Stavová rovnice (kosmologie) - Equation of state (cosmology)

V kosmologii je stavová rovnice části dokonalé tekutiny se vyznačuje bezrozměrné číslo , rovná poměru jejího tlaku na jeho hustotě energie : ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ rho}$

{\ Displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}}}

.

Úzce souvisí s termodynamickou stavovou rovnicí a zákonem ideálního plynu .

Rovnice

Dokonalá plynová rovnice státu může být psán jak

{\ Displaystyle p = \ rho _ {m} RT = \ rho _ {m} C^{2}}

kde je hmotnostní hustota, je konkrétní plynová konstanta, je teplota a je charakteristická tepelná rychlost molekul. Tím pádem ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle C = {\ sqrt {RT}}}$

{\ Displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}} = {\ frac {\ rho _ {m} C^{2}} {\ rho _ {m} c^{2}}} = { \ frac {C^{2}} {c^{2}}} \ cca 0}

kde je rychlost světla a pro „studený“ plyn. ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle \ rho = \ rho _ {m} c^{2}}$ ${\ Displaystyle C \ ll c}$

FLRW rovnice a stavová rovnice

Stavovou rovnici lze použít v rovnicích Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW) k popisu vývoje izotropního vesmíru naplněného dokonalou tekutinou. Pokud je to faktor měřítka, pak ${\ displaystyle a}$

{\ Displaystyle \ rho \ propto a^{-3 (1+w)}.}

Pokud je tekutina dominantní formou hmoty v plochém vesmíru , pak

{\ Displaystyle a \ propto t^{\ frac {2} {3 (1+w)}},}

kde je správný čas. ${\ displaystyle t}$

Obecně Friedmann zrychlení rovnice je

{\ Displaystyle 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = \ Lambda -4 \ pi G (\ rho +3p)}

kde je kosmologická konstanta a je Newtonova konstanta , a je druhý správný čas derivát měřítku. ${\ Displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ ddot {a}}}$

Pokud definujeme (čemu by se dalo říkat „efektivní“) energetickou hustotu a tlak jako

{\ Displaystyle \ rho ^{\ prime} \ equiv \ rho +{\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}

{\ Displaystyle p^{\ prime} \ equiv p-{\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}

a

{\ Displaystyle p^{\ prime} = w^{\ prime} \ rho^{\ prime}}

zrychlovací rovnici lze zapsat jako

{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} =-{\ frac {4} {3}} \ pi G \ left (\ rho ^{\ prime}+3p ^{\ prime} \ vpravo) =-{\ frac {4} {3}} \ pi G (1+3w ^{\ prime}) \ rho ^{\ prime}}

Nerelativistické částice

Stavová rovnice pro běžnou nerelativistickou „hmotu“ (např. Studený prach) je , což znamená, že její hustota energie klesá , kde je objem. V rozpínajícím se vesmíru zůstává celková energie nerelativistické hmoty konstantní a její hustota klesá se zvyšujícím se objemem. ${\ displaystyle w = 0}$ ${\ Displaystyle \ rho \ propto a^{-3} = V^{-1}}$ ${\ displaystyle V}$

Ultra-relativistické částice

Stavová rovnice pro ultra-relativistické „záření“ (včetně neutrin a ve velmi raných vesmírech dalších částic, které se později staly nerelativistickými) je, což znamená, že jeho energetická hustota klesá s . V expandujícím vesmíru klesá energetická hustota záření rychleji než objemová expanze, protože její vlnová délka je posunuta červeně . ${\ Displaystyle w = 1/3}$ ${\ Displaystyle \ rho \ propto a^{-4}}$

Zrychlení kosmické inflace

Kosmickou inflaci a zrychlenou expanzi vesmíru lze charakterizovat stavovou rovnicí temné energie . V nejjednodušším případě se rovnice stavu kosmologické konstanty je . V tomto případě výše uvedený výraz pro faktor měřítka není platný a kde konstanta H je parametrem HST . Obecněji řečeno, rozpínání vesmíru se pro každou stavovou rovnici zrychluje . Zrychlená expanze vesmíru byla skutečně pozorována. Podle pozorování se hodnota stavové rovnice kosmologické konstanty blíží -1. ${\ Displaystyle w = -1}$ ${\ Displaystyle a \ propto e^{Ht}}$ ${\ Displaystyle w <-1/3}$

Hypotetická fantomová energie by měla stavovou rovnici a způsobila by velký Rip . S využitím stávajících dat je stále nemožné rozlišovat mezi fantomem a nefantomem . ${\ Displaystyle w <-1}$ ${\ Displaystyle w <-1}$ ${\ Displaystyle w \ geq -1}$

Kapaliny

V rozpínajícím se vesmíru tekutiny s většími stavovými rovnicemi mizí rychleji než kapaliny s menšími stavovými rovnicemi. Toto je původ problémů plochosti a monopolu Velkého třesku : zakřivení má a monopoly mají , takže pokud by byly v době raného Velkého třesku, měly by být ještě dnes viditelné. Tyto problémy jsou řešeny kosmickou inflací, která má . Měření stavové rovnice temné energie je jedním z největších úsilí pozorovací kosmologie . Přesným měřením doufáme, že by kosmologickou konstantu bylo možné odlišit od kvintesence, která má . ${\ Displaystyle w = -1/3}$ ${\ displaystyle w = 0}$ ${\ Displaystyle w \ cca -1}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ Displaystyle w \ neq -1}$

Skalární modelování

Skalární pole lze považovat za jakési dokonalé tekutiny s stavové rovnice ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle {w = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}}^{2} -V (\ phi)} {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}}^{2}+V (\ phi)}},}}

kde je časová derivace a je potenciální energie. Volný skalární pole má , a jeden s mizející kinetická energie je ekvivalentní k kosmologické konstanty: . Je možné dosáhnout jakékoli stavové rovnice mezi nimi, ale nepřekročit bariéru známou jako Phantom Divide Line (PDL), což činí ze skalárních polí užitečné modely pro mnoho jevů v kosmologii. ${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle V (\ phi)}$ ${\ displaystyle (V = 0)}$ ${\ displaystyle w = 1}$ ${\ Displaystyle w = -1}$ ${\ Displaystyle w = -1}$