulovou čísel má 2 ⁿ odmocniny. Taková matrice, , má eigendecomposition VDV ^-1 , kde V je matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory A a D je diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou odpovídající n vlastní hodnoty lambda _i . Tak odmocnin A jsou dány VD ^1/2 V ^-1 , kde D ^polovina je jakýkoli odmocnina matice D , které pro různých čísel, musí být diagonální s diagonální prvky, které se rovnají odmocnin diagonálních prvků z D ; protože existují dvě možné volby pro druhou odmocninu každého diagonálního prvku D , existují 2 ⁿ volby pro matici D ^1/2 .

To také vede k důkazu výše uvedeného pozorování, že matice s jednoznačnou definicí má přesně jednu druhou odmocninu s pozitivní definicí: pozitivní definitivní matice má pouze kladná vlastní čísla a každé z těchto vlastních čísel má pouze jednu kladnou odmocninu; a protože vlastní čísla druhé odmocniny jsou diagonálními prvky D ^1/2 , aby matice odmocniny byla sama o sobě definitivní, je nutné použít pouze jedinečné kladné odmocniny původních vlastních čísel.

Řešení v uzavřené formě

Pokud je matice idempotentní , což znamená , pak podle definice je jedním z jejích odmocnin samotná matice. ${\ displaystyle A^{2} = A}$

Diagonální a trojúhelníkové matice

Pokud D je diagonální n × n matice , pak některé z jejích odmocnin jsou diagonální matice , kde . V případě, že diagonální prvky D jsou skutečné a non-negativní, pak je pozitivně semidefinitní, a v případě, že druhé odmocniny jsou přijímána s non-záporným znaménkem, výsledná matice je hlavní kořen D . Diagonální matice může mít další ne-diagonální kořeny, pokud jsou některé záznamy na diagonále stejné, jak ukazuje příklad výše uvedené matice identity. ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})}$${\ displaystyle \ operatorname {diag} (\ mu _ {1}, \ dots, \ mu _ {n})}$${\ Displaystyle \ mu _ {i} = \ pm {\ sqrt {\ lambda _ {i}}}}$

Pokud U je horní trojúhelníková matice (což znamená, že její položky jsou pro ) a nanejvýš jeden z jejích diagonálních záznamů je nula, pak jedno horní trojúhelníkové řešení rovnice lze nalézt následovně. Protože by rovnice měla být splněna, nechť je hlavní odmocnina komplexního čísla . Za předpokladu to zaručuje, že pro všechna i, j (protože hlavní odmocniny komplexních čísel leží na jedné polovině komplexní roviny). Z rovnice ${\ displaystyle u_ {i, j} = 0}$${\ displaystyle i> j}$${\ displaystyle B^{2} = U}$${\ displaystyle u_ {i, i} = b_ {i, i}^{2}}$${\ displaystyle b_ {i, i}}$${\ displaystyle u_ {i, i}}$${\ Displaystyle u_ {i, i} \ neq 0}$${\ Displaystyle b_ {i, i}+b_ {j, j} \ neq 0}$

${\ Displaystyle u_ {i, j} = b_ {i, i} b_ {i, j}+b_ {i, i+1} b_ {i+1, j}+b_ {i, i+2} b_ { i+2, j}+\ tečky+b_ {i, j} b_ {j, j}}$

odvodíme, že lze rekurzivně vypočítat pro zvýšení z 1 na n -1 jako: ${\ displaystyle b_ {i, j}}$${\ displaystyle ji}$

${\ Displaystyle b_ {i, j} = {\ frac {1} {b_ {i, i}+b_ {j, j}}} \ left (u_ {i, j} -b_ {i, i+1} b_ {i+1, j} -b_ {i, i+2} b_ {i+2, j}-\ dots -b_ {i, j-1} b_ {j-1, j} \ right).}$

Pokud U je horní trojúhelníkový, ale má na diagonále více nul, pak druhá odmocnina nemusí existovat, jak ukazuje příklad . Všimněte si, že diagonální položky trojúhelníkové matice jsou přesně její vlastní čísla (viz Vlastnosti trojúhelníkové matice# ). ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right)}$

Diagonalizací

N x n matice je diagonalizable v případě, že je matice, V a diagonální matice D tak, že = VDV ^-1 . K tomu dochází tehdy a jen tehdy, má -li A n vlastních vektorů, které tvoří základ pro C ⁿ . V tomto případě, V může být zvolena tak, aby se matrice s n vektorů jako jsou sloupy, a tak odmocnina je

${\ displaystyle R = VSV^{-1} ~,}$

kde S je jakákoliv odmocnina D . Vskutku,

${\ Displaystyle \ left (VD^{\ frac {1} {2}} V^{-1} \ right)^{2} = VD^{\ frac {1} {2}} \ left (V^{ -1} V \ vpravo) D^{\ frac {1} {2}} V^{-1} = VDV^{-1} = A ~.}$

Matici lze například diagonalizovat jako VDV ⁻¹ , kde ${\ Displaystyle A = \ left ({\ begin {smallmatrix} 33 & 24 \\ 48 & 57 \ end {smallmatrix}} \ right)}$

${\ Displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}$a .${\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 9 \ end {pmatrix}}}$

D má hlavní odmocninu

${\ Displaystyle D^{\ frac {1} {2}} = {\ begin {pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 3 \ end {pmatrix}}}$,

dávající odmocninu

${\ Displaystyle A^{\ frac {1} {2}} = VD^{\ frac {1} {2}} V^{-1} = {\ begin {pmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 7 \ end {pmatrix} }}$.

Když je A symetrická, může být diagonalizující matice V vytvořena ortogonální matice vhodnou volbou vlastních vektorů (viz spektrální věta ). Pak inverzní k V je jednoduše transpozice, takže

${\ displaystyle R = VSV^{\ textyf {T}} ~.}$

Schurovým rozkladem

Každá čtvercová matice s komplexní hodnotou , bez ohledu na diagonalizovatelnost, má Schurův rozklad daný tím, kde je horní trojúhelníkový a je unitární (význam ). Na vlastní čísla ze jsou přesně diagonální vstupy z ; pokud je nanejvýš jeden z nich nula, pak následuje odmocnina ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = QUQ^{*}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q^{*} = Q^{-1}}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle A^{\ frac {1} {2}} = QU^{\ frac {1} {2}} Q^{*}.}$

kde druhou odmocninu horní trojúhelníkové matice lze nalézt, jak je popsáno výše. ${\ displaystyle U^{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle U}$

Pokud je kladná určitá, pak vlastní čísla jsou všechny kladné reality, takže zvolená úhlopříčka také sestává z kladných skutečností. Vlastní čísla jsou tedy pozitivní reality, což znamená, že výsledná matice je hlavním kořenem . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U^{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle QU^{\ frac {1} {2}} Q^{*}}$${\ displaystyle A}$

Jordánským rozkladem

Podobně jako u Schurova rozkladu lze každou čtvercovou matici rozložit, protože kde P je invertibilní a J je v Jordánově normální formě . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = P^{-1} JP}$

Chcete -li vidět, že jakákoli komplexní matice s pozitivními vlastními čísly má druhou odmocninu stejné formy, stačí to zkontrolovat pro Jordanův blok. Každý takový blok má tvar λ ( I + N ) s λ> 0 a N nilpotentní . Jestliže (1 + z ) ^1/2 = 1 + a ₁ z + a ₂ z ² + ⋯ je binomická expanze pro druhou odmocninu (platí v | z | <1), pak jako formální mocninová řada se její druhá mocnina rovná 1 + z . Dosazením N za z bude pouze konečný počet členů nenulový a S = √λ ( I + a ₁ N + a ₂ N ² + ⋯) dává druhou odmocninu Jordanova bloku s vlastní hodnotou √λ .

Stačí zkontrolovat jedinečnost pro Jordanův blok s λ = 1. Čtverec zkonstruovaný výše má tvar S = I + L, kde L je polynom v N bez konstantního členu. Jakékoliv jiné odmocnina T s pozitivní čísel má tvar T = I + M s M nilpotentní, dojíždění s N a tím i L . Ale pak 0 = S ² - T ² = 2 ( L - M ) ( I + ( L + M )/2) . Vzhledem k tomu, L a M dojíždět, matice L + M je nilpotentní a I + ( L + M )/2 je invertibilní s inverzí danou Neumannovou řadou . Proto L = M .

Pokud A je matice s pozitivními vlastními hodnotami a minimálním polynomem p ( t ) , pak Jordanův rozklad na zobecněné vlastní prostory A lze odvodit z částečné frakční expanze p ( t ) ⁻¹ . Odpovídající výstupky na všeobecných eigenspaces jsou dány reálné polynomy v A . Na každém vlastním prostoru má A tvar λ ( I + N ), jak je uvedeno výše. Výraz mocninové řady pro odmocninu ve vlastním prostoru ukazuje, že hlavní odmocnina A má tvar q ( A ), kde q ( t ) je polynom se skutečnými koeficienty.

Silová řada

Připomeňme formální výkonové řady , které konvergují za předpokladu (protože koeficienty mocninných řad jsou sčítatelné). Zapojením do tohoto výrazu získáte ${\ textstyle (1-z)^{\ frac {1} {2}} = 1- \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left | {\ binom {1/2} {n}} \ vpravo | z^{n}}$${\ Displaystyle \ | z \ | \ leq 1}$${\ displaystyle z = IA}$

${\ Displaystyle A^{\ frac {1} {2}}: = I- \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left | {{\ frac {1} {2}} \ choose n} \ right | (IA)^{n}}$

za předpokladu, že . Na základě Gelfandova vzorce je tato podmínka ekvivalentní požadavku, aby bylo spektrum obsaženo na disku . Tato metoda definování nebo výpočtu je obzvláště užitečná v případě, kdy je kladná polodefinita. V takovém případě máme a proto , takže výraz definuje druhou odmocninu, z níž se navíc ukáže jedinečný pozitivní semi-určitý kořen. Tato metoda zůstává platná pro definování odmocnin operátorů na nekonečně dimenzionálních Banachových nebo Hilbertových prostorech nebo určitých prvků (C*) Banachových algeber. ${\ textstyle \ limsup _ {n} \ | (IA)^{n} \ |^{\ frac {1} {n}} <1}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle D (1,1) \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A^{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle A}$${\ textstyle \ left \ | I-{\ frac {A} {\ | A \ |}} \ right \ | \ leq 1}$${\ textstyle \ left \ | \ left (I-{\ frac {A} {\ | A \ |}} \ right)^{n} \ right \ | \ leq \ left \ | I-{\ frac {A } {\ | A \ |}} \ vpravo \ |^{n} \ leq 1}$${\ textstyle \ | A \ |^{\ frac {1} {2}} \ left (I- \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left | {\ binom {1/2} {n }} \ right | \ left (I-{\ frac {A} {\ | A \ |}} \ right)^{n} \ right)}$${\ displaystyle A}$

Iterační řešení

Iterací Denman – Beavers

Dalším způsobem, jak najít druhou odmocninu n × n matice A, je iterace odmocniny Denman – Beavers.

Nechť Y ₀ = A a Z ₀ = I , kde I je matice identity n × n . Iterace je definována pomocí

${\ displaystyle {\ begin {aligned} Y_ {k+1} & = {\ frac {1} {2}} \ left (Y_ {k}+Z_ {k}^{-1} \ right), \\ Z_ {k+1} & = {\ frac {1} {2}} \ left (Z_ {k}+Y_ {k}^{-1} \ right). \ End {aligned}}}$

Protože toto používá dvojici sekvencí inverzí matic, jejichž pozdější prvky se mění poměrně málo, pouze první prvky mají vysoké výpočetní náklady, protože zbytek lze vypočítat z dřívějších prvků pouze s několika průchody variantou Newtonovy metody pro výpočet inverzí ,

${\ displaystyle X_ {n+1} = 2X_ {n} -X_ {n} BX_ {n}.}$

S tím, pro pozdější hodnoty k jeden nastaví a pak použije pro nějaké malé n (možná jen 1), a podobně pro${\ displaystyle X_ {0} = Z_ {k-1}^{-1}}$${\ displaystyle B = Z_ {k},}$${\ Displaystyle Z_ {k}^{-1} = X_ {n}}$${\ displaystyle Y_ {k}^{-1}.}$

Konvergence není zaručena, a to ani pro matice, které mají odmocniny, ale pokud proces konverguje, matice konverguje kvadraticky na druhou odmocninu A ^1/2 , zatímco konverguje k její inverzní A ^−1/2 . ${\ displaystyle Y_ {k}}$${\ displaystyle Z_ {k}}$

Babylonskou metodou

Ještě další iterační metoda je získána známým vzorcem babylonské metody pro výpočet druhé odmocniny skutečného čísla a jeho aplikací na matice. Nechť X ₀ = I , kde I je matice identity . Iterace je definována pomocí

${\ Displaystyle X_ {k+1} = {\ frac {1} {2}} \ left (X_ {k}+AX_ {k}^{-1} \ right) \ ,.}$

Konvergence opět není zaručena, ale pokud proces konverguje, matice konverguje kvadraticky na druhou odmocninu A ^1/2 . Ve srovnání s iterací Denman – Beavers je výhodou babylonské metody, že na jeden iterační krok je třeba vypočítat pouze jednu inverzní matici . Na druhou stranu, protože iterace Denman – Beavers používá dvojici sekvencí inverzí matic, jejichž pozdější prvky se mění poměrně málo, pouze první prvky mají vysoké výpočetní náklady, protože zbytek lze vypočítat z dřívějších prvků pouze několika průchody varianta Newtonovy metody pro výpočet inverzí (viz Denman – Beaversova iterace výše); stejný přístup lze samozřejmě použít k získání jediné sekvence inverzí potřebných pro babylonskou metodu. Na rozdíl od iterace Denman – Beavers je však babylonská metoda numericky nestabilní a je pravděpodobnější, že konvergovat nebude. ${\ displaystyle X_ {k}}$

Babylonská metoda vyplývá z Newtonovy metody pro rovnici a použití pro všechny${\ Displaystyle X^{2} -A = 0}$${\ displaystyle AX_ {k} = X_ {k} A}$${\ Displaystyle k.}$

Odmocniny pozitivních operátorů

V lineární algebry a obsluhy teorie , daný ohraničenou pozitivně semidefinitní operátora (nezáporné uživatelů) T na komplexním Hilbert prostoru, B je druhá odmocnina z T -li T = B * B , kde B * označuje sdružený operátor z B . Podle spektrálního teorému je kontinuální funkční počet může být použita k získání operátor T ^poloviny tak, že T ^1/2 je samo o sobě pozitivní a ( T ^1/2 ) ² = T . Operátor T ^1/2 je jedinečný nezáporné odmocnina z T .

Ohraničený nezáporný operátor na složitém Hilbertově prostoru se podle definice sám nastavuje. Takže T = ( T ^1/2 )* T ^1/2 . Naopak triviálně platí, že každý operátor formuláře B* B není záporný. Operátor T proto není záporný právě tehdy, když T = B* B pro některé B (ekvivalentně T = CC* pro některé C ).

Choleského faktorizace poskytuje další konkrétní příklad odmocniny, která by neměla být zaměňována s unikátním nezápornou odmocniny.

Jednotná svoboda odmocnin

Pokud T je nezáporný operátor na Hilbertově prostoru s konečnou dimenzí, pak všechny odmocniny T jsou vztaženy jednotnými transformacemi. Přesněji, pokud T = A*A = B*B , pak existuje unitární U takové, že A = UB .

Ve skutečnosti vezměte B = T ^1/2být jedinečný nezáporné odmocnina T . Pokud je T přísně kladné, pak B je invertibilní, a tak U = AB ⁻¹ je unitární:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} U^{*} U & = \ left (\ left (B^{*} \ right)^{-1} A^{*} \ right) \ left (AB^{- 1} \ right) = \ left (B^{*} \ right)^{-1} T \ left (B^{-1} \ right) \\ & = \ left (B^{*} \ right) ^{-1} B^{*} B \ left (B^{-1} \ right) = I. \ End {aligned}}}$

Pokud T je nezáporné, aniž by bylo přísně kladné, pak inverzní B nelze definovat, ale Moore-Penroseův pseudoinverzní B ⁺ může být. V tomto případě operátor B ⁺ je částečný isometry , to znamená, že jednotný operátor z řady T sám na sebe. To pak může být rozšířena na unitární operátor U na celém prostoru nastavením je rovná totožnosti na jádra T . Obecněji řečeno, je to pravda, na nekonečný trojrozměrný Hilbertova prostoru, pokud je navíc, T má uzavřený rozsah . Obecně platí, že pokud A , B jsou uzavřené a hustě definované operátory na Hilbertově prostoru H a A* A = B* B , pak A = UB, kde U je částečná izometrie.

Některé aplikace

Odmocniny a jednotná svoboda odmocnin mají aplikace v rámci funkční analýzy a lineární algebry.

Polární rozklad

Pokud A je invertibilní operátor na Hilbertově prostoru s konečnou dimenzí, pak existuje jedinečný unitární operátor U a kladný operátor P takový, že

${\ displaystyle A = NAHORU;}$

To je polární rozklad A . Kladný operátor P je jedinečná kladná odmocnina kladného operátoru A ^∗ A a U je definován U = AP ⁻¹ .

Pokud A není invertibilní, pak má stále polární kompozici, ve které je P definováno stejným způsobem (a je jedinečné). Unitární operátor U není jedinečný. Spíše je možné určit „přirozeného“ unitárního operátora takto: AP ⁺ je unitární operátor z rozsahu A k sobě, který lze rozšířit identitou na jádře A ^∗ . Výsledný jednotný operátor U se potom získá polární rozklad A .

Operátoři Kraus

Podle Choiho výsledku lineární mapa

${\ Displaystyle \ Phi: C^{n \ times n} \ to C^{m \ times m}}$

je zcela pozitivní právě tehdy, pokud je ve formě

${\ Displaystyle \ Phi (A) = \ sum _ {i}^{k} V_ {i} AV_ {i}^{*}}$

kde k ≤ nm . Nechť { E _pq } ⊂ C ^{n × n} je n ² elementárních maticových jednotek. Pozitivní matice

${\ Displaystyle M _ {\ Phi} = \ left (\ Phi \ left (E_ {pq} \ right) \ right) _ {pq} \ in C^{nm \ times nm}}$

se nazývá Choiho matice Φ. Provozovatelé Kraus odpovídají, ne nutně čtvercové, čtvercové kořeny M _cp : Pro každou druhou odmocninu B z M _cp , lze získat rodina provozovatelů Kraus V _i uvolněním operace vec pro každý sloupec b _i z B . Všechny sady Krausových operátorů jsou tedy propojeny parciálními izometriemi.

Smíšené soubory

V kvantové fyzice je matice hustoty pro n -úrovňový kvantový systém n × n komplexní matice ρ, která je kladným semidefinitem se stopou 1. Pokud ρ lze vyjádřit jako

${\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} v_ {i} v_ {i}^{*}}$

kde a Σ p _i = 1, množina ${\ displaystyle p_ {i}> 0}$

${\ displaystyle \ left \ {p_ {i}, v_ {i} \ right \}}$

říká se, že je to soubor, který popisuje smíšený stav ρ . Upozornění { v _i } nemusí být ortogonální. Různé soubory popisující stav ρ jsou spojeny unitárními operátory prostřednictvím odmocnin z ρ . Předpokládejme například

${\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {j} a_ {j} a_ {j}^{*}.}$

Podmínka stopy 1 znamená

${\ Displaystyle \ sum _ {j} a_ {j}^{*} a_ {j} = 1.}$

Nechat

${\ displaystyle p_ {i} = a_ {i}^{*} a_ {i},}$

a v _i je normalizované a _i . Vidíme to

${\ displaystyle \ left \ {p_ {i}, v_ {i} \ right \}}$

dává smíšený stav ρ .

Kalmanův filtr bez vůně

V neparfumovaném Kalmanově filtru (UKF) je odmocnina kovarianční matice stavových chyb vyžadována pro neparfumovanou transformaci, což je použitá metoda statistické linearizace. Bylo předloženo srovnání mezi různými metodami výpočtu druhé odmocniny matice v rámci aplikace UKF fúze senzorů GPS/INS, která ukázala, že Choleskyho dekompoziční metoda byla nejvhodnější pro aplikace UKF.

Viz také

• Maticová funkce
• Holomorfní funkční počet
• Logaritmus matice
• Sylvesterův vzorec
• Druhá odmocnina matice 2 na 2

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2 , Springer, ISBN 978-3540353317
• Conway, John B. (1990), Kurz funkční analýzy , texty absolventů z matematiky, 96 , Springer, s. 199–205, ISBN 978-0387972459Kapitola IV, Reiszův funkční počet
• Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J .; Kenney, Charles S .; Laub, Alan J. (2001), „Aproximace logaritmu matice na specifikovanou přesnost“ (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 22 (4): 1112–1125, CiteSeerX  10.1.1.230.912 , doi : 10.1137/S0895479899364015 , archivováno z originálu (PDF) dne 2011-08-09
• Burleson, Donald R., Computing the square root of a Markov matrix: eigenvalues ​​and the Taylor series
• Denman, Eugene D .; Beavers, Alex N. (1976), „Funkce maticových znaků a výpočty v systémech“, Applied Mathematics and Computation , 2 (1): 63–94, doi : 10.1016/0096-3003 (76) 90020-5
• Higham, Nicholas (2008), Funkce matic. Teorie a výpočet , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Maticová analýza (2. vyd.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54823-6.
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1994), Témata v maticové analýze , Cambridge University Press, ISBN 978-0521467131
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza . Mezinárodní série v čisté a aplikované matematice. 8 (druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .