Tautochronová křivka - Tautochrone curve

Čtyři kuličky sklouzávají po cykloidní křivce z různých pozic, ale dorazí na dno současně. Modré šipky ukazují zrychlení bodů podél křivky. Nahoře je diagram časové polohy.

Objekty představující tautochronovou křivku

Tautochrone nebo isochrone křivka (z řeckého předpony tauto- což znamená stejné nebo iso- rovné , a Chrono čas ) je křivka, pro které je doba, kterou objekt posuvné bez tření v jednotné gravitaci k jeho nejnižší bod je nezávislá na jeho výchozího bodu na křivka. Křivka je cykloidní a čas se rovná π násobku druhé odmocniny poloměru (kruhu, který vytváří cykloid) nad gravitačním zrychlením. Tautochronová křivka souvisí s brachistochronovou křivkou , která je také cykloidní .

Problém tautochronů

Christiaan Huygens , Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum , 1673

Problém s tautochronem, pokus o identifikaci této křivky, vyřešil Christiaan Huygens v roce 1659. Geometricky dokázal ve svém Horologium Oscillatorium , původně publikovaném v roce 1673, že křivka byla cykloidní .

Na cykloidu, jehož osa je postavena na kolmici a jehož vrchol je umístěn ve spodní části, jsou doby sestupu, ve kterých těleso dorazí do nejnižšího bodu ve vrcholu poté, co se odchýlily od kteréhokoli bodu na cykloidu, rovny každému jiný ...

Huygens také dokázal, že doba sestupu se rovná době, kterou tělo potřebuje, aby svisle kleslo na stejnou vzdálenost jako průměr kruhu, který generuje cykloid, vynásobený . V moderních termínech to znamená, že čas sestupu je , kde je poloměr kruhu, který generuje cykloid, a je to gravitace Země , nebo přesněji řečeno gravitační zrychlení Země. ${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle \ pi {\ sqrt {r / g}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle g}$

Pět izochronních cykloidních kyvadel s různými amplitudami

Toto řešení bylo později použito k řešení problému brachistochronové křivky . Johann Bernoulli problém vyřešil v článku ( Acta Eruditorum , 1697).

Schéma cykloidního kyvadla

Problém tautochronů studoval Huygens podrobněji, když si uvědomil, že kyvadlo, které sleduje kruhovou dráhu, není izochronní, a tak jeho kyvadlové hodiny udrží jiný čas v závislosti na tom, jak daleko kyvadlo kyvalo. Po určení správné cesty se Christiaan Huygens pokusil vytvořit kyvadlové hodiny, které pomocí řetězce zavěšovaly líce bobu a obrubníku poblíž horní části řetězce, aby změnily cestu k tautochronové křivce. Tyto pokusy se ukázaly jako neužitečné z mnoha důvodů. Nejprve ohnutí řetězce způsobí tření a změní načasování. Zadruhé, existovaly mnohem významnější zdroje časových chyb, které přemohly všechna teoretická vylepšení, která cestování po tautochronové křivce pomáhají. Nakonec se „kruhová chyba“ kyvadla zmenšuje se snižující se délkou švihu, takže lepší únik hodin by mohl tento zdroj nepřesnosti výrazně snížit.

Později matematici Joseph Louis Lagrange a Leonhard Euler poskytli analytické řešení problému.

Lagrangeovo řešení

Pokud je poloha částice parametrizována obloukem s ( t ) od nejnižšího bodu, je kinetická energie úměrná potenciální energii úměrnou výšce y ( s ) . Jedním ze způsobů, jak může být křivka isochrón, je to, že Lagrangian je křivka jednoduchého harmonického oscilátoru : výška křivky musí být úměrná druhé mocnině úhlu. ${\ displaystyle {\ dot {s}} ^ {2}.}$

${\ displaystyle y (s) = s ^ {2},}$

kde konstanta proporcionality byla nastavena na 1 změnou jednotek délky. Diferenciální forma tohoto vztahu je

${\ displaystyle dy = 2s \, ds,}$

${\ displaystyle dy ^ {2} = 4s ^ {2} \, ds ^ {2} = 4y \, (dx ^ {2} + dy ^ {2}),}$

který vylučuje s a ponechává diferenciální rovnici pro dx a dy . Chcete-li najít řešení, integrujte pro x z hlediska y :

${\ displaystyle {dx \ over dy} = {{\ sqrt {1-4y}} \ nad 2 {\ sqrt {y}}},}$

${\ displaystyle x = \ int {\ sqrt {1-4u ^ {2}}} \, du,}$

kde . Tento integrál je plocha pod kruhem, kterou lze přirozeně rozřezat na trojúhelník a kruhový klín: ${\ displaystyle u = {\ sqrt {y}}}$

${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}} u {\ sqrt {1-4u ^ {2}}} + {\ frac {1} {4}} \ arcsin 2u,}$

${\ displaystyle y = u ^ {2}.}$

Chcete-li vidět, že se jedná o podivně parametrizovaný cykloid , změňte proměnné tak, abyste definovali úhel a oddělili transcendentální a algebraické části . To přináší ${\ displaystyle \ theta = \ arcsin 2u}$

${\ displaystyle 8x = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta +2 \ theta = \ sin 2 \ theta +2 \ theta,}$

${\ displaystyle 8y = 2 \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ cos 2 \ theta,}$

což je standardní parametrizace, kromě stupnice x , y a  θ .

Řešení „virtuální gravitace“

Nejjednodušším řešením problému tautochronu je zaznamenat přímý vztah mezi úhlem sklonu a gravitací, kterou pociťuje částice na svahu. Částice na 90 ° svislém sklonu prochází plným gravitačním zrychlením , zatímco částice na vodorovné rovině prochází nulovým gravitačním zrychlením. V mezilehlých úhlech je zrychlení v důsledku „virtuální gravitace“ částice . Všimněte si, že se měří mezi tečnou ke křivce a vodorovnou čarou, přičemž úhly nad vodorovnou čarou se považují za kladné úhly. Tak, se liší od až . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g \ sin \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle - \ pi / 2}$${\ displaystyle \ pi / 2}$

Poloha hmoty měřená podél tautochronové křivky musí vyhovovat následující diferenciální rovnici: ${\ displaystyle s (t)}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} s} {{dt} ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} s}$

který spolu s počátečními podmínkami a má řešení: ${\ displaystyle s (0) = s_ {0}}$${\ displaystyle s '(0) = 0}$

${\ displaystyle s (t) = s_ {0} \ cos \ omega t \,}$

Lze snadno ověřit, že toto řešení řeší diferenciální rovnici a že částice dosáhne v čase z jakékoli výchozí polohy . Nyní je problém zkonstruovat křivku, která způsobí, že hmota poslechne výše uvedený pohyb. Newtonův druhý zákon ukazuje, že gravitační síla a zrychlení hmoty souvisí: ${\ displaystyle s = 0}$${\ displaystyle \ pi / 2 \ omega}$${\ displaystyle s_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} -g \ sin \ theta & = {\ frac {d ^ {2} s} {{dt} ^ {2}}} \\ & = - \ omega ^ {2} s \, \ end {zarovnáno}}}$

Explicitní vzhled vzdálenosti ,, je obtížný, ale můžeme se odlišit, abychom získali lépe zvládnutelnou formu: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle g \ cos \ theta \, d \ theta = \ omega ^ {2} \, ds \,}$

nebo

${\ displaystyle ds = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \, d \ theta \,}$

Tato rovnice souvisí se změnou úhlu křivky se změnou vzdálenosti podél křivky. Nyní pomocí trigonometrie vztáhnout úhel k diferenciální délek , a : ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dy}$${\ displaystyle ds}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} ds = {\ frac {dx} {\ cos \ theta}} \\ ds = {\ frac {dy} {\ sin \ theta}} \ end {zarovnáno}}}$

Výměna se ve výše uvedené rovnici nám umožňuje řešit na co se týče : ${\ displaystyle ds}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} ds & = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \, d \ theta \\ {\ frac {dx} {\ cos \ theta}} & = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \, d \ theta \\ dx & = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos ^ {2 } \ theta \, d \ theta \\ & = {\ frac {g} {2 \ omega ^ {2}}} \ left (\ cos 2 \ theta +1 \ right) \, d \ theta \\ x & = {\ frac {g} {4 \ omega ^ {2}}} \ vlevo (\ sin 2 \ theta +2 \ theta \ right) + C_ {x} \ end {zarovnáno}}}$

Podobně můžeme také vyjádřit z hlediska a řešit z hlediska : ${\ displaystyle ds}$${\ displaystyle dy}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} ds & = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \, d \ theta \\ {\ frac {dy} {\ sin \ theta}} & = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \, d \ theta \\ dy & = {\ frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ sin \ theta \ cos \ theta \, d \ theta \\ & = {\ frac {g} {2 \ omega ^ {2}}} \ sin 2 \ theta \, d \ theta \\ y & = - {\ frac {g} { 4 \ omega ^ {2}}} \ cos 2 \ theta + C_ {y} \ end {zarovnáno}}}$

Dosazením a vidíme, že tyto parametrické rovnice pro a jsou rovnicemi bodu v kruhu o poloměru, který se valí podél vodorovné čáry ( cykloidní ), se středem kruhu v souřadnicích : ${\ displaystyle \ phi = 2 \ theta \,}$${\ displaystyle r = {\ frac {g} {4 \ omega ^ {2}}} \,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (C_ {x} + r \ phi, C_ {y})}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} x & = r (\ sin \ phi + \ phi) + C_ {x} \\ y & = - r \ cos \ phi + C_ {y} \ end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že se pohybuje od . Typické je nastavení a tak, aby se nejnižší bod na křivce shodoval s počátkem. Proto: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi}$${\ displaystyle C_ {x} = 0}$${\ displaystyle C_ {y} = r}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} x & = r (\ phi + \ sin \ phi) \\ y & = r (1- \ cos \ phi) \\\ konec {zarovnáno}}}$

Při řešení a zapamatování si, že je to čas potřebný k sestupu, najdeme čas sestupu z hlediska poloměru : ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} r & = {\ frac {g} {4 \ omega ^ {2}}} \\\ omega & = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac { g} {r}}} \\ T & = \ pi {\ sqrt {\ frac {r} {g}}} \\\ konec {zarovnáno}}}$

(Volně založeno na Proctorovi , str. 135–139)

Ábelovo řešení

Niels Henrik Abel zaútočil na zobecněnou verzi problému tautochronu ( Abelův mechanický problém ), konkrétně vzhledem k funkci, která určuje celkovou dobu sestupu pro danou počáteční výšku, najděte rovnici křivky, která vede k tomuto výsledku. Tautochronový problém je zvláštním případem Ábelova mechanického problému, když je konstantní. ${\ displaystyle T (y)}$${\ displaystyle T (y)}$

Ábelovo řešení začíná na principu zachování energie - protože částice je bez tření, a tak neztrácí žádnou energii na zahřívání , její kinetická energie se v každém bodě přesně rovná rozdílu gravitační potenciální energie od jejího počátečního bodu. Kinetická energie je , a protože je částice nucena pohybovat se po křivce, její rychlost je jednoduše tam, kde je vzdálenost měřená podél křivky. Podobně gravitační potenciální energie získaná při pádu z počáteční výšky do výšky je tedy: ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dt}}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle y_ {0} \,}$${\ displaystyle y \,}$${\ displaystyle mg (y_ {0} -y) \,}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {d \ ell} {dt}} \ right) ^ {2} & = mg (y_ {0} -y) \\ {\ frac {d \ ell} {dt}} & = \ pm {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}} \\ dt & = \ pm {\ frac {d \ ell} {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}} \\ dt & = - {\ frac {1} {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}} {\ frac {d \ ell } {dy}} \, dy \ end {zarovnáno}}}$

V poslední rovnici jsme očekávali zápis zbývající vzdálenosti podél křivky jako funkci výšky ( , uvědomili jsme si, že zbývající vzdálenost se musí zmenšovat, jak se čas zvyšuje (tedy znaménko mínus), a použili jsme pravidlo řetězu ve formě . ${\ displaystyle \ ell (y))}$${\ displaystyle d \ ell = {\ frac {d \ ell} {dy}} dy}$

Nyní integrujeme od do, abychom získali celkovou dobu potřebnou k pádu částice: ${\ displaystyle y = y_ {0}}$${\ displaystyle y = 0}$

${\ displaystyle T (y_ {0}) = \ int _ {y = y_ {0}} ^ {y = 0} \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2g}}} \ int _ { 0} ^ {y_ {0}} {\ frac {1} {\ sqrt {y_ {0} -y}}} {\ frac {d \ ell} {dy}} \, dy}$

Tomu se říká Ábelova integrální rovnice a umožňuje nám vypočítat celkovou dobu potřebnou k tomu, aby částice padla podél dané křivky (pro kterou by bylo snadné vypočítat). Ábelov mechanický problém však vyžaduje obrácenou odpověď , kterou bychom chtěli najít , z níž by přímočaře vyplývala rovnice pro křivku. Chcete-li pokračovat, bereme na vědomí, že integrál na pravé straně je konvoluce o s a tím vzít Laplace převádí z obou stran, pokud jde o proměnné : ${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dy}}}$${\ displaystyle T (y_ {0}) \,}$${\ displaystyle f (y) = {\ frac {d \ ell} {dy}}}$${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dy}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {y}}}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [T (y_ {0})] = {\ frac {1} {\ sqrt {2g}}} {\ mathcal {L}} \ vlevo [{\ frac {1} {\ sqrt {y}}} \ vpravo] F (s)}$

kde Od teď máme výraz pro Laplaceovu transformaci z hlediska Laplaceovy transformace: ${\ displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ doleva [{\ frac {d \ ell} {dy}} \ doprava]}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {y}}} \ right] = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {s}}}}$${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dy}}}$${\ displaystyle T (y_ {0}) \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ vlevo [{\ frac {d \ ell} {dy}} \ doprava] = {\ sqrt {\ frac {2g} {\ pi}}} s ^ {\ frac { 1} {2}} {\ mathcal {L}} [T (y_ {0})]}$

Je to tak daleko, jak můžeme jít bez upřesnění . Jakmile je známo, můžeme vypočítat jeho Laplaceovu transformaci, vypočítat Laplaceovu transformaci a poté provést inverzní transformaci (nebo se pokusit) najít . ${\ displaystyle T (y_ {0}) \,}$${\ displaystyle T (y_ {0}) \,}$${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dy}}}$${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dy}}}$

Pro problém s tautochronem je konstantní. Protože Laplaceova transformace 1 je , tj. , Najdeme tvarovou funkci : ${\ displaystyle T (y_ {0}) = T_ {0} \,}$${\ displaystyle {\ frac {1} {s}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [T (y_ {0})] = {\ frac {T_ {0}} {s}}}$${\ displaystyle f (y) = {\ frac {d \ ell} {dy}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F (s) = {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {d \ ell} {dy}} \ right] & = {\ sqrt {\ frac {2g} {\ pi}}} s ^ {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {L}} [T_ {0}] \\ & = {\ sqrt {\ frac {2g} {\ pi}}} T_ {0} s ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ end {zarovnáno}}}$

Opětovné použití Laplaceovy transformace výše provedeme invertování transformace a závěr:

${\ displaystyle {\ frac {d \ ell} {dy}} = T_ {0} {\ frac {\ sqrt {2g}} {\ pi}} {\ frac {1} {\ sqrt {y}}}}$

Je možné ukázat, že cykloid dodržuje tuto rovnici. Potřebuje o krok dále, aby udělal integrál s ohledem na získání vyjádření tvaru cesty. ${\ displaystyle y}$

( Simmons , oddíl 54).

Viz také

• Variační počet
• Beltrami identita
• Cykloidní
• Catenary
• Rovnoměrně zrychlený pohyb
• Brachistochronová křivka

Reference

Bibliografie

• Simmons, George, Diferenciální rovnice s aplikacemi a historickými poznámkami, McGraw-Hill, 1972. ISBN  0-07-057540-1 .
• Proctor, Richard, Pojednání o Cykloidu a všech formách Cykloidních křivek (1878), zveřejněno v Cornell University Library .

externí odkazy

• Mathworld