Bavlněný svazek - Cotangent bundle

V matematiky , zejména diferenciální geometrie je cotangent svazek z hladkého potrubí je vektor svazek všech cotangent prostorů v každém bodě v potrubí. Lze jej popsat také jako duální svazek k tangenciálnímu svazku . To lze zobecnit na kategorie s více strukturou než hladké potrubí, jako jsou složité potrubí nebo (ve formě kotangenty svazku) algebraické odrůdy nebo schémata . V hladkém případě poskytuje jakákoli riemannovská metrická nebo symplektická forma izomorfismus mezi kotangensovým svazkem a tangenciálním svazkem, ale v jiných kategoriích nejsou obecně izomorfní.

Formální definice

Nechť M být hladké potrubí a nechat M × M je kartézský součin z M se sebou samým. Diagonální mapování Δ odešle bod P v M do bodu ( P , p ) z M x M . Obraz Δ se nazývá úhlopříčka. Dovolit být svazek ze zárodků hladkých funkcí na M x M , která se ztratí na diagonále. Potom kvocient svazků sestává z tříd ekvivalence funkcí, které mizí na diagonálních modulo podmínkách vyššího řádu. Cotangent svazek je definován jako stáhnout zpět tohoto svazku na M : ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Gamma T ^ {*} M = \ Delta ^ {*} \ vlevo ({\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2} \ vpravo).}$

Tím, Taylorova věta , to je na místě zdarma svazek modulů s ohledem na svazek zárodků hladkých funkcí M . Definuje tedy vektorový svazek na M : kotangenský svazek .

Hladké úseky kotangenského svazku se nazývají (diferenciální) jednoformy .

Kontrastariance Vlastnosti

Hladký morfismus rozdělovačů indukuje na M stahovací svazek . Existuje indukovaná mapa vektorových svazků . ${\ displaystyle \ phi \ dvojtečka M \ až N}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*} T ^ {*} N}$${\ displaystyle \ phi ^ {*} (T ^ {*} N) \ až T ^ {*} M}$

Příklady

Tečný svazek vektorového prostoru je a kotangensový svazek je , kde označuje dvojí prostor vektorů, lineární funkce . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle T \, \ mathbb {R} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n} \ times (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}}$${\ displaystyle v ^ {*}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

Vzhledem k hladkému potrubí vloženému jako hyperplocha představované mizejícím lokusem funkce s podmínkou, že tečný svazek je ${\ displaystyle M \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f \ v C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$${\ displaystyle \ nabla f \ neq 0,}$

${\ displaystyle TM = \ {(x, v) \ v T \, \ mathbb {R} ^ {n} \: \ f (x) = 0, \ \, df_ {x} (v) = 0 \} ,}$

kde je směrový derivát . Podle definice je v tomto případě kotangensový svazek ${\ displaystyle df_ {x} \ v T_ {x} ^ {*} M}$ ${\ displaystyle df_ {x} (v) = \ nabla \! f (x) \ cdot v}$

${\ displaystyle T ^ {*} M = {\ bigl \ {} (x, v ^ {*}) \ v T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} \: \ f (x) = 0 , \ v ^ {*} \ v T_ {x} ^ {*} M {\ bigr \}},}$

kde Protože každý covector odpovídá jedinečnému vektoru, pro který je libovolný${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} M = \ {v \ v T_ {x} \ mathbb {R} ^ {n} \: \ df_ {x} (v) = 0 \} ^ {*}. }$${\ displaystyle v ^ {*} \ v T_ {x} ^ {*} M}$${\ displaystyle v \ v T_ {x} M}$${\ displaystyle v ^ {*} (u) = v \ cdot u,}$${\ displaystyle u \ v T_ {x} M,}$

${\ displaystyle T ^ {*} M = {\ bigl \ {} (x, v ^ {*}) \ v T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} \: \ f (x) = 0 , \ v \ v T_ {x} \ mathbb {R} ^ {n}, \ df_ {x} (v) = 0 {\ bigr \}}.}$

Kotangensový svazek jako fázový prostor

Vzhledem k tomu, že kotangensový svazek X = T * M je vektorový svazek , lze jej považovat za samostatný potrubí. Protože v každém bodě lze tečné směry M spárovat s jejich duálními vektory ve vlákně, X má kanonickou jednoformu θ nazvanou tautologická jedna forma , popsaná níže. Vnější derivát z t Vstup je symplectic 2-forma , z nichž ne-degenerovaný forma objem může být postavena na X . Například jako výsledek X je vždy orientovatelné potrubí (tečný svazek TX je orientovatelný vektorový svazek). Na kotangensovém svazku lze definovat speciální sadu souřadnic ; tito se nazývají kanonické souřadnice . Vzhledem k tomu, že kotangenské svazky lze považovat za symplektická potrubí , lze jakoukoli skutečnou funkci na kotangensém svazku interpretovat jako hamiltonián ; proto lze kotangensový svazek chápat jako fázový prostor, ve kterém hraje hamiltonovská mechanika .

Tautologická jedna forma

Kotangensový svazek nese kanonickou jednoformu θ, známou také jako symplektický potenciál , Poincaré 1- forma nebo Liouville 1- forma. To znamená, že v případě považujeme T * M jako potrubí v jeho vlastní pravý, tam je kanonický část vektoru svazku T * ( T * M více) T * M .

Tuto část lze sestavit několika způsoby. Nejzákladnější metoda používá lokální souřadnice. Předpokládejme, že x ⁱ místní souřadnice na potrubí základny M . Pokud jde o tyto základní souřadnice, existují souřadnice vlákna p _i : jedno-forma v určitém bodě T * M má tvar p _i  dx ⁱ ( předpokládá se Einsteinova součtová konvence ). Takže potrubí T * M samo o sobě nese lokální souřadnice ( x ⁱ , p _i ), kde x jsou souřadnice na základně a p jsou souřadnice ve vlákně. Kanonický jeden tvar je dán v těchto souřadnicích znakem

${\ displaystyle \ theta _ {(x, p)} = \ součet _ {{\ mathfrak {i}} = 1} ^ {n} p_ {i} \, dx ^ {i}.}$

Ve skutečnosti je hodnota kanonického jednoho formuláře v každém pevném bodě T * M uvedena jako zpětná vazba . Konkrétně předpokládejme, že π: T * M → M je projekce svazku. Vezmutí bodu v T _x * M je stejné jako volba bodu x v M a jedné formy ω v x a tautologická jedna forma θ přiřadí bodu ( x , ω) hodnotu

${\ displaystyle \ theta _ {(x, \ omega)} = \ pi ^ {*} \ omega.}$

To znamená, že pro vektor v ve tangenciálním svazku kotangensového svazku se aplikace tautologického jednoho tvaru θ na v at ( x , ω) vypočítá promítnutím v do tangenciálního svazku na x pomocí d π: T ( T * M ) → TM a použití ω na tuto projekci. Všimněte si, že tautologické jedna forma není pullback z jedné formy na základně M .

Symplektická forma

Kotangent svazek má kanonickou symplektické 2-formy na něm, jako vnější derivát z tautologického jedné formě , v symplektické potenciálu . Dokazující, že tato forma je ve skutečnosti symplektická, lze provést konstatováním, že být symplektická je místní vlastnost: protože kotangenský svazek je místně triviální, je třeba tuto definici pouze ověřit . Ale zde je jedna definovaná forma součtem a rozdíl je kanonická symlektická forma, součet . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ krát \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle y_ {i} \, dx_ {i}}$${\ displaystyle dy_ {i} \ land dx_ {i}}$

Fázový prostor

Pokud potrubí představuje sadu možných pozic v dynamickém systému , pak lze kotangensový svazek považovat za sadu možných pozic a hybnosti . Jedná se například o způsob, jak popsat fázový prostor kyvadla. Stav kyvadla je určen jeho polohou (úhlem) a jeho hybností (nebo ekvivalentně jeho rychlostí, protože jeho hmotnost je konstantní). Celý stavový prostor vypadá jako válec, který je kotangensovým svazkem kruhu. Výše uvedená symplektická konstrukce spolu s příslušnou energetickou funkcí poskytuje úplné určení fyziky systému. Viz Hamiltonova mechanika a článek o geodetickém toku pro explicitní konstrukci Hamiltonových pohybových rovnic. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \! \, T ^ {*} \! M}$

Viz také

• Legendární transformace

Reference

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Základy mechaniky . Londýn: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Jost, Jürgen (2002). Riemannova geometrie a geometrická analýza . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4.
• Singer, Stephanie Frank (2001). Symetrie v mechanice: Jemný moderní úvod . Boston: Birkhäuser.