Spektrální sekvence Hodge – de Rham - Hodge–de Rham spectral sequence

V matematice je spektrální sekvence Hodge – de Rham (pojmenovaná na počest WVD Hodge a Georgese de Rham ) alternativním termínem, který se někdy používá k popisu Frölicherovy spektrální sekvence (pojmenované podle Alfreda Frölichera , který ji ve skutečnosti objevil). Tato spektrální sekvence popisuje přesný vztah mezi Dolbeaultovou cohomologií a de Rhamovou cohomologií obecného komplexního variet . Na kompaktní Kähler potrubí, sekvence degenerované, což vede k Hodge rozkladu v de Rham cohomology.

Popis spektrální sekvence

Spektrální sekvence je následující:

${\ Displaystyle H^{q} (X, \ Omega^{p}) \ Rightarrow H^{p+q} (X, \ mathbf {C})}$

kde X je komplexní řada , je jeho cohomologie se složitými koeficienty a termín levé ruky, který je stránkou spektrální sekvence, je cohomologie s hodnotami ve svazku holomorfních diferenciálních forem . Existence spektrální sekvence, jak je uvedeno výše, vyplývá z Poincarého lemmatu , které dává kvaziisomorfismus komplexů kladek ${\ Displaystyle H^{p+q} (X, \ mathbf {C})}$${\ displaystyle E_ {1}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {C} \ rightarrow \ Omega ^{*}: = [\ Omega ^{0} {\ stackrel {d} {\ to}} \ Omega ^{1} {\ stackrel {d} {\ to}} \ cdots \ to \ Omega ^{\ dim X}],}$

společně s obvyklou spektrální sekvencí vyplývající z filtrovaného objektu, v tomto případě Hodgeovou filtrací

${\ Displaystyle F ^{p} \ Omega ^{*}: = [\ cdots \ to 0 \ to \ Omega ^{p} \ to \ Omega ^{p+1} \ to \ cdots]}$

ze dne . ${\ displaystyle \ Omega ^{*}}$

Degenerace

Hlavní věta související s touto spektrální sekvencí je, že pro kompaktní Kählerův variátor X , například projektivní odrůdu , výše uvedená spektrální sekvence degeneruje na stránce . Zejména poskytuje izomorfismus označovaný jako Hodgeův rozklad${\ displaystyle E_ {1}}$

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {p+q = n} H^{p} (X, \ Omega^{q}) = H^{n} (X, \ mathbf {C}).}$

Degeneraci spektrální sekvence lze ukázat pomocí Hodgeovy teorie . Deligne také ukázal prodloužení této degenerace v relativní situaci pro správnou hladkou mapu . ${\ displaystyle f: X \ to S}$

Čistě algebraický důkaz

Pro hladké správné odrůdy v poli s charakteristikou 0 lze spektrální sekvenci zapsat také jako

${\ Displaystyle H ^{p} (X, \ Omega ^{q}) \ Rightarrow H ^{p+q} (X, \ Omega ^{*}),}$

kde označuje svazek algebraických diferenciálních forem (také známý jako Kählerovy diferenciály ) na X , je (algebraický) de Rhamův komplex , skládající se z diferenciálu jako vnější derivace . V tomto smyslu jsou všechny termíny ve spektrální sekvenci čistě algebraické (na rozdíl od analytické) povahy. Zejména otázka degenerace této spektrální sekvence má smysl pro odrůdy přes pole charakteristické p > 0. ${\ displaystyle \ Omega ^{q}}$${\ displaystyle \ Omega ^{*}}$${\ displaystyle \ Omega ^{q}}$

Deligne & Illusie (1987) ukázali, že pro X nad dokonalým polem kladných charakteristik spektrální sekvence degeneruje za předpokladu, že X připustí pozdvižení do schématu (hladké správné) přes kruh Wittových vektorů W ₂ ( k ) délky dva (například pro k = F _p by tento kruh byl Z / p ² ). Jejich důkaz používá Cartierův operátor , který existuje pouze v pozitivní charakteristice. Tento výsledek degenerace v charakteristice p > 0 lze poté použít také k prokázání degenerace spektrální sekvence pro X nad polem charakteristiky 0.

Nekomutativní verze

Komplex de Rham a také de Rhamova cohomologie odrůdy přiznávají zobecnění nekomutativní geometrie. Toto obecnější nastavení studuje kategorie dg . Ke kategorii dg lze přiřadit její Hochschildovu homologii a také její periodickou cyklickou homologii . Při aplikaci do kategorie dokonalé komplexů na hladkém správném odrůdy X tyto invariants vrátit diferenciálních forem, respektive de Rham cohomology z X . Kontsevich a Soibelman v roce 2009 předpokládali, že pro jakoukoli hladkou a správnou dg kategorii C v poli charakteristiky 0, spektrální sekvence Hodge-de Rham počínaje homologií Hochschild a přiléhající k periodické cyklické homologii, degeneruje:

${\ Displaystyle HH _ {*} (C/k) [u^{\ pm 1}] \ Rightarrow HP _ {*} (C/k).}$

Tuto domněnku dokázali Kaledin (2008) a Kaledin (2016) přizpůsobením výše uvedené myšlenky Deligne a Illusie obecnosti hladkých a správných kategorií dg. Mathew (2017) poskytl důkaz této degenerace pomocí topologické Hochschildovy homologie . chyba harvtxtu: žádný cíl: CITEREFMathew2017 ( nápověda )

Viz také

• Frölicherova spektrální sekvence
• Hodgeova teorie
• Jakobijský ideál - užitečné pro výpočet kohomologie Hodgeova rozkladu

Prameny

Reference

• Frölicher, Alfred (1955), „Relations with the cohomology groups of Dolbeault and topological invariants“, Proceedings of the National Academy of Sciences , 41 (9): 641–644, doi : 10.1073/pnas.41.9.641 , JSTOR  89147 , MR  0073262 , PMC  528153 , PMID  16589720

• Deligne, Pierre ; Illusie, Luc (1987), „Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham“, Invent. Matematika. , 89 (2): 247–270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007/bf01389078 , S2CID  119635574

• Kaledin, D. (2008), „Non-commutative Hodge-to-de Rham degeneration via the method of Deligne-Illusie“, Pure and Applied Mathematics Quarterly , 4 (3): 785–876, arXiv : math/0611623 , doi : 10.4310/PAMQ.2008.v4.n3.a8 , MR  2435845 , S2CID  16703870

• Kaledin, Dmitry (2016), Spektrální sekvence pro cyklickou homologii , arXiv : 1601.00637 , Bibcode : 2016arXiv160100637K

• Mathew, Akhil (2020), "Kaledin degenerace věta a topologické Hochschild homologie", geometrie a topologie , 24 (6): 2675-2708, arXiv : 1710,09045 , bibcode : 2017arXiv171009045M , doi : 10,2140 / gt.2020.24.2675 , S2CID  119591893