Souřadnicový vektor - Coordinate vector
V lineární algebře je souřadnicový vektor reprezentací vektoru jako uspořádaného seznamu čísel, který popisuje vektor z hlediska konkrétního uspořádaného základu . Souřadnice jsou vždy specifikovány vzhledem k uspořádanému základu. Báze a jejich přidružené reprezentace souřadnic umožňují realizovat vektorové prostory a lineární transformace konkrétně jako sloupcové vektory , řádkové vektory a matice ; proto jsou užitečné při výpočtech.
Myšlenku souřadnicového vektoru lze také použít pro nekonečně rozměrné vektorové prostory, jak je uvedeno níže.
Definice
Nechť V být vektorový prostor o rozměru n přes pole F a nechť
být nařízeno základ pro V. . Pak pro každého existuje jedinečná lineární kombinace základních vektorů, která se rovná v :
Souřadnic vektor z v vzhledem k B je sekvence z souřadnic
Toto se také nazývá reprezentace v s ohledem na B , nebo B reprezentace v . Α-s se nazývají souřadnice v . Pořadí základu je zde důležité, protože určuje pořadí, ve kterém jsou koeficienty uvedeny v souřadnicovém vektoru.
Souřadnicové vektory konečných vektorových prostorů mohou být reprezentovány maticemi jako sloupcové nebo řádkové vektory . Ve výše uvedeném zápisu lze psát
a
kde je transpozice matrice .
Standardní reprezentace
Můžeme mechanizovat výše uvedené transformace tím, že definuje funkci , která se nazývá standardní zastoupení V s ohledem na B , který bere každý vektor jeho souřadnic reprezentace: . Pak je lineární transformace z V do F n . Ve skutečnosti je to izomorfismus a jeho inverze je prostě
Alternativně jsme od začátku mohli definovat výše uvedenou funkci, uvědomit si, že jde o izomorfismus, a definovat ji jako inverzní.
Příklady
Příklad 1
Nechť P3 je prostor všech algebraických polynomů stupně nejvýše 3 (tj. Nejvyšší exponent x může být 3). Tento prostor je lineární a je pokryt následujícími polynomy:
vhodný
potom vektor souřadnic odpovídající polynomu
je
Podle této reprezentace bude operátor diferenciace d / dx, který označíme D , reprezentován následující maticí :
Pomocí této metody je snadné prozkoumat vlastnosti operátoru, jako jsou: invertibility , Hermitian or anti-Hermitian or none , spektrum a vlastní čísla a další.
Příklad 2
Tyto Pauli matrice , které představují odstřeďování operátora při transformaci spinové eigenstates do vektorových souřadnic.
Základní transformační matice
Nechť B a C se dvě různé báze vektorového prostoru V , a my označit v matrici , která má sloupce spočívající v C zastoupení bazických vektorů b 1 , b 2 , ..., b n :
Tato matice je označován jako základ transformační matice z B do C . Lze to považovat za konec automorfismu . Jakýkoli vektor v reprezentovaný v B lze transformovat na reprezentaci v C následujícím způsobem:
Pod transformací základu si všimněte, že horní index na transformační matici, M a dolní index na souřadnicovém vektoru, v , jsou stejné a zdánlivě se ruší, takže zbývající dolní index. I když to může sloužit jako paměťová pomůcka, je důležité si uvědomit, že žádné takové zrušení nebo podobná matematická operace neprobíhá.
Důsledek
Matice M je regulární matice a M -1 je základem transformační matice z C do B . Jinými slovy,
Nekonečně rozměrné vektorové prostory
Předpokládejme, že V je nekonečná-rozměrný vektorový prostor přes pole F . V případě, že rozměr je κ , pak tam je nějaký základ mítK prvků V. . Po výběru objednávky lze základ považovat za objednaný základ. Prvky V jsou konečné lineární kombinace prvků v základně, které vedou k unikátním reprezentacím souřadnic přesně tak, jak bylo popsáno dříve. Jedinou změnou je, že indexování nastavené pro souřadnice není konečné. Protože daný vektor v je konečná lineární kombinace základních prvků, budou jedinými nenulovými vstupy souřadnicového vektoru pro v nenulové koeficienty lineární kombinace představující v . Vektor souřadnic pro v je tedy nula, s výjimkou konečného počtu záznamů.
Lineární transformace mezi (možná) nekonečně dimenzionálními vektorovými prostory lze modelovat, analogicky k případu konečných rozměrů, pomocí nekonečných matic . Zvláštní případ transformací z V do V je popsán v úplném lineárním prstencovém článku.