Hodgeova teorie - Hodge theory

V matematiky , Hodge teorie , pojmenoval WVD Hodge , je metoda pro studium cohomology skupin z a hladkého potrubí M pomocí parciálních diferenciálních rovnic . Klíčovým pozorováním je, že vzhledem k Riemannově metrice na M má každá třída cohomologie kanonického zástupce , což je diferenciální forma, která zanikne pod Laplaciánským operátorem metriky. Takové formy se nazývají harmonické .

Teorii vyvinul Hodge ve třicátých letech ke studiu algebraické geometrie a navázala na práci Georgese de Rhama na de Rhamově kohomologii . Má hlavní aplikace ve dvou nastaveních: Riemannian potrubí a Kähler potrubí . Hodgeova primární motivace, studium komplexních projektivních odrůd , je obsažena v druhém případě. Hodgeova teorie se stala důležitým nástrojem v algebraické geometrii, zejména díky spojení se studiem algebraických cyklů .

Zatímco Hodgeova teorie je bytostně závislá na skutečných a komplexních číslech, lze ji aplikovat na otázky v teorii čísel . V aritmetických situacích poskytly nástroje p -adické Hodgeovy teorie alternativní důkazy nebo analogické výsledky ke klasické Hodgeově teorii.

Dějiny

Pole algebraické topologie se rodilo ještě ve 20. letech 20. století. Dosud nevyvinul pojem cohomologie a interakce mezi diferenciálními formami a topologií byla špatně pochopena. V roce 1928 Élie Cartan publikoval poznámku s názvem Sur les nombres de Betti des espaces de groupes close, ve které navrhl, ale neprokázal, že by měly být propojeny rozdílné formy a topologie. Po přečtení Georgese de Rhama, tehdy studenta, okamžitě zasáhla inspirace. Ve své diplomové práci z roku 1931 prokázal velkolepý výsledek, kterému se nyní říká de Rhamova věta . Podle Stokesovy věty integrace diferenciálních forem podél singulárních řetězců vyvolává u jakéhokoli kompaktního hladkého potrubí M bilineární párování

{\ Displaystyle H_ {k} (M; \ mathbf {R}) \ times H _ {\ text {dR}}^{k} (M; \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R}.}

Jak bylo původně uvedeno, de Rhamova věta tvrdí, že se jedná o dokonalé párování , a že proto každý z výrazů na levé straně je vzájemným vektorovým prostorem. V současném jazyce je de Rhamova věta častěji formulována jako tvrzení, že singulární cohomologie se skutečnými koeficienty je izomorfní a de Rhamova cohomologie:

{\ Displaystyle H _ {\ text {sing}}^{k} (M; \ mathbf {R}) \ cong H _ {\ text {dR}}^{k} (M; \ mathbf {R}).}

Původní De Rhamovo prohlášení je pak důsledkem Poincarého duality .

Samostatně papír Solomona Lefschetze z roku 1927 používal topologické metody k vyvrácení Riemannových vět . Pokud v moderním jazyce jsou ω ₁ a ω ₂ holomorfní diferenciály na algebraické křivce C , pak je jejich klínový součin nutně nulový, protože C má pouze jednu komplexní dimenzi; v důsledku toho je pohárový produkt jejich tříd cohomologie nulový, a když byl výslovně uveden, poskytl to Lefschetz nový důkaz o Riemannových vztazích . Navíc pokud ω je nenulový holomorfní diferenciál, pak je to pozitivní objemová forma, ze které Lefschetz dokázal rederivovat Riemannovy nerovnosti. V roce 1929 se WVD Hodge dozvěděl o Lefschetzově papíru. Okamžitě poznamenal, že podobné principy platí pro algebraické povrchy. Přesněji, pokud ω je nenulová holomorfní forma na algebraickém povrchu, pak je kladná, takže součin pohárů a musí být nenulový. Z toho vyplývá, že samotný ω musí představovat nenulovou třídu cohomologie, takže jeho periody nemohou být všechny nulové. Tím byla vyřešena otázka Severi. ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ omega}}}$

Hodge měl pocit, že tyto techniky by měly být použitelné i pro odrůdy vyšších dimenzí. Jeho kolega Peter Fraser mu doporučil de Rhamovu tezi. Při čtení de Rhamovy práce si Hodge uvědomil, že skutečné a imaginární části holomorfní 1 formy na Riemannově povrchu byly v jistém smyslu navzájem duální. Měl podezření, že podobná dualita by měla existovat ve vyšších dimenzích; tato dualita je nyní známá jako hvězdný operátor Hodge . Dále se domníval, že každá kohomologická třída by měla mít významného zástupce s vlastností, že jak ona, tak její duál zmizí pod externím derivačním operátorem; nyní se jim říká harmonické formy. Hodge tomuto problému věnoval většinu 30. let. Jeho nejstarší publikovaný pokus o důkaz se objevil v roce 1933, ale považoval to za „extrémní“. Hermann Weyl , jeden z nejskvělejších matematiků té doby, zjistil, že není schopen určit, zda je Hodgeův důkaz správný nebo ne. V roce 1936 vydal Hodge nový důkaz. Zatímco Hodge považoval nový důkaz za mnohem lepší, Bohnenblust objevil závažnou chybu. Hermann Weyl a Kunihiko Kodaira nezávisle upravili Hodgeův důkaz k opravě chyby. To založilo Hodgeův vyhledávaný izomorfismus mezi harmonickými formami a kohomologickými třídami.

Zpětně je zřejmé, že technické potíže ve větě existence ve skutečnosti nevyžadovaly žádné významné nové myšlenky, ale pouze pečlivé rozšíření klasických metod. Skutečnou novinkou, která byla Hodgeovým hlavním přínosem, bylo pojetí harmonických integrálů a jejich význam pro algebraickou geometrii. Tento triumf konceptu nad technikou připomíná podobnou epizodu v díle Hodgeova velkého předchůdce Bernharda Riemanna.

- MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17. června 1903 - 7. července 1975, Životopisné vzpomínky členů Královské společnosti , sv. 22, 1976, s. 169–192.

Hodgeova teorie pro skutečné rozvody

De Rhamova kohomologie

Hodgeova teorie odkazuje na de Rhamův komplex . Nechť M je hladké potrubí . Pro přirozené číslo k , ať Ω ^k ( M ), je reálný vektorový prostor hladkých diferenciálním tvaru stupně k na M . Komplex de Rham je posloupnost diferenciálních operátorů

{\ Displaystyle 0 \ to \ Omega ^{0} (M) \ xrightarrow {d_ {0}} \ Omega ^{1} (M) \ xrightarrow {d_ {1}} \ cdots \ xrightarrow {d_ {n-1 }} \ Omega ^{n} (M) \ xrightarrow {d_ {n}} 0,}

kde d _k označuje vnější derivaci na Ω ^k ( M ). Jedná se o cochainový komplex v tom smyslu, že d _{k +1} ∘ d _k = 0 (psáno také d ² = 0 ). De Rham teorém říká, že singulární kohomologie z M s reálnými koeficienty je spočítaná de Rham komplexu:

{\ Displaystyle H^{k} (M, \ mathbf {R}) \ cong {\ frac {\ ker d_ {k}} {\ operatorname {im} d_ {k-1}}}.}

Operátoři v Hodgeově teorii

Vyberte si Riemannovu metriku g na M a připomeňte si, že:

{\ Displaystyle \ Omega ^{k} (M) = \ Gamma \ left (\ bigwedge \ nolimits ^{k} T ^{*} (M) \ right).}

Metrika výtěžky vnitřní produktu na každé vlákno rozšířením (viz gramova matice ) vnitřní produktu indukována g z každého cotangent vlákna k jeho vnější produktu : . Vnitřní produkt je potom definována jako integrál bodové vnitřní produktu daného páru k- -formy přes M s ohledem na formu objemu spojeného s g . Výslovně, vzhledem k některým, které máme ${\ Displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^{k} (T_ {p} ^{*} (M))}$ ${\ displaystyle T_ {p}^{*} (M)}$ ${\ displaystyle k^{th}}$ ${\ Displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^{k} (T_ {p} ^{*} (M))}$ ${\ displaystyle \ Omega ^{k} (M)}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ omega, \ tau \ in \ Omega ^{k} (M)}$

{\ Displaystyle \ langle \ omega, \ tau \ rangle \ mapsto \ int _ {M} \ langle \ omega (p), \ tau (p) \ rangle _ {p} \ sigma.}

Přirozeně výše uvedený vnitřní produkt indukuje normu, když je tato norma konečná na nějaké pevné k -formě:

{\ Displaystyle \ langle \ omega, \ omega \ rangle = \ | \ omega \ |^{2} <\ infty,}

pak je integrand skutečnou hodnotou, čtvercovou integrovatelnou funkcí na M , vyhodnocenou v daném bodě pomocí jeho bodových norem,

{\ Displaystyle \ | \ omega (p) \ | _ {p}: M \ to \ mathbf {R} \ v L^{2} (M).}

Vezměme si operátor adjoint o d s ohledem na těchto vnitřních produkty:

{\ Displaystyle \ delta: \ Omega ^{k+1} (M) \ to \ Omega ^{k} (M).}

Poté je Laplacian na formulářích definován pomocí

{\ Displaystyle \ Delta = d \ delta +\ delta d.}

Toto je lineární diferenciální operátor druhého řádu, zobecňující Laplacian pro funkce na R ⁿ . Podle definice, forma na M je harmonická , pokud její Laplacian je nulový:

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^{k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^{k} (M) \ mid \ Delta \ alpha = 0 \}.}

Laplacian se poprvé objevil v matematické fyzice . Zejména Maxwellovy rovnice říci, že elektromagnetický potenciál ve vakuu je 1-forma , který má vnější derivát dA = F , kde F je 2-forma představuje elektromagnetické pole tak, že Δ = 0 na časoprostor, chápána jako Minkowskim prostor dimenze 4.

Každá harmonická forma α na uzavřeném riemannianském potrubí je uzavřená , což znamená, že dα = 0 . Výsledkem je kanonické mapování . Hodgeova věta uvádí, že jde o izomorfismus vektorových prostorů. Jinými slovy, každá skutečná kohomologická třída na M má jedinečného harmonického zástupce. Konkrétně, představitel harmonických je jedinečnou uzavřenou formou minimální normy L ^2, která představuje danou třídu kohomologie. Hodgeova věta byla prokázána pomocí teorie eliptických parciálních diferenciálních rovnic, přičemž Hodgeovy počáteční argumenty dokončila Kodaira a další ve čtyřicátých letech minulého století. ${\ Displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta}^{k} (M) \ to H^{k} (M, \ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$

Hodgeova věta například naznačuje, že kohomologické skupiny se skutečnými koeficienty uzavřeného potrubí jsou konečně dimenzionální . (Je pravda, že existují i jiné způsoby, jak to dokázat.) Skutečně, operátory Δ jsou eliptické a jádro eliptického operátoru na uzavřeném potrubí je vždy vektorový prostor konečných rozměrů. Dalším důsledkem Hodgeovy věty je, že riemannianská metrika na uzavřeném potrubí M určuje skutečný vnitřní produkt na integrální cohomologii M modulo torze . Z toho vyplývá, že například obraz isometry skupiny z M v obecném lineárním skupiny GL ( H ^* ( M , Z )) je konečný (protože skupina shodností jednoho mřížky je konečný).

Varianta Hodgeovy věty je Hodgeův rozklad . To říká, že existuje jedinečný rozklad jakékoli diferenciální formy ω na uzavřeném Riemannově potrubí jako součet tří částí ve formě

{\ Displaystyle \ omega = d \ alpha +\ delta \ beta +\ gamma,}

ve kterém γ je harmonické: Δ γ = 0 . Z hlediska metriky L ² na diferenciálních formách to dává ortogonální rozklad přímého součtu :

{\ Displaystyle \ Omega ^{k} (M) \ cong \ operatorname {im} d_ {k-1} \ oplus \ operatorname {im} \ delta _ {k+1} \ oplus {\ mathcal {H}} _ {\ Delta}^{k} (M).}

Hodgeův rozklad je zobecněním Helmholtzova rozkladu pro de Rhamův komplex.

Hodgeova teorie eliptických komplexů

Atiyah a Bott definovali eliptické komplexy jako zobecnění de Rhamova komplexu. Hodgeova věta se na toto nastavení vztahuje následujícím způsobem. Nechť jsou vektorové svazky vybavené metrikou na uzavřeném hladkém potrubí M s objemovou formou dV . Předpokládejme, že ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ ldots, E_ {N}}$

{\ Displaystyle L_ {i}: \ Gamma (E_ {i}) \ to \ Gamma (E_ {i+1})}

jsou lineární diferenciální operátory působící na C ^°° úsecích těchto vektorových svazků, a tím, že indukované sekvencí

{\ Displaystyle 0 \ to \ Gamma (E_ {0}) \ to \ Gamma (E_ {1}) \ to \ cdots \ to \ Gamma (E_ {N}) \ to 0}

je eliptický komplex. Představte přímé částky:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {E}}^{\ bullet} & = \ bigoplus \ nolimits _ {i} \ Gamma (E_ {i}) \\ L & = \ bigoplus \ nolimits _ {i } L_ {i}: {\ mathcal {E}}^{\ bullet} \ to {\ mathcal {E}}^{\ bullet} \ end {aligned}}}

a nechť L ^* je adjoint z L . Definovat eliptické operátor delta = LL ^* + L ^*L . Stejně jako v případě de Rham to dává vektorový prostor harmonických sekcí

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {e \ in {\ mathcal {E}}^{\ bullet} \ mid \ Delta e = 0 \}.}

Nechť je ortogonální projekce a nechť G je Greenův operátor pro Δ. Hodge teorém pak tvrdí následující: ${\ Displaystyle H: {\ mathcal {E}}^{\ bullet} \ to {\ mathcal {H}}}$

H a G jsou dobře definovány.
Id = H + Δ G = H + G Δ
LG = GL , L ^∗G = GL ^∗
Kohomologie komplexu je kanonicky izomorfní k prostoru harmonických sekcí v tom smyslu, že každá třída cohomologie má jedinečného harmonického zástupce. ${\ Displaystyle H (E_ {j}) \ cong {\ mathcal {H}} (E_ {j})}$

V této situaci je také Hodgeův rozklad, zobecňující výše uvedené tvrzení pro de Rhamův komplex.

Hodgeova teorie pro komplexní projektivní varianty

Nechť X být hladký komplexní projektivní potrubí, což znamená, že X je uzavřený komplex submanifold nějakého komplexu projektivní prostor CP ^N . Od Chow teorém , komplexní projektivní variety jsou automaticky algebraické: jsou definovány mizení z homogenní polynom rovnic o CP ^N . Standardní Riemannova metrika na CP ^N indukuje Riemannova metrika na X, který má silnou kompatibilitu s komplexní strukturou, dělat X Kähler potrubí .

Pro komplexní potrubí X a přirozené číslo r lze každou formu C ^∞ r na X (s komplexními koeficienty) zapsat jednoznačně jako součet forem typu ( p , q ) s p + q = r , což znamená formy, které lze lokálně napsat jako konečný součet výrazů, přičemž každý výraz má formu

{\ Displaystyle f \, dz_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {p} \ wedge d {\ overline {w_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ overline {w_ {q}}} }

s funkcí f a C ^∞ a holomorfními funkcemi z _s a w _s . Na Kählerově potrubí jsou ( p , q ) složky harmonické formy opět harmonické. Proto je pro všechny kompaktní Kähler potrubí X je Hodge teorém dává rozklad kohomologie o X s komplexní koeficienty jako přímý součet komplexních vektorových prostorů:

{\ Displaystyle H^{r} (X, \ mathbf {C}) = \ bigoplus _ {p+q = r} H^{p, q} (X).}

Tento rozklad je ve skutečnosti nezávislý na volbě Kählerovy metriky (ale neexistuje analogický rozklad pro obecné kompaktní komplexní potrubí). Na druhé straně, Hodge rozklad skutečně závisí na struktuře X jako komplexní potrubí, zatímco skupina H ^r ( X , C ) závisí pouze na podkladové topologického prostoru z X .

Kus H ^{p , q} ( X ) Hodgeova rozkladu lze identifikovat s koherentní skupinou kohomologie svazků , která závisí pouze na X jako komplexním varietě (nikoli na volbě Kählerovy metriky):

{\ Displaystyle H^{p, q} (X) \ cong H^{q} (X, \ Omega^{p}),}

kde Ω ^p značí svazek holomorfních p -formy na X . Například, H ^{p , 0} ( X ) je prostor holomorfních p -formy na X . (Je-li X je projektivní, Serre je GAGA věta znamená, že holomorphic p -forma na všech X je ve skutečnosti algebraické).

Hodge číslo h ^{p , q} ( X ) se rozumí rozměr komplexní vektorový prostor H ^{p . q} ( X ). Jedná se o důležité invarianty hladké komplexní projektivní rozmanitosti; nemění se, když se komplexní struktura X mění kontinuálně, a přesto obecně nejsou topologickými invarianty. Mezi vlastnosti čísel Hodge jsou Hodge symetrie h ^{p , q} = H ^{q , p} (protože H ^{p , q} ( X ) je komplexní konjugát z H ^{q , p} ( X )) a H ^{p , q} = H ^{n - p , n - q} (podle Serreovy duality ).

Hodgeova čísla hladké komplexní projektivní odrůdy (nebo kompaktního Kählerova variet) mohou být uvedena v Hodgeově diamantu (zobrazeno v případě komplexní dimenze 2):

		h ^2,2
	h ^2,1		h ^1,2
h ^2,0		h ^1,1		h ^0,2
	h ^1,0		h ^0,1
		h ^0,0

Například každý hladký projektivní křivky z rodu g má Hodge diamant

	1
G		G
	1

Pro další příklad má každý povrch K3 Hodgeův diamant

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Tyto počty Betti z X jsou součtem čísel Hodge v dané řadě. Základní aplikací Hodgeovy teorie je, že lichá Bettiho čísla b _{2 a +1} hladké komplexní projektivní rozmanitosti (nebo kompaktní Kählerovy řady) jsou podle Hodgeovy symetrie sudá. To neplatí pro kompaktní komplexní potrubí obecně, jak ukazuje příklad Hopfova povrchu , který je odlišný od S ¹ × S ^3, a proto má b ₁ = 1 .

„Kählerův balíček“ je silnou sadou omezení na kohomologii hladkých komplexních projektivních odrůd (nebo kompaktních Kählerových variet), vycházejících z Hodgeovy teorie. Výsledky zahrnují Lefschetzovu hyperplanovou větu , tvrdou Lefschetzovu větu a Hodge-Riemannovy bilineární vztahy . Hodgeova teorie a rozšíření, jako je neabelská Hodgeova teorie, také silně omezují možné základní skupiny kompaktních Kählerových variet.

Algebraické cykly a Hodgeova domněnka

Nechť X je hladká komplexní projektivní odrůda. Komplex Subvariety Y v X z codimension p definuje prvek skupiny cohomology . Kromě toho, výsledný třída má zvláštní vlastnost: její obraz v komplexních cohomology leží uprostřed kusu rozkladu Hodge, . Hodge dohad předpovídá Converse: každý prvek jehož obrazu ve složitých cohomology spočívá v podprostoru by měla mít pozitivní celočíselným násobkem, který je -Lineární kombinací tříd komplexních podtříd X . (Taková lineární kombinace se nazývá algebraický cyklus na X. ) ${\ Displaystyle H^{2p} (X, \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle H^{2p} (X, \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle H^{p, p} (X)}$ ${\ Displaystyle H^{2p} (X, \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle H^{p, p} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Zásadním bodem je, že Hodgeův rozklad je rozklad kohomologie se složitými koeficienty, který obvykle nepochází z rozkladu kohomologie s integrálními (nebo racionálními) koeficienty. Výsledkem je křižovatka

{\ Displaystyle (H^{2p} (X, \ mathbb {Z})/{\ text {torsion}}) \ cap H^{p, p} (X) \ subseteq H^{2p} (X, \ mathbb {C})}

může být mnohem menší než torze celé skupiny , i když je Hodgeovo číslo velké. Stručně řečeno, Hodge hypotéza předpokládá, že možné „tvary“ komplexních podtříd X (jak je popsáno kohomologie) jsou určeny strukturou Hodge z X (Směs integrální kohomologie s Hodge rozkladem komplexu kohomologie). ${\ Displaystyle H^{2p} (X, \ mathbb {Z})/}$ ${\ displaystyle h^{p, p}}$

Lefschetz (1,1) -theorem říká, že Hodge domněnka platí pro p = 1 (i integrálně, že je, aniž by bylo nutné pro pozitivní integrální násobek v příkazu).

Struktura Hodge z řady X popisuje integrálů algebraických diferenciálních forem na X přes homologii tříd v X . V tomto smyslu souvisí Hodgeova teorie se základním problémem počtu : obecně neexistuje žádný „vzorec“ pro integrál algebraické funkce . Zejména určitými integrály algebraických funkcí, známými jako tečky , mohou být transcendentální čísla . Obtížnost Hodgeovy domněnky odráží nepochopení takových integrálů obecně.

Příklad: Pro hladký komplexní projektivní povrch K3 X je skupina H ² ( X , Z ) izomorfní k Z ²² a H ^1,1 ( X ) je izomorfní k C ²⁰ . Jejich průsečík může mít pořadí kdekoli mezi 1 a 20; toto číslo se nazývá počet Picard z X . Prostor modulů všech projektivních povrchů K3 má spočítatelně nekonečnou sadu komponent, z nichž každá má komplexní dimenzi 19. Subprostor povrchů K3 s Picardovým číslem a má rozměr 20− a . (Pro většinu projektivních povrchů K3 je tedy průnik H ² ( X , Z ) s H ^1,1 ( X ) izomorfní k Z , ale pro „speciální“ povrchy K3 může být průnik větší.)

Tento příklad naznačuje několik různých rolí, které hraje Hodgeova teorie ve složité algebraické geometrii. Za prvé, Hodgeova teorie uvádí omezení, u nichž mohou mít topologické prostory strukturu hladké komplexní projektivní rozmanitosti. Za druhé, Hodgeova teorie poskytuje informace o prostoru modulů hladkých komplexních projektivních odrůd s daným topologickým typem. Nejlepší případ je, když platí Torelliho věta , což znamená, že odrůda je určována až izomorfismem podle jeho Hodgeovy struktury. Nakonec Hodgeova teorie poskytuje informace o Chowově skupině algebraických cyklů pro danou odrůdu. Hodgeova domněnka je o obrazu cyklické mapy od Chowových skupin po běžnou cohomologii, ale Hodgeova teorie také poskytuje informace o jádru cyklické mapy, například pomocí intermediálních Jacobianů, které jsou postaveny z Hodgeovy struktury.

Zobecnění

Mixed Hodge theory , vyvinutý Pierrem Delignem , rozšiřuje Hodgeovu teorii na všechny složité algebraické odrůdy, ne nutně hladké nebo kompaktní. Totiž cohomologie jakékoli komplexní algebraické odrůdy má obecnější typ rozkladu, smíšenou Hodgeovu strukturu .

Odlišné zobecnění Hodgeovy teorie na singulární odrůdy poskytuje křižovatková homologie . Morihiko Saito konkrétně ukázal, že průsečíková homologie jakékoli složité projektivní odrůdy (ne nutně hladké) má čistou Hodgeovu strukturu, stejně jako v hladkém případě. Ve skutečnosti se celý balíček Kähler rozšiřuje na křižovatkovou homologii.

Zásadním aspektem komplexní geometrie je, že existují spojité rodiny neizomorfních komplexních variet (které jsou všechny diafeomorfní jako reálné variet). Představa Phillipa Griffithse o variantě Hodgeovy struktury popisuje, jak se Hodgeova struktura hladké komplexní projektivní odrůdy X mění, když se X mění. V geometrickém vyjádření to znamená studium dobového mapování spojeného s rodinou odrůd. Saitova teorie Hodgeových modulů je zobecněním. Zhruba řečeno, smíšený modul Hodge na odrůdě X je svazek smíšených struktur Hodge nad X , jak by vyplývalo z rodiny odrůd, které nemusí být hladké ani kompaktní.

Viz také

Poznámky

Reference

Arapura, Donu, Computing Some Hodge Numbers (PDF)
Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principy algebraické geometrie . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8. MR 0507725 .
Hodge, WVD (1941), Theory and Applications of Harmonic Integrals , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An Introduction , Springer , ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
Voisin, Claire (2007) [2002], Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.) , Cambridge University Press , doi : 10,1017/CBO9780511615344 , ISBN 978-0-521-71801-1, MR 1967689
Warner, Frank (1983) [1971], Základy diferencovatelných rozdělovačů a Lieových skupin , Springer , ISBN 0-387-90894-3, MR 0722297
Wells Jr., Raymond O. (2008) [1973], Differential Analysis on Complex Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, 65 (3rd ed.), Springer , doi : 10,1007/978-0-387-73892-5 , hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN 978-0-387-73891-8, MR 2359489

Languages

In other projects