Strukturální stabilita - Structural stability

V matematice je strukturální stabilita základní vlastností dynamického systému, což znamená, že kvalitativní chování trajektorií není ovlivněno malými poruchami (abych byl přesný C 1 - malé poruchy).

Příkladem takových kvalitativních vlastností jsou počty pevných bodů a periodické oběžné dráhy (nikoli však jejich období). Na rozdíl od stability Lyapunova , která bere v úvahu narušení počátečních podmínek pro pevný systém, se strukturální stabilita zabývá poruchami samotného systému. Varianty tohoto pojmu platí pro systémy obyčejných diferenciálních rovnic , vektorová pole na hladkých varietách a toků jimi vytvořených a difeomorfismus .

Strukturálně stabilní systémy zavedli Aleksandr Andronov a Lev Pontryagin v roce 1937 pod názvem „systèmes Grossiers“ neboli drsné systémy . Oznámili charakterizaci drsných systémů v letadle, kritérium Andronov – Pontryagin . V tomto případě jsou typické strukturně stabilní systémy , které tvoří otevřenou hustou soustavu v prostoru všech systémů vybavených vhodnou topologií. Ve vyšších dimenzích to již není pravda, což naznačuje, že typická dynamika může být velmi složitá (viz zvláštní atraktor ). Důležitou třídu strukturně stabilních systémů v libovolných rozměrech poskytují anosovské difeomorfismy a toky.

Definice

Nechť G je otevřená doména v R n s kompaktním uzávěrem a hladkou ( n -1) -dimenzionální hranicí . Předpokládejme prostor X 1 ( G ), skládající se z omezení G na C 1 vektorových polí na R n , které jsou příčné k hranici G a jsou směrem dovnitř orientovaných. Tento prostor je vybaven metrikou C 1 obvyklým způsobem. Vektorové pole F ∈ X 1 ( G ) je slabě strukturně stabilní, pokud pro jakoukoli dostatečně malou poruchu F 1 jsou odpovídající toky topologicky ekvivalentní na G : existuje homeomorfismus h : G → G, který transformuje orientované trajektorie F na orientované trajektorie F 1 . Pokud je navíc pro každou e > 0 homeomorfismus h může být zvolena tak, aby C 0 ε -close na mapu identity, když F 1 patří do vhodného sousedství F v závislosti na e , pak F se nazývá (silně) strukturálně stabilní . Tyto definice se rozšiřují přímým způsobem na případ n -rozměrných kompaktních hladkých variet s ohraničením. Andronov a Pontryagin původně uvažovali o silném majetku. Analogické definice lze uvést pro difeomorfismy místo vektorových polí a toků: v tomto nastavení musí být homeomorfismus h topologickou konjugací .

Je důležité si uvědomit, že topologická ekvivalence je realizována se ztrátou plynulosti: mapa h nemůže být obecně difeomorfismem. Navíc, i když topologická ekvivalence respektuje orientované trajektorie, na rozdíl od topologické konjugace není časově kompatibilní. Proto příslušné pojem topologického ekvivalence je značné oslabení naivním C 1 conjugacy vektorových polí. Bez těchto omezení by žádný nepřetržitý časový systém s pevnými body nebo periodickými dráhami nemohl být strukturálně stabilní. Slabě strukturně stabilní systémy tvoří otevřenou množinu v X 1 ( G ), ale není známo, zda platí stejná vlastnost v silném případě.

Příklady

Nezbytné a dostatečné podmínky pro strukturní stabilitu vektorových polí C 1 na jednotkovém disku D, které jsou příčné k hranici a na dvou sférách S 2 , byly stanoveny v základním článku Andronova a Pontryagina. Podle kritéria Andronov – Pontryagin jsou taková pole strukturálně stabilní právě tehdy, pokud mají pouze konečně mnoho singulárních bodů ( rovnovážné stavy ) a periodické trajektorie ( limitní cykly ), které jsou všechny nedegenerované (hyperbolické) a nemají spojení sedlo-sedlo. Kromě toho non-bloudění sada systému je právě sjednocení singulárních bodů a pravidelných drahách. Zejména strukturně stabilní vektorová pole ve dvou dimenzích nemohou mít homoklinické trajektorie, což enormně komplikuje dynamiku, jak objevil Henri Poincaré .

Strukturní stabilitu ne-singulárních hladkých vektorových polí na torusu lze zkoumat pomocí teorie vyvinuté Poincarým a Arnaudem Denjoyem . Pomocí Poincarého rekurenční mapy se otázka redukuje na stanovení strukturní stability difeomorfismů kruhu . V důsledku věty Denjoy je orientace zachovávající C 2 difeomorfismus ƒ kruhu strukturně stabilní právě tehdy, je-li jeho rotační číslo racionální, ρ ( ƒ ) = p / q a periodické trajektorie, které všechny mají období q , jsou nedegenerované: jakobián z ƒ q v periodických bodech se liší od 1, viz mapa kruhu .

Dmitrij Anosov objevil, že hyperbolické automorfismy torusu, jako je mapa Arnoldovy kočky , jsou strukturálně stabilní. Poté toto tvrzení zobecnil na širší třídu systémů, které se od té doby nazývají anosovské difeomorfismy a anosovské toky. Jeden slavný příklad Anosovova proudění je dán geodetickým prouděním na povrchu s konstantním záporným zakřivením, viz Hadamardův kulečník .

Historie a význam

Strukturální stabilita systému je důvodem pro aplikaci kvalitativní teorie dynamických systémů na analýzu konkrétních fyzikálních systémů. Myšlenka takové kvalitativní analýzy sahá až k práci Henriho Poincarého o problému tří těles v nebeské mechanice . Přibližně ve stejnou dobu Aleksandr Lyapunov pečlivě zkoumal stabilitu malých poruch jednotlivého systému. V praxi není zákon evoluce systému (tj. Diferenciální rovnice) nikdy přesně znám, kvůli přítomnosti různých malých interakcí. Je proto zásadní vědět, že základní rysy dynamiky jsou stejné pro jakoukoli malou poruchu „modelového“ systému, jehož vývoj se řídí určitým známým fyzikálním zákonem. Kvalitativní analýzu dále rozvinul George Birkhoff ve 20. letech 20. století, ale byla nejprve formalizována zavedením konceptu hrubého systému Andronovem a Pontryaginem v roce 1937. To bylo okamžitě použito na analýzu fyzických systémů s oscilacemi Andronova, Witta a Khaikina. Termín „strukturální stabilita“ má na svědomí Solomon Lefschetz , který dohlížel na překlad jejich monografie do angličtiny. Myšlenky strukturální stability převzal Stephen Smale a jeho škola v 60. letech v kontextu hyperbolické dynamiky. Dříve zahájili Marston Morse a Hassler Whitney a René Thom vyvinuli paralelní teorii stability pro diferencovatelné mapy, která tvoří klíčovou součást teorie singularity . Thom předpokládal aplikace této teorie na biologické systémy. Smale i Thom pracovali v přímém kontaktu s Mauríciem Peixotem , který vyvinul Peixotovu větu na konci 50. let.

Když Smale začal rozvíjet teorii hyperbolických dynamických systémů, doufal, že strukturálně stabilní systémy budou „typické“. To by bylo v souladu se situací v nízkých dimenzích: dimenze dva pro toky a dimenze jedna pro difeomorfismy. Brzy však našel příklady vektorových polí na vyšších dimenzionálních varietách, které nelze strukturálně stabilizovat libovolně malou poruchou (takové příklady byly později konstruovány na varietách dimenze tři). To znamená, že ve vyšších dimenzích nejsou strukturálně stabilní systémy husté . Kromě toho může strukturálně stabilní systém mít příčné homoklinické trajektorie hyperbolických sedlových uzavřených drah a nekonečně mnoho periodických drah, i když je fázový prostor kompaktní. Nejbližší dimenzionální analog strukturně stabilních systémů, který považují Andronov a Pontryagin, je dán systémy Morse-Smale .

Viz také

Reference

  • Andronov, Aleksandr A .; Lev S. Pontryagin (1988) [1937]. VI Arnold (ed.). „Грубые системы“ [Hrubé systémy]. Geometrické metody v teorii diferenciálních rovnic . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 250. Springer-Verlag, New York. ISBN   0-387-96649-8 .
  • DV Anosov (2001) [1994], „Rough system“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Charles Pugh a Maurício Matos Peixoto (ed.). "Strukturální stabilita" . Scholarpedia .