kardinální úkol von Neumanna - von Neumann cardinal assignment

Von Neumann přiřazení kardinál je úkol kardinál , který používá řadové číslovky . Pro dobře orderable sady U , definujeme jejich kardinální číslo jako nejmenší pořadové číslo equinumerous do U , pomocí definice von Neumann a pořadové číslo. Přesněji:

${\ displaystyle | U | = \ mathrm {karta} (U) = \ inf \ {\ alpha \ in \ mathrm {ON} \ | \ \ alpha = _ {c} U \},}$

kde ON je třída ordinálů. Tento ordinál se také nazývá počáteční ordinál kardinála.

To, že takový ordinál existuje a je jedinečný, zaručuje skutečnost, že U je dobře objednatelné a že třída ordinálů je dobře uspořádaná pomocí axiomu nahrazení . S plnou axiomu výběru je každá sada dobře objednatelná, takže každá sada má kardinála; kardinály objednáváme pomocí zděděného řazení z řadových čísel. Snadno se zjistí, že se to shoduje s objednáváním pomocí ≤ _c . Toto je řádná objednávka hlavních čísel.

Počáteční ordinál kardinála

Každý ordinál má přidruženého kardinála , jeho mohutnost, získaného jednoduše zapomenutím na objednávku. Jakákoli dobře uspořádaná množina, která má tento pořadový řádek jako typ objednávky, má stejnou mohutnost. Nejmenší ordinál, který má daného kardinála jako svou mohutnost, se nazývá počáteční ordinál tohoto kardinála. Každé konečné pořadové číslo ( přirozené číslo ) je počáteční, ale většina nekonečných pořadových čísel není počáteční. Axiom výběru je ekvivalentní k prohlášení, že každý soubor může být spořádané, tedy že každý kardinál má počáteční pořadové číslo. V tomto případě je tradiční identifikovat základní číslo s jeho počátečním pořadovým číslem a my říkáme, že počáteční pořadové číslo je kardinál.

Je zapsán -tý nekonečný počáteční ordinál . Je napsána jeho mohutnost ( -té číslo alef ). Například, mohutnost IS , který je také mohutnost , a (všechny jsou počitatelná řadové). Takže se ztotožňujeme s , kromě toho, že notace se používá pro psaní kardinálů a pro psaní ordinálů. To je důležité, protože aritmetika na kardinálech se liší od aritmetiky na ordinálech , například  =  vzhledem k tomu  >  . Také je nejmenší nespočetné pořadové číslo (abyste zjistili, že existuje, zvažte sadu tříd ekvivalence řádových objednávek přirozených čísel; každé takové řádové řazení definuje spočetné pořadové číslo a je typem pořadí dané množiny), je nejmenší ordinál, jehož mohutnost je větší než atd., a je limitem pro přirozený počet (jakýkoli limit kardinálů je kardinál, takže tento limit je po všech stránkách první kardinál ). ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

Nekonečné počáteční ordinály jsou limitní ordinály. Použitím ordinální aritmetiky znamená , a 1 ≤ α <ω _β znamená α  · ω _β = ω _β a 2 ≤ α <ω _β znamená α ^{ω _β} = ω _β . Pomocí hierarchie Veblen , beta ≠ 0 a α <omega _beta znamenat, a a gamma _{omega beta} = omega _beta . Ve skutečnosti se dá jít mnohem dál. Takže jako ordinál je nekonečný počáteční ordinál extrémně silným druhem limitu. ${\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ alpha + \ omega _ {\ beta} = \ omega _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ omega _ {\ beta}) = \ omega _ {\ beta} \,}$

Viz také

• Aleph číslo

Reference

• YN Moschovakis Poznámky k teorii množin (1994 Springer) str. 198