Transformace Holstein – Primakoff - Holstein–Primakoff transformation

Holstein-Primakoff transformace v kvantové mechanice je mapování na spinových operátorů z bosonu vytvoření a operátory vyhlazovacích účinně zkrácením jejich nekonečný-rozměrný Fock prostor pro konečný-rozměrné podprostory.

Jedním z důležitých aspektů kvantové mechaniky je výskyt-obecně -nepojíždějících operátorů, kteří představují pozorovatelné veličiny, které lze měřit. Standardním příkladem sady takových operátorů jsou tři složky operátorů hybnosti hybnosti , které jsou v mnoha kvantových systémech klíčové. Tyto operátory jsou komplikované a chtěli bychom najít jednodušší zobrazení, které lze použít ke generování přibližných výpočtových schémat.

Transformaci vyvinuli v roce 1940 Theodore Holstein , v té době postgraduální student, a Henry Primakoff . Tato metoda našla rozsáhlou použitelnost a byla rozšířena v mnoha různých směrech.

Existuje úzká vazba na další metody bosonového mapování operátorových algeber: zejména na (neherermitickou) Dyson – Malevovu techniku ​​a v menší míře na mapu Jordan – Schwinger . Kromě toho existuje úzké spojení s teorií (generalizovaných) koherentních stavů v Lieových algebrách .

Základní technika

Základní myšlenku lze ilustrovat na základním příkladu spinových operátorů kvantové mechaniky.

Pro libovolnou sadu pravostranných ortogonálních os definujte komponenty tohoto vektorového operátoru jako , a , které se vzájemně nepočítají , tj., A jeho cyklické permutace. ${\ displaystyle S_ {x}}$${\ displaystyle S_ {y}}$${\ displaystyle S_ {z}}$${\ Displaystyle \ left [S_ {x}, S_ {y} \ right] = i \ hbar S_ {z}}$

Aby bylo možné jednoznačně určit stavy rotace, je možné diagonalizovat libovolnou sadu operátorů dojíždění. Obvykle se používají operátory SU (2) Casimir a , což vede ke stavům s kvantovými čísly , ${\ displaystyle S^{2}}$${\ displaystyle S_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ left | s, m_ {s} \ right \ rangle}$

${\ Displaystyle S ^{2} \ left | s, m_ {s} \ right \ rangle = \ hbar ^{2} s (s+1) \ left | s, m_ {s} \ right \ rangle,}$

${\ Displaystyle S_ {z} \ left | s, m_ {s} \ right \ rangle = \ hbar m_ {s} \ left | s, m_ {s} \ right \ rangle.}$

Projekční kvantové číslo nabývá všech hodnot . ${\ displaystyle m_ {s}}$${\ Displaystyle (-s, -s+1, \ ldots, s-1, s)}$

Uvažujme jedinou částici spinů s (tj. Podívejme se na jednu neredukovatelnou reprezentaci SU (2)). Nyní vezměte stav s maximální projekcí , stav extrémní hmotnosti jako vakuum pro množinu operátorů bosonů a každý následující stav s nižším kvantovým číslem projekce jako buzení bosonů předchozího, ${\ Displaystyle \ left | s, m_ {s} =+s \ right \ rangle}$

${\ Displaystyle \ left | s, sn \ right \ rangle \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {n!}}} \ left (a^{\ dagger} \ right)^{n} | 0 \ rangle _ {B} ~.}$

Každý další boson pak odpovídá poklesu ħ v rotační projekci. To znamená, že rotace zvedání a spouštění operátory a tak, že odpovídají (v tom smyslu, je podrobně popsáno níže), aby Bosonic vyhlazovacích a vytváření operátorů, v tomto pořadí. Přesné vztahy mezi operátory musí být zvoleny tak, aby byly zajištěny správné komutační vztahy pro rotační operátory, aby působily na prostor konečných rozměrů, na rozdíl od původního Fockova prostoru. ${\ displaystyle S _ {+} = S_ {x}+iS_ {y}}$${\ displaystyle S _ {-} = S_ {x} -iS_ {y}}$${\ displaystyle [S _ {+}, S _ {-}] = 2 \ hbar S_ {z}}$

Výslednou transformaci Holstein – Primakoff lze zapsat jako

Transformace je zvláště užitečná v případě, kde s je velké, kdy odmocniny lze rozšířit jako Taylorovy řady , aby došlo k rozšíření v klesajících silách s .

Alternativně k Taylorově expanzi došlo k nedávnému pokroku s obnovením řady, která umožnila výrazy, které jsou polynomické v bosonických operátorech, ale stále matematicky přesné (ve fyzickém podprostoru). Resummation, které je přesné pro spin s = 1/2, je uvedeno níže

I když výše uvedený výraz není přesný pro otočení vyšší než 1/2, jde o vylepšení oproti sérii Taylor. Přesné výrazy existují také pro vyšší otočení a obsahují více výrazů. Podobně jako výše uvedený výsledek také pro výrazy vyšších zatočení, a proto je obnovení poustevnické. ${\ displaystyle S _ {+} = S _ {-}^{\ dagger}}$

Existuje také ne-hermitovská realizace varianty Dyson-Maleev J souvisí s výše uvedeným a platí pro všechna otočení,

${\ Displaystyle J _ {+} = \ hbar \, a ~, \ qquad J _ {-} = S _ {-} ~ {\ sqrt {2s-a^{\ dagger} a}} = \ hbar a^{\ dagger } \, (2s-a^{\ dagger} a) ~, \ qquad J_ {z} = S_ {z} = \ hbar (sa^{\ dagger} a) ~,}$

uspokojující stejné komutační vztahy a charakterizované stejným kazimírským invariantem.

Tato technika může být dále rozšířena na Witt algebře , který je bezhroté Virasoro algebry .

Reference