Weylova skupina - Weyl group

Lež skupiny
Klasické skupiny
Jednoduché Lie skupiny Klasický A n B č C č D č Výjimečný G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry
Poloplná Lieova algebra
Teorie reprezentace
Lež skupiny ve fyzice
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin
proti t E

V matematiky , zejména teorie algeber je skupina Weyl (pojmenoval Hermann Weyl ) z kořenového systému cp je podskupina z isometry skupiny tohoto kořenového systému. Konkrétně se jedná o podskupinu, která je generována odrazy přes hyperplany kolmé ke kořenům, a jako taková je skupinou konečných odrazů . Ve skutečnosti se ukazuje, že většina konečných reflexních skupin jsou Weylovy skupiny. Abstraktně jsou Weylovy skupiny konečné Coxeterovy skupiny a jsou jejich důležitým příkladem.

Weylova skupina polojednodušé Lieovy skupiny , polojednodušá Lieova algebra , polojednodušá lineární algebraická skupina atd. Je Weylova skupina kořenového systému této skupiny nebo algebry .

Definice a příklady

Nechť je kořenový systém v euklidovském prostoru . Pro každý kořen , ať označují odraz o nadrovině kolmo k , který je uveden jako výslovně ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle s _ {\ alpha} (v) = v-2 {\ frac {(v, \ alpha)} {(\ alpha, \ alpha)}} \ alpha}$,

kde je vnitřní produkt . Skupina Weyl z je podskupina ortogonální skupiny generované všemi očím. Podle definice kořenového systému každý zachovává , z čehož vyplývá, že jde o konečnou skupinu. ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle O (V)}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle W}$

Například v případě kořenového systému jsou hyperplány kolmé ke kořenům pouze čáry a Weylova skupina je skupinou symetrie rovnostranného trojúhelníku, jak je znázorněno na obrázku. Jako skupina je izomorfní s permutační skupinou na třech prvcích, o kterých si můžeme myslet jako o vrcholech trojúhelníku. Všimněte si, že v tomto případě nejde o úplnou skupinu symetrie kořenového systému; rotace o 60 stupňů zachovává, ale není součástí . ${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle W}$

Můžeme uvažovat také o kořenovém systému. V tomto případě je prostor všech vektorů, v jejichž záznamech je součet nula. Kořeny se skládají z vektorů formy , kde je tý standardní element báze . Odrazem spojeným s takovým kořenem je transformace získaná záměnou th a th záznamů každého vektoru. Weylova skupina pro je pak permutační skupina pro prvky. ${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle e_ {i} -e_ {j}, \, i \ neq j}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle n + 1}$

Weylovy komory

Pokud je kořenový systém, můžeme uvažovat nadrovinu kolmo ke každému kořenu . Připomeňme, že označuje odraz o nadrovině a že skupina Weyl je skupina transformací generovaných všemi . Komplement sady hyperplánů je odpojen a každá připojená součást se nazývá Weylova komora . Pokud jsme fixovali konkrétní množinu Δ jednoduchých kořenů, můžeme definovat základní Weylovu komoru spojenou s Δ jako množinu bodů tak, že pro všechny . ${\ displaystyle \ Phi \ podmnožina V}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle v \ ve V}$${\ displaystyle (\ alpha, v)> 0}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$

Protože odrazy zachovávají , zachovávají také sadu hyperplánů kolmých ke kořenům. Každý prvek skupiny Weyl tedy permutuje Weylovy komory. ${\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Obrázek ilustruje případ kořenového systému A2. „Hyperplány“ (v tomto případě jednorozměrné) kolmé ke kořenům jsou označeny čárkovanými čarami. Šest 60-ti stupňových sektorů jsou Weylovy komory a stínovaná oblast je základní Weylova komora spojená s označenou základnou.

Základní obecná věta o Weylových komorách je tato:

Věta : Weylova skupina působí volně a přechodně na Weylovy komory. Pořadí Weylovy skupiny se tedy rovná počtu Weylových komor.

Souvisejícím výsledkem je tento:

Věta : Opravte Weylovu komoru . Pak pro všechny se Weyl-oběžná dráha obsahuje přesně jeden bod v uzavření části .${\ displaystyle C}$${\ displaystyle v \ ve V}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle {\ bar {C}}}$${\ displaystyle C}$

Struktura skupiny coxeterů

Generátorová sada

Klíčovým výsledkem skupiny Weyl je toto:

Věta : Pokud je základem pro , pak je Weylova skupina generována odrazy s in .${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Delta}$

To znamená, že skupina generovaná odrazy je stejná jako skupina generovaná odrazy . ${\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alfa \ v \ Delta,}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Phi}$

Vztahy

Mezitím, pokud a jsou uvnitř , pak Dynkinův diagram pro relativní vztah k základně nám říká něco o tom, jak se pár chová. Konkrétně předpokládejme a jsou odpovídající vrcholy v Dynkinově diagramu. Pak máme následující výsledky: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ {s _ {\ alpha}, s _ {\ beta} \}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$

• Pokud neexistuje vazba mezi a , pak a dojíždějte. Protože a každý má pořadí dva, odpovídá to tomu .${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ beta}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ beta}}$${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {2} = 1}$
• Pokud existuje jedna vazba mezi a , pak .${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {3} = 1}$
• Pokud existují dvě vazby mezi a , pak .${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {4} = 1}$
• Pokud existují tři vazby mezi a , pak .${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {6} = 1}$

Předchozí tvrzení není těžké ověřit, pokud si jednoduše pamatujeme, co nám Dynkinův diagram říká o úhlu mezi každou dvojicí kořenů. Pokud například mezi dvěma vrcholy není žádná vazba, pak a jsou ortogonální, ze kterých snadno vyplývá, že odpovídající odrazy dojíždějí. Obecněji řečeno, počet vazeb určuje úhel mezi kořeny. Produktem těchto dvou odrazů je pak rotace o úhel v rovině rozložené a , jak může čtenář ověřit, z čehož snadno vyplývá výše uvedený nárok. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Jako skupina Coxeter

Weylové skupiny jsou příklady konečných reflexních skupin, protože jsou generovány odrazy; abstraktní skupiny (nepovažované za podskupiny lineární skupiny) jsou tedy konečné Coxeterovy skupiny , což umožňuje jejich klasifikaci podle jejich Coxeter – Dynkinova diagramu . Být skupinou Coxeter znamená, že skupina Weyl má speciální druh prezentace, ve kterém je každý generátor x _i řádu dva a jiné vztahy než x _i ² = 1 jsou ve tvaru ( x _i x _j ) ^{m _ij} = 1 . Generátory jsou odrazy dané jednoduchými kořeny a m _ij je 2, 3, 4 nebo 6 v závislosti na tom, zda kořeny i a j tvoří úhel 90, 120, 135 nebo 150 stupňů, tj. Zda v Dynkinově diagramu jsou nespojené, spojené jednoduchou hranou, spojené dvojitou hranou nebo spojené trojitou hranou. Tyto vztahy jsme již zaznamenali v odrážkách výše, ale abychom řekli, že jde o skupinu Coxeter, říkáme, že to jsou jediné vztahy . ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$

Weylovy skupiny mají z hlediska této prezentace Bruhatovo pořadí a délkovou funkci : délka prvku Weylovy skupiny je délka nejkratšího slova představujícího tento prvek z hlediska těchto standardních generátorů. Existuje jedinečný nejdelší prvek skupiny Coxeter , který je naproti identitě v Bruhatově řádu.

Weylovy skupiny v algebraickém, skupinově-teoretickém a geometrickém nastavení

Nahoře byla skupina Weyl definována jako podskupina izometrické skupiny kořenového systému. Existují také různé definice Weylových skupin specifické pro různé skupinové teoretické a geometrické kontexty ( Lieova algebra , Lieova skupina , symetrický prostor atd.). Pro každý z těchto způsobů definování Weylových skupin je (obvykle netriviální) věta, že se jedná o Weylovou skupinu ve smyslu definice v horní části tohoto článku, konkrétně o Weylovu skupinu nějakého kořenového systému spojeného s objektem. Konkrétní realizace takové Weylovy skupiny obvykle závisí na volbě - např. Cartanova subalgebry pro Lieovu algebru, maximálního torusu pro Lieovu skupinu.

Weylova skupina propojené kompaktní Lieovy skupiny

Nechť je připojená kompaktní Lieova skupina a nechme být maximálním torusem dovnitř . Potom jsme zavedli Normalizer z oblasti , označený a definovaný jako ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle N (T)}$

${\ displaystyle N (T) = \ {x \ v K | xtx ^ {- 1} \ v T, \, {\ text {pro všechny}} t \ v T \}}$.

Máme také definovat centrátoru v oblasti , označený a definovaný jako ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle Z (T)}$

${\ displaystyle Z (T) = \ {x \ v K | xtx ^ {- 1} = t \, {\ text {pro všechny}} t \ v T \}}$.

Skupina Weyl z (vztaženo na danou maximální anuloidu ), je potom definována jako zpočátku ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle W = N (T) / T}$.

Nakonec lze dokázat, že v tomto okamžiku má alternativní popis skupiny Weyl jako ${\ displaystyle Z (T) = T}$

${\ displaystyle W = N (T) / Z (T)}$.

Nyní lze definovat kořenový systém přidružený k páru ; kořeny jsou nenulové váhy adjunktové akce na Lieově algebře . Pro každou , lze sestrojit prvek z jehož působení na má formu odrazu. S trochu větším úsilím lze ukázat, že tyto odrazy generují vše . Nakonec tedy Weylova skupina, jak je definována jako nebo je izomorfní s Weylovou skupinou kořenového systému . ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle (K, T)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle x _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N (T)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle N (T) / Z (T)}$${\ displaystyle N (T) / T}$${\ displaystyle N (T) / Z (T)}$${\ displaystyle \ Phi}$

V dalších nastaveních

U složité polojednodušé Lieovy algebry je Weylova skupina jednoduše definována jako reflexní skupina generovaná odrazy v kořenech - konkrétní realizace kořenového systému v závislosti na volbě kartanské subalgebry .

Pro Lieovu skupinu G splňující určité podmínky, vzhledem k torusu T < G (který nemusí být maximální), je Weylova skupina s ohledem na tento torus definována jako kvocient normalizátoru torusu N = N ( T ) = N _G ( T ) centralizátorem torusu Z = Z ( T ) = Z _G ( T ),

${\ displaystyle W (T, G): = N (T) / Z (T). \}$

Skupina W je konečná - Z je konečného indexu v N . Pokud T = T ₀ se o maximální torus (tak, aby se rovná vlastní centrátor: ), pak výsledný podíl N / Z = N / T se nazývá skupina Weyl z G , a označil W ( G ). Všimněte si, že konkrétní množina kvocientů závisí na volbě maximálního torusu , ale výsledné skupiny jsou všechny izomorfní (vnitřním automorfismem G ), protože maximální tori jsou konjugované. ${\ displaystyle Z (T_ {0}) = T_ {0}}$

Pokud je G kompaktní a propojený a T je maximální torus, pak je Weylova skupina G isomorfní s Weylovou skupinou její Lieovy algebry, jak je popsáno výše.

Například pro obecnou lineární skupinu GL je maximálním torusem podskupina D invertibilních diagonálních matic, jejichž normalizátorem jsou zobecněné permutační matice (matice ve formě permutačních matic , ale s nenulovými čísly místo ') 1) a jehož Weylova skupina je symetrická skupina . V tomto případě se podíl mapa N → N / T rozděluje (přes permutační matrice), takže normalizátor N se o semidirect produkt anuloidu a skupinou Weyl, a skupinou Weyl, může být vyjádřena jako podskupina G . Obecně to není vždy případ - kvocient nemusí vždy rozdělen je normalizer N není vždy semidirect produkt z W a Z, a skupina Weyl, nemůže být vždy realizován jako podskupina G.

Bruhatův rozklad

Pokud B je Borel podskupina z G , tj maximální připojený řešitelný podskupinu a maximální torus T = T ₀ je vybrán ležet v B , pak dostaneme Bruhat rozkladu

${\ displaystyle G = \ bigcup _ {w \ in W} BwB}$

což vede k rozkladu vlajkové odrůdy G / B na Schubertovy buňky (viz Grassmannian ).

Struktura Hasseova diagramu skupiny souvisí geometricky s kohomologií variet (spíše reálných a komplexních forem skupiny), která je omezena Poincarého dualitou . Algebraické vlastnosti Weylovy skupiny tedy odpovídají obecným topologickým vlastnostem variet. Například Poincaré dualita dává párování mezi buňkami v dimenzi k a v dimenzi n - k (kde n je dimenze potrubí): dolní (0) dimenzionální buňka odpovídá prvku identity skupiny Weyl a duální top-dimenzionální buňka odpovídá nejdelšímu prvku skupiny Coxeter .

Analogie s algebraickými skupinami

Mezi algebraickými skupinami a Weylovými skupinami existuje řada analogií - například počet prvků symetrické skupiny je n ! A počet prvků obecné lineární skupiny přes konečné pole souvisí s faktorem q ; tak se symetrická skupina chová, jako by to byla lineární skupina nad „polem s jedním prvkem“. To je formalizováno polem s jedním prvkem , které považuje Weylovy skupiny za jednoduché algebraické skupiny nad polem s jedním prvkem. ${\ displaystyle [n] _ {q}!}$

Kohomologie

Pro neabelovskou připojenou kompaktní Lieovu skupinu G souvisí první skupinová kohomologie Weylovy skupiny W s koeficienty v maximálním torusu T použitém k její definici a souvisí s vnější skupinou automorfismu normalizátoru jako: ${\ displaystyle N = N_ {G} (T),}$

${\ displaystyle \ operatorname {Out} (N) \ cong H ^ {1} (W; T) \ rtimes \ operatorname {Out} (G).}$

Vnější automorfismy skupiny Out ( G ) jsou v podstatě diagramové automatorfismy Dynkinova diagramu , zatímco skupinová kohomologie je počítána v Hämmerli, Matthey & Suter 2004 a je konečnou základní abelianskou 2 skupinou ( ); pro jednoduché Lieovy skupiny má řád 1, 2 nebo 4. Kohomologie 0. a 2. skupiny také úzce souvisí s normalizátorem. ${\ displaystyle (\ mathbf {Z} / 2) ^ {k}}$

Viz také

• Afinní skupina Weyl
• Poloplná Lie algebra # Cartan subalgebry a kořenové systémy
• Maximální torus
• Kořenový systém pololehké Lieovy algebry
• Hasseův diagram

Poznámky pod čarou

Poznámky

Citace

Reference

Další čtení

externí odkazy

• „Coxeter group“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Coxeter group“ . MathWorld .
• Software Jenn pro vizualizaci Cayleyových grafů konečných Coxeterových skupin až na čtyřech generátorech