Cyklotomický polynom - Cyclotomic polynomial

V matematiky je n th cyclotomic polynom pro jakékoliv kladné číslo n , je unikátní ireducibilní polynom s celočíselnými koeficienty, které je dělitel na a není dělitelem žádného k < n . Jeho kořeny jsou všichni n th primitivní kořeny jednoty , kde K přejede kladných čísel není větší než n a coprime k n (a i je fiktivní jednotka ). Jinými slovy, n -tý cyklotomický polynom je roven ${\ Displaystyle x^{n} -1}$${\ Displaystyle x^{k} -1}$ ${\ Displaystyle e^{2i \ pi {\ frac {k} {n}}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ left (xe^{2i \ pi { \ frac {k} {n}}} \ right).}$

To může také být definován jako monic polynomu s koeficienty celého čísla, která je minimální polynom nad oblasti z racionálních čísel kteréhokoli primitivní n th-kořen jednoty ( je příkladem takového root). ${\ Displaystyle e^{2i \ pi /n}}$

Důležitý vztah spojující cyklotomické polynomy a primitivní kořeny jednoty je

${\ Displaystyle \ prod _ {d \ mid n} \ Phi _ {d} (x) = x^{n} -1,}$

ukazující, že x je kořenem právě tehdy, když je to d -tý primitivní kořen jednoty pro nějaké d, které rozděluje n . ${\ Displaystyle x^{n} -1}$ 

Příklady

Pokud n je prvočíslo , pak

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = 1+x+x^{2}+\ cdots+x^{n-1} = \ sum _ {k = 0}^{n-1} x^ {k}.}$

Pokud n = 2 p, kde p je liché prvočíslo , pak

${\ Displaystyle \ Phi _ {2p} (x) = 1-x +x^{2}-\ cdots +x^{p-1} = \ sum _ {k = 0}^{p-1} (- x)^{k}.}$

Pro n až 30 jsou cyklotomické polynomy:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Phi _ {1} (x) & = x-1 \\\ Phi _ {2} (x) & = x+1 \\\ Phi _ {3} (x) & = x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {4} (x) & = x^{2} +1 \\\ Phi _ {5} (x) & = x^{4}+ x^{3}+x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {6} (x) & = x^{2} -x+1 \\\ Phi _ {7} (x) & = x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {8} (x) & = x^{4 } +1 \\\ Phi _ {9} (x) & = x^{6}+x^{3} +1 \\\ Phi _ {10} (x) & = x^{4} -x^ {3}+x^{2} -x+1 \\\ Phi _ {11} (x) & = x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+ x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {12} (x) & = x^{4 } -x^{2} +1 \\\ Phi _ {13} (x) & = x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8 }+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {14} ( x) & = x^{6} -x^{5}+x^{4} -x^{3}+x^{2} -x+1 \\\ Phi _ {15} (x) & = x^{8} -x^{7}+x^{5} -x^{4}+x^{3} -x+1 \\\ Phi _ {16} (x) & = x^{8 } +1 \\\ Phi _ {17} (x) & = x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11 }+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+ x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {18} (x) & = x^{6} -x^{3} +1 \\\ Phi _ {19} (x) & = x^ {18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10 }+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+ x+1 \\\ Phi _ {20} (x) & = x^{8} -x^{6}+x^{4} -x^{2} +1 \\\ Phi _ {21} ( x) & = x^{12} -x^{11}+x^{9} -x^{8}+x^{ 6} -x^{4}+x^{3} -x+1 \\\ Phi _ {22} (x) & = x^{10} -x^{9}+x^{8} -x ^{7}+x^{6} -x^{5}+x^{4} -x^{3}+x^{2} -x+1 \\\ Phi _ {23} (x) & = x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x ^{14}+x^{13}+x^{12} \\ & \ qquad \ quad+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^ {7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \\\ Phi _ {24} (x) & = x^{8} -x^{4} +1 \\\ Phi _ {25} (x) & = x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+ 1 \\\ Phi _ {26} (x) & = x^{12} -x^{11}+x^{10} -x^{9}+x^{8} -x^{7}+ x^{6} -x^{5}+x^{4} -x^{3}+x^{2} -x+1 \\\ Phi _ {27} (x) & = x^{18 }+x^{9} +1 \\\ Phi _ {28} (x) & = x^{12} -x^{10}+x^{8} -x^{6}+x^{4 } -x^{2} +1 \\\ Phi _ {29} (x) & = x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24 }+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+ x^{15} \\ & \ qquad \ quad+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x ^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \\\ Phi _ { 30} (x) & = x^{8}+x^{7} -x^{5} -x^{4} -x^{3}+x+1. \ End {zarovnaný}}}$

Případ 105. cyklotomického polynomu je zajímavý, protože 105 je nejnižší celé číslo, které je součinem tří odlišných lichých prvočísel (3*5*7) a tento polynom je první, který má koeficient jiný než 1, 0, popř. −1:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Phi _ {105} (x) & = x^{48}+x^{47}+x^{46} -x^{43} -x^{42}- 2x^{41} -x^{40} -x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^ {31} -x^{28} -x^{26} \\ & \ qquad \ quad -x^{24} -x^{22} -x^{20}+x^{17}+x^{ 16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12} -x^{9} -x^{8} -2x^{7} -x^{6} -x^{5}+x^{2}+x+1. \ end {zarovnaný}}}$

Vlastnosti

Základní nástroje

Cyklotomické polynomy jsou monické polynomy s celočíselnými koeficienty, které jsou v poli racionálních čísel neredukovatelné . Kromě n rovného 1 nebo 2 jsou palindromiky sudého stupně.

Stupeň , nebo jinými slovy počet n -tých primitivních kořenů jednoty, je , kde je Eulerova totientní funkce . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ Displaystyle \ varphi (n)}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Skutečnost, že jde o neredukovatelný polynom stupně v prstenci, je kvůli Gaussovi netriviální výsledek . V závislosti na zvolené definici je netriviální výsledek buď hodnota stupně, nebo neredukovatelnost. Díky Eisensteinovu kritériu je snadnější dokázat případ prime n než obecný případ . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ Displaystyle \ varphi (n)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$

Základní vztah zahrnující cyklotomické polynomy je

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} x^{n} -1 & = \ prod _ {1 \ leqslant k \ leqslant n} \ left (xe^{2i \ pi {\ frac {k} {n}}} \ vpravo) \\ & = \ prod _ {d \ mid n} \ prod _ {1 \ leqslant k \ leqslant n \ atop \ gcd (k, n) = d} \ left (xe^{2i \ pi {\ frac {k} {n}}} \ right) \\ & = \ prod _ {d \ mid n} \ Phi _ {\ frac {n} {d}} (x) = \ prod _ {d \ mid n} \ Phi _ {d} (x). \ End {aligned}}}$

což znamená, že každý n -tý kořen jednoty je primitivní d -tý kořen jednoty pro jedinečné d dělící n .

Inverze vzorec Möbiovo umožňuje expresi jako explicitní racionální frakce: ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x)}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod _ {d \ mid n} (x^{d} -1)^{\ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right )},}$

kde je funkce Möbius . ${\ Displaystyle \ mu}$

Cyklotomický polynom lze vypočítat (přesně) dělením cyklotomických polynomů vlastních dělitelů n dříve vypočítaných rekurzivně stejnou metodou: ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x)}$${\ Displaystyle x^{n} -1}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = {\ frac {x^{n} -1} {\ prod _ {\ stackrel {d | n} {{} _ {d <n}}} \ Phi _ {d} (x)}}}$

(Připomeňme si to .) ${\ displaystyle \ Phi _ {1} (x) = x-1}$

Tento vzorec umožňuje výpočet na počítači pro libovolné n , jakmile je k dispozici celočíselná faktorizace a dělení polynomů . Mnoho systémů počítačové algebry , jako jsou SageMath , Maple , Mathematica a PARI/GP , má vestavěnou funkci pro výpočet cyklotomických polynomů. ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x)}$

Snadné případy pro výpočet

Jak bylo uvedeno výše, pokud n je prvočíslo, pak

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = 1+x+x^{2}+\ cdots+x^{n-1} = \ sum _ {k = 0}^{n-1} x^ {k}.}$

Pokud n je liché celé číslo větší než jedna, pak

${\ Displaystyle \ Phi _ {2n} (x) = \ Phi _ {n} (-x).}$

Zejména pokud n = 2 p je dvakrát liché prvočíslo, pak (jak je uvedeno výše)

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = 1-x +x^{2}-\ cdots +x^{p-1} = \ sum _ {k = 0}^{p-1} (- x)^{k}.}$

Pokud n = p ^m je primární síla (kde p je primární), pak

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ Phi _ {p} (x^{p^{m-1}}) = \ sum _ {k = 0}^{p-1} x^{ kp^{m-1}}.}$

Obecněji platí, že pokud n = p ^m r s r relativně prime k p , pak

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ Phi _ {pr} (x^{p^{m-1}}).}$

Tyto vzorce lze použít opakovaně, abychom získali jednoduchý výraz pro jakýkoli cyklotomický polynom ve smyslu cyklotomického polynomu se čtvercovým volným indexem: Pokud q je součin hlavních dělitelů n (jeho radikál ), pak ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x)}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ Phi _ {q} (x^{n/q}).}$

To umožňuje dát vzorce pro n -tý cyklotomický polynom, když n má nejvýše jeden lichý prvočíselný faktor: Pokud p je liché prvočíslo a h a k jsou kladná celá čísla, pak:

${\ Displaystyle \ Phi _ {2^{h}} (x) = x^{2^{h-1}}+1}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {p^{k}} (x) = \ sum _ {j = 0}^{p-1} x^{jp^{k-1}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {2^{h} p^{k}} (x) = \ sum _ {j = 0}^{p-1} (-1)^{j} x^{j2^{ h-1} p^{k-1}}}$

Pro ostatní hodnoty n je výpočet n -tého cyklotomického polynomu redukován podobně jako pro kde q je součin odlišných lichých hlavních dělitelů n . K vyřešení tohoto případu, kdo má, že pro p prvočíslo, a ne rozdělení n , ${\ displaystyle \ Phi _ {q} (x),}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {np} (x) = \ Phi _ {n} (x^{p})/\ Phi _ {n} (x).}$

Celá čísla zobrazující se jako koeficienty

Problém ohraničení velikosti koeficientů cyklotomických polynomů byl předmětem řady výzkumných prací.

Pokud n má nejvýše dva odlišné liché primární faktory, pak Migotti ukázal, že koeficienty všech jsou v sadě {1, −1, 0}. ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

První cyklotomický polynom pro součin tří různých lichých prvočinitelů je ten, že má koeficient −2 (viz jeho výraz výše ). Opak není pravdivý: má pouze koeficienty v {1, −1, 0}. ${\ displaystyle \ Phi _ {105} (x);}$${\ displaystyle \ Phi _ {231} (x) = \ Phi _ {3 \ times 7 \ times 11} (x)}$

Pokud n je součin více různých lichých prvočinitelů, mohou se koeficienty zvýšit na velmi vysoké hodnoty. Například má koeficienty od -22 do 23, nejmenší n se 6 různými lichými prvočísly, má koeficienty velikosti až 532. ${\ Displaystyle \ Phi _ {15015} (x) = \ Phi _ {3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 \ times 13} (x)}$${\ Displaystyle \ Phi _ {255255} (x) = \ Phi _ {3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 \ times 13 \ times 17} (x)}$

Nechť A ( n ) označuje maximální absolutní hodnotu koeficientů Φ _n . Je známo, že pro každé kladné k je počet n až x s A ( n )> n ^k alespoň c ( k ) ⋅ x pro kladné c ( k ) v závislosti na dostatečně velkém k a x . V opačném směru platí, že pro jakoukoli funkci ψ ( n ) inklinující k nekonečnu s n máme A ( n ) ohraničenou výše n ^{ψ ( n )} pro téměř všechna n .

Gaussův vzorec

Nechť n je liché, bez čtverců a větší než 3. Potom:

${\ Displaystyle 4 \ Phi _ {n} (z) = A_ {n}^{2} (z)-(-1)^{\ frac {n-1} {2}} nz^{2} B_ { n}^{2} (z)}$

kde A _n ( z ) i B _n ( z ) mají celočíselné koeficienty, A _n ( z ) má stupeň φ ( n )/2 a B _n ( z ) má stupeň φ ( n )/2 - 2. Kromě toho A _n ( z ) je palindromické, když je jeho stupeň sudý; pokud je jeho stupeň lichý, je antipalindromický. Podobně B _n ( z ) je palindromický, pokud n není složený a ≡ 3 (mod 4), v takovém případě je antipalindromický.

Prvních několik případů je

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} 4 \ Phi _ {5} (z) & = 4 (z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1) \\ & = ( 2z^{2}+z+2)^{2} -5z^{2} \\ [6pt] 4 \ Phi _ {7} (z) & = 4 (z^{6}+z^{5} +z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1) \\ & = (2z^{3}+z^{2} -z-2)^{2}+7z ^{2} (z+1)^{2} \\ [6pt] 4 \ Phi _ {11} (z) & = 4 (z^{10}+z^{9}+z^{8}+ z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1) \\ & = (2z^{5} +z^{4} -2z^{3}+2z^{2} -z-2)^{2}+11z^{2} (z^{3} +1)^{2} \ end {zarovnáno }}}$

Lucasova formule

Nechť n je liché, bez čtverců a větší než 3. Potom

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (z) = U_ {n}^{2} (z)-(-1)^{\ frac {n-1} {2}} nzV_ {n}^{2} (z)}$

kde U _n ( z ) i V _n ( z ) mají celočíselné koeficienty, U _n ( z ) má stupeň φ ( n )/2 a V _n ( z ) má stupeň φ ( n )/2 - 1. To může také být napsán

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} \ left ((-1)^{\ frac {n-1} {2}} z \ right) = C_ {n}^{2} (z) -nzD_ {n} ^{2} (z).}$

Je-li n sudé, bez čtverců a větší než 2 (to způsobí, že n /2 bude liché),

${\ Displaystyle \ Phi _ {\ frac {n} {2}} \ left (-z^{2} \ right) = \ Phi _ {2n} (z) = C_ {n}^{2} (z) -nzD_ {n}^{2} (z)}$

kde C _n ( z ) i D _n ( z ) mají celočíselné koeficienty, C _n ( z ) má stupeň φ ( n ) a D _n ( z ) má stupeň φ ( n ) - 1. C _n ( z ) a D _n ( z ) jsou oba palindromické.

Prvních několik případů je:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Phi _ {3} (-z) & = \ Phi _ {6} (z) = z^{2} -z+1 \\ & = (z+1)^ {2} -3z \\ [6pt] \ Phi _ {5} (z) & = z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1 \\ & = (z^{ 2}+3z+1)^{2} -5z (z+1)^{2} \\ [6pt] \ Phi _ {6/2} (-z^{2}) & = \ Phi _ {12 } (z) = z^{4} -z^{2} +1 \\ & = (z^{2}+3z+1)^{2} -6z (z+1)^{2} \ konec {zarovnaný}}}$

Cyklotomické polynomy nad konečným polem a nad p -adickými celými čísly

Přes konečného pole s prvočíslo p prvků, pro jakékoliv celé číslo n , která není násobkem p jsou cyclotomic polynomiální factorizes do ireducibilních polynomy stupně D , kde je Eulerova totient funkce a d je multiplikativní pořadí z p modulo n . Zejména je neredukovatelný právě tehdy, když p je primitivní kořenový modul n , to znamená, že p nerozděluje n a jeho multiplikativní pořadí modulo n je stupeň . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle {\ frac {\ varphi (n)} {d}}}$${\ Displaystyle \ varphi (n)}$${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ varphi (n)}$${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

Tyto výsledky platí i pro p -adická celá čísla , protože Henselovo lemma umožňuje zvednout faktorizaci přes pole s p prvky na faktorizaci přes p -adická celá čísla.

Polynomiální hodnoty

Pokud x má jakoukoli skutečnou hodnotu, pak pro každé n ≥ 3 (to vyplývá ze skutečnosti, že kořeny cyklotomického polynomu jsou všechny nereálné, pro n ≥ 3 ). ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x)> 0}$

Pro studium hodnot, které může mít cyklotomický polynom, když x je dána celočíselná hodnota, stačí vzít v úvahu pouze případ n ≥ 3 , protože případy n = 1 a n = 2 jsou triviální (jeden má a ). ${\ displaystyle \ Phi _ {1} (x) = x-1}$${\ Displaystyle \ Phi _ {2} (x) = x+1}$

Pro n ≥ 2 má jeden

${\ displaystyle \ Phi _ {n} (0) = 1,}$

${\ displaystyle \ Phi _ {n} (1) = 1}$pokud n není primární mocnina ,

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (1) = p}$pokud je primární výkon s k ≥ 1 .${\ displaystyle n = p^{k}}$

Hodnoty, které může mít cyklotomický polynom pro jiné celočíselné hodnoty x, jsou silně spjaty s multiplikativním řádovým modulem prvočísla. ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (x)}$

Přesněji řečeno, vzhledem k prvočíslu p a celému číslu b coprime s p je multiplikativní pořadí b modulo p nejmenší kladné celé číslo n takové, že p je dělitel pro b > 1 , multiplikativní pořadí b modulo p je také nejkratší období reprezentace 1/ p v číselné základně b (viz Unique prime ; to vysvětluje volbu notace). ${\ Displaystyle b^{n} -1.}$

Z definice multiplikativního řádu vyplývá, že pokud n je multiplikativní pořadí b modulo p , pak p je dělitel Konverze není pravdivá, ale má následující. ${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (b).}$

Pokud n > 0 je kladné celé číslo a b > 1 je celé číslo, pak (důkaz viz níže)

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (b) = 2^{k} gh,}$

kde

• k je nezáporné celé číslo, vždy rovné 0, když b je sudé. (Ve skutečnosti, pokud n není ani 1 ani 2, pak k je buď 0 nebo 1. Kromě toho, pokud n není mocnina 2 , pak k je vždy rovno 0)
• g je 1 nebo největší lichý primární faktor n .
• h je liché, coprime s n , a jeho primární faktory jsou přesně liché prvočísla p takové, že n je multiplikativní pořadí b modulo p .

To znamená, že pokud p je lichý primární dělitel, pak buď n je dělitel p - 1 nebo p je dělitel n . V druhém případě nerozděluje${\ displaystyle \ Phi _ {n} (b),}$${\ displaystyle p^{2}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (b).}$

Zsigmondy věta znamená, že pouze případy, kdy b > 1 a h = 1 jsou

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Phi _ {1} (2) & = 1 \\\ Phi _ {2} \ left (2^{k} -1 \ right) & = 2^{k} && k > 0 \\\ Phi _ {6} (2) & = 3 \ end {zarovnáno}}}$

Z výše uvedené faktorizace vyplývá, že liché primární faktory

${\ displaystyle {\ frac {\ Phi _ {n} (b)} {\ gcd (n, \ Phi _ {n} (b))}}}$

jsou přesně lichá prvočísla p taková, že n je multiplikativní pořadí b modulo p . Tento zlomek může být sudý pouze tehdy, je -li b liché. V tomto případě je multiplikativní pořadí b modulo 2 vždy 1 .

Existuje mnoho párů ( n , b ) s b > 1 , které jsou primární. Ve skutečnosti Bunyakovského domněnka naznačuje, že pro každé n existuje nekonečně mnoho b > 1 takových, které jsou primární. Viz OEIS :  A085398, kde je seznam nejmenších b > 1 takových, které jsou prvočíselné (nejmenší b > 1 takové, které je prvočíselné, je o tom , kde je Euler – Mascheroniho konstanta a je Eulerova totientová funkce ). Viz také OEIS :  A206864 pro seznam nejmenších prvočísel formuláře s n > 2 a b > 1 , a obecněji, OEIS :  A206942 , pro nejmenší kladná celá čísla tohoto formuláře. ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (b)}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} (b)}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} (b)}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} (b)}$${\ Displaystyle \ lambda \ cdot \ varphi (n)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} (b)}$

Aplikace

Použitím lze podat elementární důkaz o nekonečnosti prvočísel shodných s 1 modulem n , což je zvláštní případ Dirichletovy věty o aritmetických postupech . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

Viz také

• Cyklotomické pole
• Aurifeuillská faktorizace
• Kořen jednoty

Poznámky

Reference

Gaussova kniha Disquisitiones Arithmeticae byla přeložena z latiny do angličtiny a němčiny. Německé vydání obsahuje všechny jeho práce o teorii čísel: všechny důkazy o kvadratické vzájemnosti, určení znaménka Gaussova součtu, vyšetřování biquadratické vzájemnosti a nepublikované poznámky.

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae . Přeložil do angličtiny Clarke, Arthur A. (2. kor. Ed.). New York: Springer . ISBN 0387962549.
• Gauss, Carl Friedrich (1965) [1801]. Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on theory number) . Přeložil do němčiny Maser, H. (2. vyd.). New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.
• Lemmermeyer, Franz (2000). Zákony vzájemnosti: od Eulera po Eisenstein . Berlín: Springer . doi : 10,1007/978-3-662-12893-0 . ISBN 978-3-642-08628-1.
• Maier, Helmut (2008), „Anatomie celých čísel a cyklotomických polynomů“, v De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.), Anatomie celých čísel. Na základě workshopu CRM, Montreal, Kanada, 13. – 17. Března 2006 , sborník CRM a poznámky z přednášek, 46 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 89–95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl  1186.11010
• Riesel, Hans (1994). Prvočísla a počítačové metody pro faktorizaci (2. vyd.). Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Cyklotomický polynom“ . MathWorld .
• „Cyklotomické polynomy“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Sekvence OEIS A013595 (Trojúhelník koeficientů cyklotomického polynomu Phi_n (x) (exponenty ve vzestupném pořadí))
• Sekvence OEIS A013594 (nejmenší řád cyklotomického polynomu obsahujícího n nebo −n jako koeficient)