Stellated octahedron - Stellated octahedron

Stellated octahedron
Viděno jako sloučenina dvou pravidelných čtyřstěnů (červená a žlutá)
Typ	Pravidelná směs
Coxeter symbol	{4,3} [2 {3,3}] {3,4}
Symboly Schläfli	{{3,3}} a {4,3} ß {2,4} ßr {2,2}
Coxeterovy diagramy	∪
Stellation jádro	Octahedron
Konvexní obal	Krychle
Index	UC ₄ , W ₁₉
Mnohostěn	2 čtyřstěn
Tváře	8 trojúhelníků
Hrany	12
Vrcholy	8
Dvojí	Self-dual
Skupina symetrie Coxeterova skupina	O _h , [4,3], pořadí 48 D _4h , [4,2], pořadí 16 D _2h , [2,2], pořadí 8 D_3d , [2⁺ , 6], pořadí 12
Podskupina omezující na jeden prvek	T _d , [3,3], pořadí 24 D _2d , [2⁺ , 4], pořadí 8 D ₂ , [2,2]⁺ , pořadí 4 C_3v , [3], pořadí 6

Stellated octahedron je jediným stellation z octahedron . Říká se mu také stella octangula (latinsky „osmicípá hvězda“), jméno mu dal Johannes Kepler v roce 1609, přestože ho dříve znali geometři . To bylo znázorněno na Pacioli ‚s De Divina Proportione, 1509.

Je to nejjednodušší z pěti pravidelných polyedrických sloučenin a jediná pravidelná sloučenina dvou čtyřstěnů . Je také nejméně hustý z pravidelných polyedrických sloučenin a má hustotu 2.

Může být viděn jako 3D rozšíření hexagramu : hexagram je dvourozměrný tvar vytvořený ze dvou překrývajících se rovnostranných trojúhelníků, centrálně symetrických k sobě navzájem, a stejným způsobem může být stellated octahedron vytvořen ze dvou centrálně symetrických překrývajících se čtyřstěnů . To lze zobecnit na jakékoli požadované množství vyšších dimenzí; čtyřrozměrná ekvivalentní konstrukce je sloučenina dvou 5 buněk . Může být také viděn jako jedna z fází stavby 3D Kochovy sněhové vločky , fraktálního tvaru, který vzniká opakovaným připevněním menších čtyřstěnů ke každému trojúhelníkovému obličeji větší postavy. První etapa stavby sněhové vločky Koch je jediný centrální čtyřstěn a druhým stupněm, který je tvořen přidáním čtyř menších čtyřstěnů k plochám centrálního čtyřstěnu, je hvězdicový osmistěn.

Konstrukce

Kartézské souřadnice hvězdného osmistěnu jsou následující: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1/√2) (± 1, 0, ± 1/√2) (0, ± 1, ± 1/√2)

Hvězdný osmistěn lze sestrojit několika způsoby:

Je to stellation z pravidelného octahedron , sdílejí stejnou tvář letadla. (Viz Wenningerův model W _19. )

V perspektivě	Stellation letadlo	Jediná hvězda pravidelného osmistěnu s jednou hvězdnou rovinou ve žluté barvě.

Je to také pravidelný mnohostěn , když je konstruován jako spojení dvou pravidelných čtyřstěnů (pravidelný čtyřstěn a jeho dvojitý čtyřstěn ).
Lze jej získat jako augmentaci pravidelného osmistěnu přidáním čtyřstěnných pyramid na každou tvář. V této konstrukci má stejnou topologii jako konvexní katalánská pevná látka , triakis octahedron , která má mnohem kratší pyramidy.
Je to facetting z krychle , sdílení uspořádání vrcholů .
Lze to považovat za {4/2} antiprism ; vzhledem k tomu, že {4/2} je tetragram, sloučenina dvou dvoudigonů a čtyřstěn je považován za digonální antiprism, lze to považovat za sloučeninu dvou digonálních antiprismů .
Může být viděn jako síť čtyřrozměrné osmiboké pyramidy , skládající se z centrálního osmistěnu obklopeného osmi čtyřstěny.

Fazetování kostky	Jediný diagonální trojúhelník fazetující červenou barvou

Související pojmy

Stellated octahedron je první iterací 3D analogie sněhové vločky Koch .

Sloučeninu dvou sférických čtyřstěnů lze zkonstruovat, jak je znázorněno.

Dvě čtyřstěny složeného pohledu na hvězdný osmistěn jsou „desmické“, což znamená, že (když je interpretován jako čára v projektivním prostoru ) každý okraj jednoho čtyřstěnu protíná dva protilehlé okraje druhého čtyřstěnu. Jeden z těchto dvou křížení je viditelný ve hvězdném osmistěnu; další křížení probíhá v bodě v nekonečnu projektivního prostoru, mezi dvěma rovnoběžnými hranami dvou čtyřstěnů. Tyto dva čtyřstěny lze doplnit do desmického systému tří čtyřstěnů, kde třetí čtyřstěn má jako čtyři vrcholy tři body křížení v nekonečnu a těžiště dvou konečných čtyřstěnů. Stejných dvanáct vrcholů čtyřstěnu také tvoří body Reyeovy konfigurace .

Čísla stella octangula jsou obrazná čísla, která počítají počet kuliček, které lze uspořádat do tvaru hvězdicového osmistěnu. Oni jsou

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (sekvence A007588 v OEIS )

V populární kultuře

Jako sférické obklady tvoří kombinované hrany ve sloučenině dvou čtyřstěnů kosočtverečný dvanáctistěn .

Stellated octahedron se objeví s několika dalšími mnohostěnnými a polyedrickými sloučeninami v MC Escherově tisku „ Hvězdy “ a poskytuje centrální formu v Escherově dvojitém planetoidu (1949).

Obelisk ve středu náměstí Plaza de Europa [ es ] v Zaragoze ve Španělsku je obklopen dvanácti hvězdicovými osmibokými sloupy veřejného osvětlení.

Někteří moderní mystici spojili tento tvar s „merkabou“, což je podle nich „protiběžně rotující energetické pole“ pojmenované podle staroegyptského slova. Slovo „merkaba“ je však ve skutečnosti hebrejské a vhodněji odkazuje na vůz ve vizích Ezekiela . Podobnost mezi tímto tvarem a dvojrozměrnou Davidovou hvězdou byla také často zaznamenána.