Homogenní funkce - Homogeneous function

V matematice je homogenní funkce funkcí s multiplikativním škálovacím chováním: pokud jsou všechny její argumenty vynásobeny faktorem , pak se jeho hodnota znásobí nějakou silou tohoto faktoru.

Například homogenní reálná funkce dvou proměnných a je to funkce s reálnou hodnotou, která splňuje podmínku pro nějakou konstantu a všechna reálná čísla Konstanta se nazývá stupeň homogenity . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle f (rx, ry) = r^{k} f (x, y)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle r.}$${\ displaystyle k}$

Obecněji řečeno, pokud je funkce mezi dvěma vektorovými mezerami nad polem a je to celé číslo , pak se říká, že je homogenní stupně, pokud ${\ displaystyle f: V \ až W}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle f (s \ mathbf {v}) = s^{k} f (\ mathbf {v})}$

( 1 )

pro všechny nenulové skaláry a Když jsou zahrnuté vektorové prostory nad reálnými čísly , často se používá o něco méně obecná forma homogenity, která vyžaduje pouze to, aby ( 1 ) platilo pro všechny${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle v \ v V.}$${\ displaystyle s> 0.}$

Homogenní funkce lze také definovat pro vektorové prostory s odstraněným počátkem, což je skutečnost, která se používá při definici svazků v projektivním prostoru v algebraické geometrii . Obecněji řečeno, pokud je nějaká podmnožina, která je invariantní při skalárním násobení prvky pole („kužel“), pak homogenní funkce od S do W může být stále definována ( 1 ). ${\ Displaystyle S \ subseteq V}$

Příklady

Příklad 1

Funkce je homogenní stupně 2: ${\ Displaystyle f (x, y) = x^{2}+y^{2}}$

Předpokládejme například a potom ${\ Displaystyle x = 2, y = 4,}$${\ displaystyle t = 5.}$

• ${\ Displaystyle f (x, y) = 2^{2}+4^{2} = 4+16 = 20,}$ a
• ${\ Displaystyle f (5x, 5y) = 5^{2} \ left (2^{2}+4^{2} \ right) = 25 (20) = 500.}$

Lineární funkce

Jakákoli lineární mapa je homogenní stupně 1, protože podle definice linearity ${\ displaystyle f: V \ až W}$

pro všechny a${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle v \ v V.}$

Podobně jakákoli víceřádková funkce je homogenní stupně, protože podle definice víceřádkové ${\ Displaystyle f: V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ cdots V_ {n} \ to W}$${\ displaystyle n}$

pro všechny a${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}, v_ {2} \ in V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ in V_ {n}.}$

Z toho vyplývá, že se tý rozdíl od funkce mezi dvěma Banachových prostorů a je homogenní míry${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle f: X \ až Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle n.}$

Homogenní polynomy

Monomály v proměnných definují homogenní funkce Například ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {F} ^{n} \ to \ mathbb {F}.}$

je homogenní od 10. stupně Stupeň je součtem exponentů proměnných; v tomto případě${\ Displaystyle 10 = 5+2+3.}$

Homogenní polynom je polynom tvořen součtem monomials stejného stupně. Například,

je homogenní polynom stupně 5. Homogenní polynomy také definují homogenní funkce.

Vzhledem k homogennímu polynomu stupně je možné získat homogenní funkci stupně 1 zvýšením na moc. Například pro každou následující funkci je homogenní stupeň 1: ${\ displaystyle k,}$${\ Displaystyle 1/k.}$${\ displaystyle k}$

Min./max

Pro každou sadu závaží jsou následující funkce homogenní stupně 1: ${\ Displaystyle w_ {1}, \ tečky, w_ {n},}$

• ${\ Displaystyle \ min \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$( Nástroje Leontief )
• ${\ Displaystyle \ max \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$

Polarizace

Multilineární funkce z tý kartézského součinu z s sebou na podkladové oblasti vede k homogenní funkci vyhodnocením na diagonále: ${\ Displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle f: V \ to \ mathbb {F}}$

Výsledná funkce je polynom ve vektorovém prostoru${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle V.}$

Naopak, jestliže má charakteristický nula, pak vzhledem k tomu, homogenní polynom stupne na na polarizaci z je multilineární funkce na tý kartézském produktu The polarizace je definován: ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle V.}$

Tyto dvě konstrukce, jedna z homogenního polynomu z víceřádkové formy a druhá z víceřádkové formy z homogenního polynomu, jsou navzájem inverzní. V konečnými rozměry, že vytvoření izomorfismus z odstupňované vektorových prostorů od symetrického algebry z k algebry homogenních polynomů na${\ displaystyle V^{*}}$${\ Displaystyle V.}$

Racionální funkce

Racionální funkce vytvořené jako poměr dvou homogenních polynomů jsou homogenní funkce mimo afinní kužel vyříznutý nulovým lokusem jmenovatele. Pokud je tedy homogenní stupně a je homogenní stupně, pak je homogenní stupně daleko od nul${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle f/g}$${\ displaystyle mn}$${\ Displaystyle g.}$

Ne-příklady

Logaritmy

Přirozený logaritmus váhy aditivně a tak není homogenní. ${\ Displaystyle f (x) = \ ln x}$

To lze demonstrovat na následujících příkladech: a to proto, že nic takového neexistuje${\ Displaystyle f (5x) = \ ln 5x = \ ln 5+f (x),}$ ${\ Displaystyle f (10x) = \ ln 10+f (x),}$${\ Displaystyle f (15x) = \ ln 15+f (x).}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle f (\ alpha \ cdot x) = \ alpha ^{k} \ cdot f (x).}$

Afinní funkce

Afinní funkce (funkce je příkladem) se obecně nešíří multiplikativně. ${\ displaystyle f (x) = x+5}$

Pozitivní homogenita

Ve zvláštním případě vektorových prostorů nad skutečnými čísly hraje pojem pozitivní homogenita často důležitější roli než homogenita ve výše uvedeném smyslu.

Nechť je vektorový prostor nad polem a nechme být vektorový prostor nad polem, kde a obvykle budou (nebo možná jen obsahují jako podmnožiny) skutečná čísla nebo komplexní čísla Nechť je mapa. Definujte následující terminologii: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {G}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle f: X \ až Y}$

1. Přísně pozitivní homogenita :pro všechnya všechnypozitivnískutečné${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle r> 0.}$
2. Nezáporná homogenita :pro všechnya všechnynezápornéskutečné${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle r \ geq 0.}$
   • Nezáporné reálné funkce s touto vlastností lze charakterizovat jako Minkowského funkční .
   • Tato vlastnost se používá v definici sublineární funkce .
3. Pozitivní homogenita : Toto je obvykle definováno tak, že znamená „nezáporná homogenita“, ale často je také definováno tak, že místo toho znamená „přísná pozitivní homogenita“.
   • Který z těchto dvou je vybrán jako definice, je obvykle irelevantní, protože pro funkci oceňovanou ve vektorovém prostoru nebo poli je nezáporná homogenita stejná jako přísná pozitivní homogenita; definice budou logicky ekvivalentní .
4. Skutečná homogenita :pro všechnya všechny skutečné${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle r.}$
   • Tato vlastnost se používá při definici skutečné lineární funkce .
5. Homogenita :pro všechnya všechny skaláry${\ Displaystyle f (sx) = sf (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Je zdůrazněno, že tato definice závisí na skalárním poli, které je základem domény .${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle X}$
   • Tato vlastnost se používá při definici lineárních funkcionálů a lineárních map .
6. Konjugovaná homogenita :pro všechnya všechny skaláry${\ Displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Pokud se pak obvykle označuje komplexní konjugát z , ale více obecně, může být obraz na základě nějakého významného automorphism${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ Displaystyle s.}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$
   • Spolu s aditivitou se tato vlastnost předpokládá v definici antilineární mapy . Také se předpokládá, že jedna ze dvou souřadnic sesquilinear formy má tuto vlastnost (jako je například vnitřní produkt jednoho Hilbertova prostoru ).

Všechny výše uvedené definice lze zobecnit nahrazením stav se v tom případě, že definice je předponou slovem „ absolutní “ nebo „ absolutně .“ Například, ${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x),}$

7. Absolutní skutečná homogenita :pro všechnya všechny skutečné${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle r.}$
8. Absolutní homogenita :pro všechnya všechny skaláry${\ Displaystyle f (sx) = | s | f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Tato vlastnost se používá při definici seminorm a normy .

Pokud je pevné reálné číslo pak výše uvedené definice mohou být dále zobecnit nahrazením stav s (a podobně, nahrazením s pro podmínek za použití absolutních hodnot, atd), a v tomto případě je homogenita říká, že je „ stupně “ (kde zejména všechny výše uvedené definice jsou „ stupně “). Například, ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = | r |^{k} f (x)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1}$

9. Nezáporná homogenita stupně ${\ displaystyle k}$ :pro všechnya všechny skutečné${\ Displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle r \ geq 0.}$
10. Skutečná homogenita míry ${\ displaystyle k}$ :pro všechnya všechny skutečné${\ Displaystyle f (rx) = r^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle r.}$
11. Homogenita stupně ${\ displaystyle k}$ :pro všechnya všechny skaláry${\ Displaystyle f (sx) = s^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
12. Absolutní skutečná homogenita stupně ${\ displaystyle k}$ :pro všechnya všechny skutečné${\ Displaystyle f (rx) = | r |^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle r.}$
13. Absolutní homogenita stupně ${\ displaystyle k}$ :pro všechnya všechny skaláry${\ Displaystyle f (sx) = | s |^{k} f (x)}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$

Nenulová spojitá funkce, která je homogenní stupně na, se nepřetržitě rozšiřuje na právě tehdy, když${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ zpětné lomítko \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle k> 0.}$

Zobecnění

Výše uvedené definice jsou specializací následujícího obecnějšího pojmu homogenity, ve kterém může být libovolná množina (spíše než vektorový prostor) a skutečná čísla mohou být nahrazena obecnějším pojmem monoid . ${\ displaystyle X}$

Monoidy a monoidní akce

Monoid je dvojice sestávající z množiny a asociativní operátora , kde je nějaký prvek v nazývá elementem identity , označeny tak, že pro všechny${\ Displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times M \ to M}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle 1 \ v M,}$${\ Displaystyle 1 \ cdot m = m = m \ cdot 1}$${\ Displaystyle m \ v M.}$

If je monoid s prvkem identity a pokud pak bude použit následující zápis: let a obecněji pro jakákoli kladná celá čísla nechť je součin instancí ; to znamená,${\ Displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle 1 \ in M}$${\ displaystyle m \ v M,}$${\ Displaystyle m_ {0}: = 1, m_ {1}: = m, m_ {2}: = m \ cdot m,}$${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle m^{k}: = m \ cdot \ left (m^{k-1} \ right).}$

Je běžnou praxí (např. Jako v algebře nebo počtu) označovat multiplikační operaci monoidu juxtapozicí, což znamená, že může být psáno spíše než To se vyhýbá jakékoli potřebě přiřadit symbol multiplikační operaci monoidu. Když se použije tento zápis vedle sebe, mělo by se automaticky předpokládat, že prvek identity monoidu je označen${\ Displaystyle (M, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle mn}$${\ Displaystyle m \ cdot n.}$${\ displaystyle 1.}$

Nechť je monoid s prvkem identity, jehož operace je označena vedle sebe a nechť je množinou. Monoid akce ze dne je mapa , která bude rovněž označený vedle sebe, takže i pro všechny a všichni${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ in M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M \ times M \ až X,}$${\ displaystyle 1x = x = x1}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ Displaystyle m, n \ v M.}$

Stejnorodost

Nechť je monoid s prvkem identity nechť a je množina, a předpokládejme, že na obou a tam jsou definovány monoidní akce Nechť je nezáporné celé číslo a nechť je mapa. Pak se říká, že homogenní stupně nad jestliže ke každému a${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle 1 \ v M,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle M.}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle m \ v M,}$

Pokud navíc je zde funkce označená nazývá absolutní hodnoty pak se říká, že je naprosto homogenní stupně nad jestliže ke každému a${\ displaystyle M \ až M,}$${\ Displaystyle m \ mapsto | m |,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle m \ v M,}$

$${\ Displaystyle f (mx) = | m |^{k} f (x).}$$

Funkce je homogenní nad${\ displaystyle M}$ (resp. Absolutně homogenní nad${\ displaystyle M}$ ), pokud je homogenní o stupeň nad (resp. Absolutně homogenní o stupeň nad ). ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

Obecněji řečeno, je možné, že symboly , které mají být definovány pro s je něco jiného než celé číslo (například, pokud je reálná čísla a je nenulový reálné číslo pak je definován, dokonce i když není celé číslo). Pokud je to ten případ, pak se bude jmenovat

homogenní stupně více než v případě, že stejný rovnost platí: ${\ displaystyle m^{k}}$${\ Displaystyle m \ v M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

$${\ Displaystyle f (mx) = m^{k} f (x) \ quad {\ text {for every}} x \ in X {\ text {and}} m \ in M.}$$

Představa, že jsou naprosto homogenní míry over${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$ je zobecnit podobně.

Eulerova věta o homogenní funkci

Spojitě diferencovatelné pozitivně homogenní funkce se vyznačují následující větou:

Eulerova homogenní funkční věta  -  Předpokládejme, že funkce je průběžně diferencovatelná . Pak je stupeň pozitivně homogenní právě tehdy, když ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ zpětné lomítko \ lbrace 0 \ rbrace \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) = kf (\ mathbf {x}).}$$

Důkaz  -

Tento výsledek následuje najednou rozlišením obou stran rovnice s ohledem na použití řetězového pravidla a volbou být${\ Displaystyle f (\ alpha y) = \ alpha ^{k} f (y)}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 1.}$

Konverzace je prokázána integrací. Konkrétně nechť Since${\ textstyle g (\ alpha) = f (\ alpha \ mathbf {x}).}$${\ textstyle \ alpha \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = kf (\ alpha \ mathbf {x}),}$

${\ Displaystyle g '(\ alpha) = \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} f (\ alpha \ mathbf {x} ) = {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha).}$

To tedy znamená Proto : je pozitivně homogenní stupně${\ textstyle g^{\ prime} (\ alpha)-{\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha) = 0.}$${\ textstyle g (\ alpha) = g (1) \ alpha ^{k}.}$${\ textstyle f (\ alpha \ mathbf {x}) = g (\ alpha) = \ alpha ^{k} g (1) = \ alpha ^{k} f (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k.}$

V důsledku toho předpokládejme, že je to

diferencovatelné a homogenní stupně. Pak jsou jeho parciální derivace prvního řádu homogenní stupně . Výsledek vyplývá z Eulerovy věty tím, že operátor dočíta parciální derivací. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k.}$ ${\ Displaystyle \ částečná f/\ částečná x_ {i}}$${\ Displaystyle k-1.}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla}$

Lze větu specializovat na případ funkce jediné reálné proměnné ( ), v takovém případě funkce splňuje

běžnou diferenciální rovnici${\ displaystyle n = 1}$ Tuto rovnici lze vyřešit pomocí integrujícího faktorového přístupu s řešením kde${\ textstyle f (x) = cx^{k},}$${\ Displaystyle c = f (1).}$

Homogenní rozdělení

Spojitá funkce na homogenní stupně tehdy a jen tehdy, pokud ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle k}$

pro všechny kompaktně podporované testovací funkce ; a nenulové reálné Ekvivalentně, provedení změny proměnné je homogenní stupně právě tehdy, když ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle t.}$ ${\ displaystyle y = tx,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ Displaystyle t ^{-n} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} f (y) \ varphi \ left ({\ frac {y} {t}} \ right) \, dy = t ^{k} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} f (y) \ varphi (y) \, dy}$$

pro všechny a všechny testovací funkce Poslední displej umožňuje definovat homogenitu distribucí . Distribuce je homogenní stupně, pokud ${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$

$${\ Displaystyle t^{-n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t^{k} \ langle S, \ varphi \ rangle}$$

pro všechny nenulové skutečné a všechny testovací funkce Zde úhlové závorky označují párování mezi distribucemi a testovacími funkcemi a jsou mapováním skalárního dělení skutečným číslem${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ varphi.}$${\ Displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle t.}$

Aplikace na diferenciální rovnice

Hlavní článek: Homogenní diferenciální rovnice

Substituce převádí

obyčejnou diferenciální rovnici${\ Displaystyle v = y/x}$ kde a jsou homogenní funkce stejného stupně, do oddělitelné diferenciální rovnice${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$

Viz také

• Produkční funkce
• Funkce středu trojúhelníku
• Weierstrassova eliptická funkce  - Třída matematických funkcí

Poznámky

Důkazy

Reference

• Blatter, Christian (1979). „20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.“. Analysis II (2. vyd.) (V němčině). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.

externí odkazy

• „Homogenní funkce“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. „Eulerova věta o homogenní funkci“ . MathWorld .