Hausdorffův paradox - Hausdorff paradox

Hausdorff paradox je paradox v matematice pojmenoval Felix Hausdorff . Zahrnuje kouli (2-dimenzionální kouli v ). Je uvedeno, že v případě, že určitý počitatelné podmnožina se odstraní z , pak zbytek může být rozdělena do tří podskupin disjunktní a tak, že a jsou shodné . Konkrétně to znamená, že na žádný konečně přísada opatření definovaná na všech podskupin tak, že míra kongruentní množin je rovna (protože by to znamenalo, že míra je současně , a na nenulové opatření celé oblasti ). ${\ displaystyle {S ^ {2}}}$${\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$${\ displaystyle {S ^ {2}}}$${\ displaystyle {A, B}}$${\ displaystyle {C}}$${\ displaystyle {A, B, C}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ displaystyle 1/3}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle 2/3}$

Paradox byl publikován v Mathematische Annalen v roce 1914 a také ve Hausdorffově knize Grundzüge der Mengenlehre ve stejném roce. Důkaz mnohem slavnějšího paradoxu Banach – Tarski využívá Hausdorffovy nápady. Důkaz tohoto paradoxu se opírá o Axiom výběru .

Tento paradox ukazuje, že ve sféře definované u všech podmnožin neexistuje žádná konečně aditivní míra, která by se shodovala na shodných částech. (Hausdorff nejprve ve stejném článku ukázal jednodušší výsledek, že ve všech podskupinách není definována žádná spočitatelná míra.) Struktura skupiny rotací v kouli zde hraje zásadní roli - tvrzení neplatí v rovině ani čára. Ve skutečnosti, jak později ukázal Banach , je možné definovat „oblast“ pro všechny ohraničené podmnožiny v euklidovské rovině (stejně jako „délku“ na skutečné linii) takovým způsobem, že shodné množiny budou mít stejnou hodnotu “ plocha". (Toto Banachovo opatření je však pouze konečně aditivní, takže nejde o míru v plném smyslu, ale rovná se Lebesgueově míře na množinách, pro které druhá existuje.) To znamená, že pokud existují dvě otevřené podmnožiny roviny (nebo reálná čára) jsou rozložitelné, pak mají stejnou plochu.

Viz také

• Banach – Tarski paradox
• Hausdorff Paradox na ProofWiki

Reference

Další čtení

• Hausdorff, Felix (1914). „Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen“ . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. doi : 10,1007 / bf01563735 . (Původní článek; v němčině)
• Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (v němčině).