Widom škálování - Widom scaling

Widom měřítka (po Benjamin Widom ) je hypotéza ve statistické mechanice , pokud jde o volné energie jednoho magnetického systému v blízkosti svého kritického bodu , což vede k kritické exponenty stává již nezávislé tak, aby mohly být nastaven s ohledem na dvě hodnoty. Hypotézu lze chápat jako přirozený důsledek postupu renormalizace bloku-spin, kdy je velikost bloku zvolena stejně velká jako délka korelace.

Widom škálování je příkladem univerzálnosti .

Definice

Kritické exponenty a jsou definovány z hlediska chování parametrů objednávky a funkcí odezvy poblíž kritického bodu následujícím způsobem ${\ displaystyle \ alpha, \ alpha ', \ beta, \ gama, \ gama'}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle M (t, 0) \ simeq (-t) ^ {\ beta}}$, pro ${\ displaystyle t \ uparrow 0}$

${\ displaystyle M (0, H) \ simeq | H | ^ {1 / \ delta} \ mathrm {znamení} (H)}$, pro ${\ displaystyle H \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle \ chi _ {T} (t, 0) \ simeq {\ begin {cases} (t) ^ {- \ gamma}, & {\ textrm {for}} \ t \ downarrow 0 \\ (- t ) ^ {- \ gamma '}, & {\ textrm {for}} \ t \ uparrow 0 \ end {cases}}}$

${\ displaystyle c_ {H} (t, 0) \ simeq {\ begin {cases} (t) ^ {- \ alpha} & {\ textrm {for}} \ t \ downarrow 0 \\ (- t) ^ { - \ alpha '} & {\ textrm {for}} \ t \ uparrow 0 \ end {cases}}}$

kde

${\ displaystyle t \ equiv {\ frac {T-T_ {c}} {T_ {c}}}}$ měří teplotu vzhledem ke kritickému bodu.

V blízkosti kritického bodu se čte Widomův škálovací vztah

${\ displaystyle H (t) \ simeq M | M | ^ {\ delta -1} f (t / | M | ^ {1 / \ beta})}$.

kde má expanzi ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (t / | M | ^ {1 / \ beta}) \ přibližně 1 + {\ rm {const}} \ krát (t / | M | ^ {1 / \ beta}) ^ {\ omega} + \ dots}$,

s tím, že je Wegnerovým exponentem, který řídí přístup k škálování . ${\ displaystyle \ omega}$

Derivace

Hypotéza škálování spočívá v tom, že poblíž kritického bodu lze volnou energii v rozměrech napsat jako součet pomalu se měnící pravidelné části a singulární části , přičemž singulární část je funkcí škálování, tj. Homogenní funkce , takže že ${\ displaystyle f (t, H)}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f_ {r}}$${\ displaystyle f_ {s}}$

${\ displaystyle f_ {s} (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} f_ {s} (t, H) \,}$

Pak brát parciální derivace vzhledem k H a formě M (t, H) dává

${\ displaystyle \ lambda ^ {q} M (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} M (t, H) \,}$

Nastavení a v předchozí rovnici výnosy ${\ displaystyle H = 0}$${\ displaystyle \ lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$

${\ displaystyle M (t, 0) = (- t) ^ {\ frac {dq} {p}} M (-1,0),}$ pro ${\ displaystyle t \ uparrow 0}$

Ve srovnání s definicí výnosů je jeho hodnota, ${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {dq} {p}} \ equiv {\ frac {\ nu} {2}} (d-2 + \ eta).}$

Podobně uvedení a do škálovacího vztahu pro výnosy M.${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ lambda = H ^ {- 1 / q}}$

${\ displaystyle \ delta = {\ frac {q} {dq}} \ equiv {\ frac {d + 2- \ eta} {d-2 + \ eta}}.}$

Proto

${\ displaystyle {\ frac {q} {p}} = {\ frac {\ nu} {2}} (d + 2- \ eta), ~ {\ frac {1} {p}} = \ nu.}$

Použití výrazu pro izotermickou susceptibilitu ve smyslu M na výtěžky relace škálování ${\ displaystyle \ chi _ {T}}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2q} \ chi _ {T} (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} \ chi _ {T} (t, H) \,}$

Nastavení H = 0 a pro (resp. Pro ) výnosy ${\ displaystyle \ lambda = (t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ downarrow 0}$${\ displaystyle \ lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ uparrow 0}$

${\ displaystyle \ gamma = \ gamma '= {\ frac {2q-d} {p}} \,}$

Podobně pro vyjádření specifického tepla ve smyslu M k výtěžkům z měřítka ${\ displaystyle c_ {H}}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2p} c_ {H} (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} c_ {H} (t, H) \,}$

Vezmeme - li H = 0 a pro (nebo pro výnosy ${\ displaystyle \ lambda = (t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ downarrow 0}$${\ displaystyle \ lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ uparrow 0)}$

${\ displaystyle \ alpha = \ alpha '= 2 - {\ frac {d} {p}} = 2- \ nu d}$

V důsledku škálování Widom nejsou všechny kritické exponenty nezávislé, ale lze je parametrizovat dvěma čísly se vztahy vyjádřenými jako ${\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ alpha = \ alpha '= 2- \ nu d,}$

${\ displaystyle \ gamma = \ gamma '= \ beta (\ delta -1) = \ nu (2- \ eta).}$

Vztahy jsou experimentálně dobře ověřeny pro magnetické systémy a kapaliny.

Reference

• HE Stanley, Úvod do fázových přechodů a kritických jevů
• H. Kleinert a V. Schulte-Frohlinde, Kritické vlastnosti φ ^4- teorií , World Scientific (Singapur, 2001) ; Brožovaná ISBN  981-02-4658-7 (k dispozici také online )