Externí derivát - Exterior derivative

Na diferencovatelné potrubí je vnější derivát rozšiřuje koncept diferenciálu z funkce na diferenciálním tvaru vyššího stupně. Externí derivát poprvé ve své současné podobě popsal Élie Cartan v roce 1899. Umožňuje přirozené, metricky nezávislé zobecnění Stokesovy věty , Gaussovy věty a Greenovy věty z vektorového počtu.

Pokud je diferenciální $k$ -forma považována za měření toku infinitezimálním $k$ - rovnoběžníkem v každém bodě potrubí, pak lze jeho vnější derivaci považovat za měření čistého toku přes hranici a $(k + 1)$ - rovnoběžník v každém bodě.

Definice

Externí derivace diferenciální formy stupně $k$ (zde také diferenciální $k$ -forma, nebo jen $k$ -form pro stručnost zde) je diferenciální forma stupně $k + 1$ .

Pokud $f$ je hladká funkce (a $0$ -forma), pak se vnější derivát $f$ je rozdíl z $f$ . To znamená, že $df$ je unikátní $1$ -forma tak, že pro každé hladké vektorového pole $X$ , $df$ $($ $X$ $) =$ $d$ $X$ $f$ , kde $d$ $X$ $F$ je derivace ve směru z $f$ ve směru $X$ .

Vnější součin diferenciálních forem (označených stejným symbolem $\land$ ) je definován jako jejich bodový vnější součin .

Existuje celá řada ekvivalentních definic vnější derivace obecné $k$ -formy.

Pokud jde o axiomy

Externí derivát je definován jako jedinečné $ℝ$ -lineární mapování z $k$ -formů na $(k + 1)$ -forms, které má následující vlastnosti:

$df$ je rozdíl z $F$ na $0$ -forma $f$ .
$d (df) = 0$ pro $0$ -tvar $f$ .
$d (α \land β) = dα \land β + (-1) p (α \land dβ)$ kde $α$ je $p$ -forma. To znamená, že $d$ je antiderivace stupně $1$ na vnější algebře diferenciálních forem.

Druhá definující vlastnost platí ve více obecnosti: $d (dα) = 0$ pro jakoukoli $k$ -formu $α$ ; stručněji, $d 2 = 0$ . Třetí definující vlastnost ve zvláštním případě znamená, že pokud $f$ je funkce a $α$ a je $k$ -forma, pak $d$ $($ $fα$ $) =$ $d$ $($ $f$ $\land$ $α$ $) =$ $df$ $\land$ $α$ $+$ $f$ $\land$ $dα,$ protože funkce je $0$ - forma a skalární násobení a vnější produkt jsou ekvivalentní, když je jeden z argumentů skalární.

Pokud jde o místní souřadnice

Alternativně lze pracovat zcela v lokálním souřadném systému $(x 1, ..., x n)$ . Souřadnicové diferenciály $dx 1, ..., dx n$ tvoří základ prostoru jedné formy, z nichž každá je spojena se souřadnicí. Vzhledem k multiindexu $I = (i 1, ..., i k)$ s $1 \leq i p \leq n$ pro $1 \leq p \leq k$ (a označující $dx i 1 \land ... \land dx i k$ se zneužitím zápisu $dx I$ ), vnější derivace (jednoduché) $k$ -formy

{\ Displaystyle \ varphi = g \, dx^{I} = g \, dx^{i_ {1}} \ wedge dx^{i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} }

nad $ℝ n$ je definováno jako

{\ Displaystyle d {\ varphi} = {\ frac {\ částečný g} {\ částečný x^{i}}} \, dx^{i} \ klín dx^{I}}

(pomocí Einsteinovy součtové konvence ). Definice vnější derivace je lineárně rozšířena na obecnou $k$ -formu

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} \, dx^{I},}

kde každá ze složek multi-index $I$ běží přes všechny hodnoty v ${1, ..., n}$ . Všimněte si, že kdykoli $i se$ rovná jedné ze složek multiindexu $I,$ pak $dx i \land dx I = 0$ (viz Exterior product ).

Definice vnější derivace v místních souřadnicích vyplývá z předchozí definice ve smyslu axiomů . Skutečně, s $k$ -formou $φ,$ jak je definována výše,

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} d {\ varphi} & = d \ left (g \, dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} \ right) \\ & = dg \ wedge \ left (dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} \ right)+g \, d \ left (dx^{i_ {1}} \ klín \ cdots \ klín dx^{i_ {k}} \ vpravo) \\ & = dg \ klín dx^{i_ {1}} \ klín \ cdots \ klín dx^{i_ {k}}+g \ součet _ {p = 1}^{k} (-1)^{p-1} \, dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {p-1}} \ wedge d^{ 2} x^{i_ {p}} \ wedge dx^{i_ {p+1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} \\ & = dg \ wedge dx^{i_ {1} } \ klín \ cdots \ klín dx^{i_ {k}} \\ & = {\ frac {\ částečný g} {\ částečný x^{i}}} \, dx^{i} \ klín dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} \\\ end {aligned}}}

Zde jsme interpretovali $g$ jako $0$ -formu a poté použili vlastnosti vnější derivace.

Tento výsledek se rozšiřuje přímo na obecnou $k$ -formu $ω$ as

{\ Displaystyle d \ omega = {\ frac {\ částečná f_ {I}} {\ částečná x^{i}}} \, dx^{i} \ klínová dx^{I}.}

Zejména pro $1$ -forma $W$ , složky $dω$ v místních souřadnic jsou

{\ Displaystyle (d \ omega) _ {ij} = \ částečná _ {i} \ omega _ {j}-\ částečná _ {j} \ omega _ {i}.}

Upozornění : Existují dvě konvence týkající se významu . Většina současných autorů má konvenci, že ${\ Displaystyle dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}}}$

{\ Displaystyle \ left (dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x^{i_ {1 }}}}, \ ldots, {\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{i_ {k}}}} \ vpravo) = 1.}

zatímco ve starším textu jako Kobayashi a Nomizu nebo Helgason

{\ Displaystyle \ left (dx^{i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i_ {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x^{i_ {1 }}}}, \ ldots, {\ frac {\ částečný} {\ částečný x^{i_ {k}}}} \ vpravo) = {\ frac {1} {k!}}.}

Z hlediska invariantního vzorce

Alternativně lze pro vnější derivaci $k$ -formy $ω$ zadat explicitní vzorec , když je spárován s $k + 1$ libovolných hladkých vektorových polí $V 0, V 1, ..., V k$ :

{\ Displaystyle d \ omega (V_ {0}, \ ldots, V_ {k}) = \ sum _ {i} (-1)^{i} d _ {{} _ {V_ {i}}} \ left ( \ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k} \ right) \ right)+\ sum _ {i <j} (-1 )^{i+j} \ omega \ left (\ left [V_ {i}, V_ {j} \ right], V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots , {\ hat {V}} _ {j}, \ ldots, V_ {k} \ right)}

kde $[V i, V j]$ označuje závorku Lie a klobouk označuje vynechání tohoto prvku:

{\ Displaystyle \ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k} \ right) = \ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, V_ {i-1}, V_ {i+1}, \ ldots, V_ {k} \ right).}

Zejména, když $ω$ je $1$ -forma, máme, že $dω (X, Y) = d X (ω (Y)) -d Y (ω (X)) -ω ([X, Y])$ .

Poznámka: S konvencemi např. Kobayashi – Nomizu a Helgason se vzorec liší faktorem $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/k + 1$ :

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} d \ omega (V_ {0}, \ ldots, V_ {k}) = {} & {1 \ over k+1} \ sum _ {i} (-1)^{ i} \, d _ {{} _ {V_ {i}}} \ left (\ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k } \ right) \ right) \\ & {}+{1 \ over k+1} \ sum _ {i <j} (-1)^{i+j} \ omega \ left ([V_ {i}, V_ {j}], V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {j}, \ ldots, V_ {k} \ right ). \ end {aligned}}}

Příklady

Příklad 1 Uvažujme $σ = u dx 1 \land dx 2$ Více než $1$ -forma základ $dx 1, ..., dx n$ pro skalární pole $u$ . Externí derivát je:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} d \ sigma & = du \ wedge dx^{1} \ wedge dx^{2} \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x^{i}}} \, dx^{i} \ vpravo) \ klín dx^{1} \ klín dx^{2} \\ & = \ součet _ {i = 3}^{n} \ left ({\ frac {\ částečné u} {\ částečné x^{i}}} \, dx^{i} \ klín dx^{1} \ klín dx^{2} \ vpravo ) \ end {aligned}}}

Poslední vzorec, kde součet začíná na $i = 3$ , snadno vyplývá z vlastností externího produktu . Totiž $dx i \land dx i = 0$ .

Příklad 2. Nechť $σ = u dx + v dy$ je $1$ -forma definovaná přes $ℝ 2$ . Použitím výše uvedeného vzorce na každý výraz (uvažujme $x 1 = x$ a $x 2 = y$ ) máme následující součet,

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} d \ sigma & = \ left (\ sum _ {i = 1}^{2} {\ frac {\ partial u} {\ partial x^{i}}} dx^{ i} \ wedge dx \ right)+\ left (\ sum _ {i = 1}^{2} {\ frac {\ partial v} {\ partial x^{i}}} \, dx^{i} \ klín dy \ vpravo) \\ & = \ vlevo ({\ frac {\ částečný {u}} {\ částečný {x}}} \, dx \ klínový dx+{\ frac {\ částečný {u}} {\ částečný { y}}} \, dy \ wedge dx \ right)+\ left ({\ frac {\ částečné {v}} {\ částečné {x}}} \, dx \ klínové dy+{\ frac {\ částečné {v} } {\ částečná {y}}} \, dy \ wedge dy \ right) \\ & = 0-{\ frac {\ částečná {u}} {\ částečná {y}}} \, dx \ klínová dy+{\ frac {\ částečná {v}} {\ částečná {x}}} \, dx \ klínová dy+0 \\ & = \ vlevo ({\ frac {\ částečná {v}} {\ částečná {x}}}- {\ frac {\ částečné {u}} {\ částečné {y}}} \ vpravo) \, dx \ wedge dy \ end {zarovnáno}}}

Stokesova věta o varietách

Je -li $M$ kompaktní hladce orientovatelný $n$ -dimenzionální rozdělovač s hranicí a $ω$ je $(n -1)$ forma na $M$ , pak zobecněná forma Stokesovy věty uvádí, že:

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ partial {M}} \ omega}

Intuitivně, pokud si člověk myslí o $M$ , jak je rozdělen do nekonečně regionech a jednou přidá tok přes hranice všech regionech, vnitřní hranice všechno vyruší, zůstává celkový tok přes rozhraní $M$ .

Další vlastnosti

Uzavřené a přesné formuláře

$K$ -formě $ω$ se nazývá uzavřený pokud $dω = 0$ ; uzavřené formy jsou jádro z $d$ . $ω$ se nazývá přesné, pokud $ω = dα$ pro některou $(k -1)$ -formu $α$ ; Přesné formy jsou obraz z $d$ . Protože $d 2 = 0$ , každý přesný formulář je uzavřen. Poincaré lemma uvádí, že v stažitelném regionu, opak je pravdou.

de Rhamova kohomologie

Protože vnější derivace $d$ má vlastnost, že $d 2 = 0$ , lze ji použít jako diferenciální (hraniční) k definování de Rhamovy cohomologie na varietě. $K$ -té de Rham kohomologie (skupiny) je vektorový prostor uzavřených $k-$ -formy modulo přesné $K$ -formy; jak je uvedeno v předchozí části, Poincaréovo lemma uvádí, že tyto vektorové prostory jsou triviální pro stahovatelnou oblast, pro $k > 0$ . U hladkých variet přináší integrace forem přirozený homomorfismus od de Rhamovy cohomologie po singulární cohomologii nad $ℝ$ . Věta de Rham ukazuje, že tato mapa je ve skutečnosti izomorfismem, dalekosáhlou generalizací Poincarého lemmatu. Jak naznačuje zobecněná Stokesova věta, vnější derivát je „duál“ hraniční mapy na singulárních zjednodušováních.

Přirozenost

Externí derivace je přirozená v technickém smyslu: pokud $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ je hladká mapa a $Ω$ $k$ je protichůdný hladký funktor, který každému potrubí přiřadí prostor $k$ -form na potrubí, pak následující diagram dojíždí

aby $d (f * ω) = f * dω$ , kde $f$ $*$ označuje stáhnout zpět a $f$ . To vyplývá z tohoto $f$ $*$ $omega$ $(\cdot)$ , podle definice, je $ω$ $($ $f$ $*$ $(\cdot))$ , $f$ $*$ bytí pushforward z $f$ . Tak $d$ je přírodní transformace z $w$ $k$ , aby $w$ $k$ $+ 1$ .

Externí derivát ve vektorovém počtu

Většina operátorů vektorového počtu jsou speciální případy pojmu vnější diferenciace nebo k němu mají blízký vztah.

Spád

Hladká funkce $f$ $:$ $M$ $\to ℝ$ na skutečném diferencovatelné potrubí $M$ je $0$ -forma. Externí derivát této $0$ -formy je $1$ -forma $df$ .

Když je definován vnitřní součin $⟨\cdot, \cdot⟩$ , je gradient $\nabla f$ funkce $f$ definován jako jedinečný vektor ve $V$ tak, že jeho vnitřní součin s jakýmkoli prvkem $V$ je směrovou derivací $f$ podél vektoru, tj. takové to

{\ Displaystyle \ langle \ nabla f, \ cdot \ rangle = df = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x^{i}}} \, dx^ {i}.}

To znamená,

{\ Displaystyle \ nabla f = (df)^{\ sharp} = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x^{i}}} \, \ vlevo (dx^{i} \ vpravo)^{\ sharp},}

kde $♯$ označuje hudební izomorfismus $♯ : V * \to V$ zmíněné dříve, které je vyvoláno vnitřním produktem.

$1$ -forma $df$ je část cotangent svazku , který dává místní lineárního přiblížení k $f$ v cotangent prostoru v každém bodě.

Divergence

Vektorové pole $V = (v 1, v 2, ..., v n)$ na $ℝ n$ má odpovídající $(n -1)$ tvar

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ omega _ {V} & = v_ {1} \ left (dx^{2} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{n} \ right) -v_ {2} \ left (dx^{1} \ wedge dx^{3} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{n} \ right) +\ cdots +(-1)^{n-1} v_ {n} \ left (dx^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{n-1} \ right) \\ & = \ sum _ {i = 1}^{n} (-1)^{(i-1)} v_ {i } \ left (dx^{1} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{i-1} \ wedge {\ widehat {dx^{i}}} \ wedge dx^{i+1} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{n} \ right) \ end {aligned}}}

kde označuje vynechání tohoto prvku. ${\ displaystyle {\ widehat {dx^{i}}}}$

(Například, když $n = 3$ , tedy v trojrozměrném prostoru, $2$ -forma $ω V$ je lokálně skalární trojitý produkt s $V$ ). Integrál $omega V$ přes nadplochy je tok z $V$ průběhu tohoto nadplochy.

Externí derivát této $(n -1)$ formy je $n$ -forma

{\ Displaystyle d \ omega _ {V} = \ operatorname {div} V \ left (dx^{1} \ wedge dx^{2} \ wedge \ cdots \ wedge dx^{n} \ right).}

Kučera

Vektorové pole $V$ na $ℝ n$ má také odpovídající $1$ -formu

{\ Displaystyle \ eta _ {V} = v_ {1} \, dx^{1}+v_ {2} \, dx^{2}+\ cdots+v_ {n} \, dx^{n}.}

Lokálně $η V$ je skalární součin s $V$ . Integrál $η V$ podél cesty je práce vykonaná proti $- V$ podél této cesty.

Když $n = 3$ , v trojrozměrném prostoru, vnější derivát $1$ -forma $r V$ je $2$ -forma

{\ displaystyle d \ eta _ {V} = \ omega _ {\ operatorname {curl} V}.}

Invariantní formulace operátorů ve vektorovém počtu

Standardní operátory vektorového počtu lze zobecnit pro jakýkoli pseudoriemannovský varietní soubor a zapsat je bez souřadnic následujícím způsobem:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} \ operatorname {grad} f & \ equiv & \ nabla f & = & \ left (df \ right)^{\ sharp} \\\ operatorname {div} F & \ equiv & \ nabla \ cdot F & = & {\ star d {\ star} {\ mathord {\ left (F^{\ flat} \ right)}}} \\\ operatorname {curl} F & \ equiv & \ nabla \ times F & = & \ left ({\ star} d {\ mathord {\ left (F^{\ flat} \ right)}} \ right)^{\ sharp} \\\ Delta f & \ equiv & \ nabla^{2} f & = & {\ star} d {\ star} df \\ && \ nabla ^{2} F & = & \ left (d {\ star} d {\ star} {\ mathord {\ left (F ^{\ flat} \ right)}}-{\ star} d {\ star} d {\ mathord {\ left (F^{\ flat} \ right)}} \ right)^{\ sharp}, \\\ end {array} }}

kde $⋆$ je Hodgeův hvězdný operátor , $♭$ a $♯$ jsou hudební izomorfismy , $f$ je skalární pole a $F$ je vektorové pole .

Všimněte si, že výraz pro $zvlnění$ vyžaduje, aby $♯$ působilo na $⋆ d (F ♭)$ , což je forma stupně $n - 2$ . Přírodní zobecnění $♯$ až $k$ -formy libovolného stupně umožňuje tento výraz smysl pro každý $n$ .

Viz také

Poznámky

Reference

Cartan, Élie (1899). „Sur certaines expressions différentielles et le problemsème de Pfaff“ . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Série 3 (ve francouzštině). Paris: Gauthier-Villars. 16 : 239–332. ISSN 0012-9593 . JFM 30.0313.04 . Citováno 2. února 2016 .
Conlon, Lawrence (2001). Diferencovatelné rozdělovače . Basilej, Švýcarsko: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
Darling, RWR (1994). Diferenciální formy a souvislosti . Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
Flanders, Harley (1989). Diferenciální formy s aplikacemi ve fyzikálních vědách . New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
Loomis, Lynn H .; Sternberg, Shlomo (1989). Pokročilý počet . Boston: Jones a Bartlett. s. 304 –473 (kap. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
Ramanan, S. (2005). Globální počet . Providence, Rhode Island: Americká matematická společnost. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
Spivak, Michael (1971). Kalkulus na rozdělovačích . Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups , Graduate Texts in Mathematics, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3

externí odkazy

„Derivát není takový, jaký si myslíte, že je“ . Aleph Zero . 3. listopadu 2020 - prostřednictvím YouTube .

Languages

In other projects