Steiner inellipse - Steiner inellipse
V geometrii je Steiner inellipse , střed inellipse , nebo střed elipsy z trojúhelníku je unikátní elipsa vepsaný v trojúhelníku a tečnou do stran v jejich středy. Je to příklad inellipse . Pro srovnání, vepsaná kružnice a Mandartova inellipse trojúhelníku jsou další koniksy, které jsou tečné ke stranám, ale ne ve středech, pokud není trojúhelník rovnostranný . Steinerovu inellipse připisuje Dörrie Jakobovi Steinerovi a její jedinečnost dokazuje Dan Kalman.
Steinerova inellipse kontrastuje s Steinerovou kruhovou smyčkou , nazývanou také jednoduše Steinerova elipsa, což je jedinečná elipsa, která prochází vrcholy daného trojúhelníku a jejíž střed je těžištěm trojúhelníku .
Definice a vlastnosti
- Definice
Elipsa, která je tečná ke stranám trojúhelníku v jeho středních bodech, se nazývá Steinerova inellipse trojúhelníku .
Vlastnosti:
Pro libovolné trojúhelníku se středy jeho stran, jsou-li splněny následující prohlášení:
a) tam existuje přesně jedna Steiner inellipse.
b) Střed Steinerovy inellipse je těžiště trojúhelníku .
c1) Trojúhelník má stejné těžiště a Steinerova inellipse trojúhelníku je Steinerova elipsa trojúhelníku .
c2) Steinerova inellipsa trojúhelníku je zmenšená Steinerova elipsa s faktorem měřítka 1/2 a těžištěm jako střed. Proto mají obě elipsy stejnou výstřednost , jsou si podobné .
d) Plocha Steinerovy inellipse je - krát plocha trojúhelníku.
e) Steinerova inellipse má největší plochu ze všech inellips trojúhelníku.
- Důkaz
Důkazy vlastností a), b), c) jsou založeny na následujících vlastnostech afinního mapování: 1) jakýkoli trojúhelník lze považovat za afinní obraz rovnostranného trojúhelníku. 2) Středové body stran jsou mapovány na středové body a těžiště na těžištích. Střed elipsy je namapován na střed jejího obrazu.
Proto stačí prokázat vlastnosti a), b), c) pro rovnostranný trojúhelník:
a) Pro jakýkoli rovnostranný trojúhelník existuje kruh . Dotýká se stran ve svých středech. Neexistuje žádný další (nedegenerovaný) kuželovitý řez se stejnými vlastnostmi, protože kuželovitý řez je určen 5 body / tečnami.
b) Jednoduchým výpočtem.
c) Cirkumcircle je mapován pomocí měřítka, s faktorem 1/2 a centroidem jako středem, na incircle. Excentricita je neměnná.
d) Poměr ploch je invariantní k afinním transformacím. Poměr lze tedy vypočítat pro rovnostranný trojúhelník.
e) Viz Inellipse .
Parametrické znázornění a poloosy
Parametrické znázornění:
- Protože Steinerova inellipse trojúhelníku je zmenšená Steinerova elipsa (faktor 1/2, střed je těžiště), získá se parametrické vyjádření odvozené z trigonometrické reprezentace Steinerovy elipsy :
- Tyto 4 vrcholy z Steiner inellipse jsou
- kde je řešení
- s
Poloosy:
- Se zkratkami
- jeden dostane za poloosy :
- Lineární výstřednost v Steiner inellipse je
Trilineární rovnice
Rovnice Steinerovy inellipse v trilineárních souřadnicích pro trojúhelník s délkami stran a, b, c (s těmito parametry, které mají jiný význam než dříve) je
kde x je libovolná kladná konstanta krát vzdálenost bodu od strany délky a , podobně pro b a c se stejnou multiplikativní konstantou.
Další vlastnosti
Délky polovičních a polovičních os pro trojúhelník se stranami a, b, c jsou
kde
Podle Mardenovy věty platí , že pokud jsou tři vrcholy trojúhelníku komplexními nulami kubického polynomu , pak ohniska Steinerovy inellipsy jsou nuly derivace polynomu.
Hlavní osa Steinerovy inellipse je čára nejlepšího ortogonálního uložení pro vrcholy.
Označme jako G , F + a F - respektive těžiště a první a druhý Fermatův bod trojúhelníku. Hlavní osou Steinerovy inellipse trojúhelníku je vnitřní půlící čára ∠ F + GF - . Délky os jsou | GF - | ± | GF + |: to znamená součet a rozdíl vzdáleností Fermatových bodů od těžiště.
Osy Steiner inellipse trojúhelníku jsou tečné k jeho Kiepert paraboly, unikátní paraboly, která je tečná ke stranám trojúhelníku a má řadu Eulerovy jako jeho directrix .
Těžiště Steinerovy inellipse trojúhelníku jsou průsečíky hlavní osy inellipse a kruhu se středem na vedlejší ose a procházející Fermatovými body.
Stejně jako u jakékoli elipsy zapsané do trojúhelníku ABC , necháme ohniska P a Q, která máme
Zobecnění
Steinerovu inellipsu trojúhelníku lze zobecnit na n -gons: některé n -gons mají vnitřní elipsu, která je tečná ke každé straně ve středu strany. Stále platí Mardenova věta: ohniska Steinerovy inellipse jsou nuly derivace polynomu, jehož nuly jsou vrcholy n -gonu.