Kompletní křižovatka - Complete intersection

V matematice, algebraické odrůda V v projektivní prostoru je úplný průnik v případě, že ideál V je vytvořen přesně codim V prvky. To znamená, že pokud V má rozměr m a leží v projektivním prostoru P ⁿ , mělo by existovat n - m homogenních polynomů:

${\ Displaystyle F_ {i} (X_ {0}, \ cdots, X_ {n}), 1 \ leq i \ leq nm,}$

v homogenní souřadnice X _j , které vyrábějí všechny ostatní homogenní polynomy, které vypadnou z V .

Geometricky každý F _i definuje hypersurface ; průsečík těchto nadploch by mělo být V . Průsečík n - m hyperpovrchů bude mít vždy rozměr alespoň m za předpokladu, že pole skalárů je algebraicky uzavřené pole , jako jsou komplexní čísla . Otázkou v podstatě je, dokážeme dimenzi dostat až na m , bez dalších bodů v křižovatce? Tuto podmínku je poměrně obtížné zkontrolovat, jakmile kodimenze n - m ≥ 2 . Když n - m = 1, pak V je automaticky nadpovrchová plocha a není co dokazovat.

Příklady

Snadné příklady úplných průsečíků jsou dány hyperplochami, které jsou definovány mizejícím lokusem jednoho polynomu. Například,

${\ Displaystyle \ mathbb {V} (x_ {0}^{5} +\ cdots +x_ {4}^{5}) = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {F} [x_ {0}, \ ldots, x_ {4}]} {(x_ {0}^{5} +\ cdots +x_ {4}^{5})}} \ right) {\ xrightarrow {i}} \ mathbb {P} _ {\ mathbb {F}}^{4}}$

uvádí příklad kvintického trojnásobku. Může být obtížné najít explicitní příklady úplných průniků vyšších dimenzionálních odrůd pomocí dvou nebo více explicitních příkladů (bestiary), ale existuje explicitní příklad 3násobného typu daného ${\ displaystyle (2,4)}$

${\ Displaystyle \ mathbb {V} (x_ {0}^{2}+x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+x_ {3}^{2}+x_ {4} x_ {5}, x_ {4}^{4}+x_ {5}^{4} -2x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3})}$

Nepříklady

Twisted Cubic

Jednou z metod pro konstrukci místních úplných průsečíků je vzít projektivní úplnou rozmanitost průsečíků a vložit ji do vyšší dimenzionální projektivní prostor. Klasickým příkladem je zkroucený kubický v : je to hladký lokální úplný průnik, což znamená, že v libovolném grafu může být vyjádřen jako mizející lokus dvou polynomů, ale globálně je vyjádřen mizícím lokusem více než dvou polynomů. Můžeme jej sestrojit pomocí velmi rozsáhlého svazku řádků nad vložením ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {R}^{3}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (3)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{1}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {R}^{1} \ to \ mathbb {P} _ {R}^{3}}$ podle ${\ Displaystyle [s: t] \ mapsto [s^{3}: s^{2} t: st^{2}: t^{3}]}$

Všimněte si toho . Pokud necháme vložení dává následující vztahy: ${\ Displaystyle \ Gamma ({\ mathcal {O}} (3)) = {\ text {Span}} _ {R} \ {s^{3}, s^{2} t, st^{2}, t^{3} \}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {R}^{3} = {\ text {Proj}} (R [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}])}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} f_ {1} & = x_ {0} x_ {3} -x_ {1} x_ {2} \\ f_ {2} & = x_ {1}^{2} -x_ {0} x_ {2} \\ f_ {3} & = x_ {2}^{2} -x_ {1} x_ {3} \ end {zarovnáno}}}$

Zkroucená krychle je tedy projektivní schéma

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {R [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]} {(f_ {1}, f_ {2 }, f_ {3})}} \ right)}$

Unie odrůd lišící se v rozměru

Dalším pohodlným způsobem, jak postavit neúplnou křižovatku, která nikdy nemůže být místní úplnou křižovatkou, je spojení dvou různých odrůd tam, kde jejich rozměry nesouhlasí. Například spojení čáry a roviny protínající se v bodě je klasickým příkladem tohoto jevu. Je to dáno schématem

${\ Displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(xz, yz)}} \ right)}$

Víceúrovňové

Kompletní křižovatka má vícestupňový stupeň , který je zapsán jako n -tice (správně, i když mnohovrstevná ) stupňů definování hyperploch. Například opětovné převzetí kvadrik v P ³ , (2,2) je vícestupňový úplný průsečík dvou z nich, což když jsou v obecné poloze, je eliptická křivka . Tyto počty Hodge komplexních hladkých kompletních křižovatky byly vypracovány podle Kunihiko Kodaira .

Obecná poloha

U podrobnějších otázek je třeba blíže se zabývat povahou křižovatky. Po hyperplochách může být požadováno, aby splňovaly podmínku transverzality (jako když jsou jejich tečné prostory v obecné poloze v průsečících bodech). Průnik může být schématicko-teoretický , jinými slovy zde může být vyžadován homogenní ideál generovaný F _i ( X ₀ , ..., X _n ), aby byl určujícím ideálem V , a ne jen mít správný radikál . V komutativní algebře je podmínka úplného průniku přeložena do pravidelných posloupností , což umožňuje definici místního úplného průniku , nebo po určité lokalizaci má ideál definující pravidelné sekvence.

Topologie

Homologie

Protože úplné průsečíky dimenze v jsou průsečíky úseků nadroviny, můžeme z Lefschetzovy věty o hyperplane odvodit, že ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^{n+m}}$

${\ Displaystyle H^{2k} (X) = \ mathbb {Z}}$

pro . Kromě toho lze pomocí univerzální koeficientové věty ověřit, zda jsou skupiny homologie vždy bez torze. To znamená, že střední homologická skupina je určena eulerovou charakteristikou prostoru. ${\ displaystyle 2k <n}$

Eulerova charakteristika

Hirzebruch poskytl generující funkci vypočítávající rozměr všech úplných víceúrovňových průsečíků . Čte to ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {r})}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ chi (X_ {n} (a_ {1}, \ ldots, a_ {r})) z^{n} = {\ frac {a_ { 1} \ cdots a_ {r}} {(1-z)^{2}}} \ prod _ {i = 1}^{r} {\ frac {1} {(1+ (a_ {i} -1 ) z)}}}$

Citace

Reference

• Harris, Joe (1992). Algebraická geometrie, první kurz . Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.
• Hübsch, Tristan, Calabi-Yau Manifolds, A Bestiary for Physicists , World Scientific, s. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
• Looijenga, EJN (1984), Izolované singulární body na kompletních křižovatkách , London Mathematical Society Lecture Note Series, 77 , Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10,1017/CBO9780511662720 , ISBN 0-521-28674-3, MR  0747303
• Meyer, Christian (2005), Modular Calabi-Yau Threefolds , 22 , Monografie Fields Institute, str. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
• Eulerova charakteristika kompletních křižovatek (PDF) , archivováno z originálu (PDF) 2017-08-15

externí odkazy

• Dokončete křižovatky v Atlasu potrubí