Ultrafinitismus - Ultrafinitism

V filozofie matematiky , ultrafinitism (také známý jako ultraintuitionism , přísné formalismu , přísné finitism , actualism , predicativism a silné finitism ) je forma finitism a intuicionismu . Existují různé filozofie matematiky, které se nazývají ultrafinitismus. Hlavní identifikační vlastností, která je běžná u většiny těchto filozofií, jsou jejich námitky vůči souhrnu funkcí teoretických čísel, jako je umocňování nad přirozenými čísly .

Hlavní myšlenky

Stejně jako ostatní finitists , ultrafinitists popírají existenci nekonečné množině N z přirozených čísel .

Někteří ultrafinitisté se navíc zabývají přijetím předmětů v matematice, které v praxi nikdo neumí postavit kvůli fyzickým omezením při konstrukci velkých konečných matematických objektů. Někteří ultrafinitisté tedy popírají nebo se zdrží přijetí existence velkých čísel, například podlahy prvního Skewesova čísla , což je obrovské číslo definované pomocí exponenciální funkce jako exp (exp (exp (79))), popř.

{\ Displaystyle e^{e^{e^{79}}}.}

Důvodem je, že dosud nikdo nevypočítal, jaké přirozené číslo je spodní hranicí tohoto skutečného čísla , a možná to ani není fyzicky možné. Podobně (v Knuthově notaci se šipkou nahoru ) by byl považován pouze za formální výraz, který neodpovídá přirozenému číslu. Značka ultrafinitismu zabývající se fyzickou realizovatelností matematiky se často nazývá realismus . ${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6}$

Edward Nelson kritizoval klasické pojetí přirozených čísel kvůli kruhovitosti jeho definice. V klasické matematice jsou přirozená čísla definována jako 0 a čísla získaná iteračními aplikacemi nástupnické funkce na 0. Ale koncept přirozeného čísla je již pro iteraci předpokládán. Jinými slovy, k získání čísla, jako je číslo jedna, je třeba provést nástupnickou funkci iterativně (ve skutečnosti přesně krát) na 0. ${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6}$ ${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6}$

Některé verze ultrafinitismu jsou formami konstruktivismu , ale většina konstruktivistů považuje filozofii za nefunkčně extrémní. Logický základ ultrafinitismu je nejasný; ve svém komplexním průzkumu Konstruktivismus v matematice (1988) to konstruktivní logik AS Troelstra zavrhl slovy „v současné době neexistuje uspokojivý vývoj“. Nebyla to ani tak filozofická námitka, jako spíš přiznání, které v přísné práci matematické logiky prostě nebylo dostatečně přesné, aby obsahovalo.

Lidé spojování s ultrafinitismem

Seriózní práci na ultrafinitismu vedl od roku 1959 až do své smrti v roce 2016 Alexander Esenin-Volpin , který v roce 1961 načrtl program pro prokázání konzistence teorie množin Zermelo – Fraenkel v ultrafinitní matematice. Mezi další matematiky, kteří v tomto tématu pracovali, patří Doron Zeilberger , Edward Nelson , Rohit Jivanlal Parikh a Jean Paul Van Bendegem . Filozofie je také někdy spojována s vírou Ludwiga Wittgensteina , Robina Gandyho , Petra Vopěnky a J. Hjelmsleva .

Shaughan Lavine vyvinul formu set-teoretického ultrafinitismu, který je v souladu s klasickou matematikou. Lavine ukázal, že lze dodržovat základní principy aritmetiky jako „neexistuje největší přirozené číslo“, protože Lavine umožňuje zahrnutí „neurčitě velkých“ čísel.

Omezení založená na teorii výpočetní složitosti

Další úvahy o možnosti vyhnout se těžkým velkým číslům mohou být založeny na teorii výpočetní složitosti , jako v práci Andras Kornai o explicitním finitismu (který nepopírá existenci velkého počtu) a Vladimir Sazonovově pojmu proveditelného počtu .

Došlo také značný formální vývoj ve verzích ultrafinitism, které jsou založeny na teorii složitosti, stejně jako Samuel Buss je ohraničené aritmetických teorií, které zachycují matematiky spojených s různými třídami složitosti, jako je P a PSPACE . Bussovu práci lze považovat za pokračování práce Edwarda Nelsona na predikativní aritmetice, protože ohraničené aritmetické teorie jako S12 jsou interpretovatelné v teorii Raphaela Robinsona Q, a proto jsou predikativní v Nelsonově smyslu. Síla těchto teorií pro rozvoj matematiky je studována v Ohraničené reverzní matematice, jak ji lze nalézt v pracích Stephen A. Cook a Phuong The Nguyen . Tyto výzkumy však nejsou filozofiemi matematiky, ale spíše studiem omezených forem uvažování podobných reverzní matematice .

Viz také

Transcomputational problém

Poznámky

Reference

Ésénine-Volpine, AS (1961), „Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques“, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warsaw, 1959) , Oxford: Pergamon, s. 201–223, MR 0147389Recenze: Kreisel, G .; Ehrenfeucht, A. (1967), „Review of Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques by AS Ésénine-Volpine“, The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 32 (4): 517, doi : 10.2307/2270182 , JSTOR 2270182
Lavine, S., 1994. Understanding the Infinite , Cambridge, MA: Harvard University Press.

Languages

In other projects